小学奥数同余问题

1、同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7 时30 分，再过52 小时是几时几分？我们知道一天是24 小时，也就是说52 小时里包含两个整天再加上4 小时，这样就在7 时30分的基础上加上4 小时，就是11 时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。1. 同余的表达式和特殊符号37 和 44 同除以 7 ，余数都是 2 ，把除数 7 称作“模7，”37 、 44 对于模 7 同余。记作：（mod7 ）“ ”读作同余。一般地，两个整数a 和 b ，除以大于1 的自然数 m 所得的余数相同，就称a 、b对于模m 同余，记作：2. 同余的性质（ 1 ）

2、（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）（2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，则（这称为同余的传递性）（4）若，则（）（这称为同余的可加性、可减性）（称为同余的可乘性）（5）若，则， n 为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果那么（的差一定能被k 整除）这是为什么呢？k 也就是的公约数，所以有下面我们应用同余的这些性质解题。【例题分析】例 1. 用 412 、 133 和 257 除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？分析与解答：假设这个自然数是a，因为 412 、 133 和 257 除以 a 所得的余数相同，所以，说明 a 是以上三个数中任意两数差的约数

3、，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。所以 a 最大是 31 。例 2.除以 19 ，余数是几？分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。所以此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。例 3. 有一个 1997 位数，它的每个数位都是2 ，这个数除以13 ，商的第 100 位是几？最后余数是几？分析与解答：这个数除以13 ，商是有规律的。商是 170940六个数循环，那么9 ，” 所以商的第，即，我们从左向右数“ 170940 ”的第 4 个数就是我们找的那个数“100 位是 9。余数是几呢？则所以商的个位数字应是“ 170940 ”中的第4 个

4、，商应是9，相应的余数是5。【模拟试题】（答题时间：20 分钟）1. 求下列算式中的余数。（1）（2）（3）（4）2. 6254 与 37 的积除以 7，余数是几？3. 如果某数除 482 ，992 ，1094 都余 74，这个数是几？同余问题（二）【例题分析】例 1.除以 7 ，余数是几？分析与解答：例 2. 一个自然数除以 3 余 2 ，除以 5 余 3 ，除以 7 余 1 ，这个自然数最小是几？分析：假设这个自然数为 a那么这道题考虑的困难是它们的余数不相同。如果把这道题改一下，使它们的余数相同，利用整除的知识，便容易考虑了，先看下面一道题：一个自然数除以 3 余 2，除以 5 余 2

5、，除以 7 余 2 ，那么，这个自然数若减去 2，便同时是 3，5 ， 7 的倍数，这样的自然数有：105 ，210 ， 315 ，分别被 3， 5，7 除余 2 的数是2 ， 107 ， 212 ， 317 ，最小的自然数是2 。回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？稍加变式，可以写成：这样同时是 3 ，5， 7 倍数的数有 105 ，210 ， 315 ，那么同时被 3，5， 7 余 8 的数有：8 ， 113 ， 218 ， 323 ，其中最小的自然数为8。例 3.在求 51173526 被 7 除的余数时，小明这样做：所以余数是 5刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅

6、速，你知道其中的道理吗？分析与解答：看了下面的算式，你就会明白的。小明用的这种方法， 有比较广泛的应用， 常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时，出显然是几的倍数的部分，对于这部分，简直可以“置之不理” ，这样可以使解答过程简化。例 4. 除以 3 的余数是几？为什么？常常“拼凑”分析与解答：在上式的加项中，显然可以被3 整除，因此只须计算被 3除余数是几。由于因此由此可知， 只须计算被 3 除的余数， 它又等于被 3 除的余数。由于，所以所以余数是1【模拟试题】1. 今天是星期日，再过天又是星期几？7 、1796 被一个质数相除， 余数是 24，求这个质数。2. 求除以 3 所得的余

7、数。8 、求 2001 ×2000 除以 7 的余数。9 、求 123 ×345+234 ×456 除以 11 的余数。3. 某数除 680 ， 970 和 1521 ，余数相同，这个数最大是几？10、有一个大于1 的整数，它除 1000 、1975 、2001都得到相同的余数，那么这个整数是多少？4. 有一列数排成一行，其中第一个数是 3，第二个数是 7 ，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么，第 1997 个数被 3 除，余数是几？11 、有三个数1989 、 901 和 306 被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。5. 若将一批货物共千

8、克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？若每箱装17 千克，最后还余多少千克？12 、两个自然数相除，商 15，余 3 ，被除数、 除数、商、余数的和是853 ，求被除数。6、1309 被一个质数相除， 余数是 21 ，求这个质数。13 、有一个数除以3 余 1，除以 4 余 2，问这个数除以 12 ，余数是几？20 、一个数除以17 的余数是5 ，被除数扩大2 倍，余数是多少？14 、一个数除以5 余 1，除以 6 余 3，除以 7 余 4，这个数最小是几？21、有一个数， 除以 3 余数是 1，除以 4 余数是 3 。这个数除以12，余数是多少。15 、 3867 ×4253

9、 1644 351 ， 求 里 的 数 。4937 ×6845 3379 765 ，求里的数。22、570 被一个两位数除，余数是 15 ，这个两位数16 、两个自然数相除，商8 余 16 ，被除数、除数、是多少？商与余数的和为265 ，求除数是多少？17 、写出除以8 所得的商和余数（不为0）相同的23 、有一个数加上22 的和被9 除余3 ，这个数加所有的数。上35 的和被9 被余几？18 、 2002 ×2002-2001除以 9 的余数是多少？B 组26 、把几十个苹果平均分成若干份，每份9个余 8个，每份 8 个余 7 个每份 4 个余 3 个。这堆苹果共有多少个？19 、当 2002 和 1781 除以某一个自然数，余数分别是 2 和 1，那么这个数最大是多少？27 、有一个数被5 和 11 整除均余4，被 3 正好整除，这个数最小是几？28、求被 4 除余 2，被 6 除余 2，被 9 除余 5 的两位数。29 、一个数能被3、 5 、 7 整除，若用11 去除则余7，这个数最小是几？30 、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱，她只记下四组各交的钱， 第一组 6.3 元，第二组 7.7 元，第三组 6.3 元