计数法、进位制、位置制

1、小学数学“数与计数制”的教学研究与案例评析宣汉县三墩乡中心校：刘忠一、数的产生和发展其实最初开始，人类是没有数的概念，更不会计数。但随着人类的发展，因为生活的需要，需要记下事物多少，从而产生了数，学会了用不同的方法计数。我国古书易经中有“结绳而治”的记载。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。就这亲，渐渐的在人们头脑里形成了数，也学会了计数，同时产生了“符号”。 数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。 首数古罗马对数的利用最好，有些甚至现在还常常使用。 罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X

2、（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数： 重复计数： "III"表示"3"；"XXX"表示"30"。 右加左减：如"VI"表示"6"；"IV"表示"4"。 在我国，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号。到春秋战国，我们的祖先创造“筹算”。筹算用的是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好

3、，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。 最初没有“0”，但“0”的出现，也是生活的需要，谁也阻挡不住。现在，“0”已经成为含义最丰富的数字符号。“0”可以表示没有，也可以表示有。如：气温0，并不是说没有气温；“0”是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1。 阿拉伯数字是现在世界通用的数码，有1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。 随着生产、生活的需要，随着人们对数的开发和利用，仅仅自然数

4、是远远不行的。如6个人分3件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。后来，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。 无理数的发现。全世界研究“数”学派众多。一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X，既然，推导的结果即x2=2。他画了一个边长为

5、1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理x2=12+12=2，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率 就是最重要的一个。人们把它们写成 、等形式，称它们为无理数。 有理数和无理数一起统称为实数。进入19世纪，人们在

6、解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号"i "表示"-1"的平方根，即i，虚数就这样诞生了。"i "成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来，写成 abi的形式（a、b均为实数），这就是复数。 数的概念发展到虚数和复数以后，在1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念。所谓四元数，就是一种形如的数。它是由一个标量 （实数）和一个向量（其中x 、y 、z 为实数）组成的。四元数的数论、群论、量子理

7、论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对"多元数"理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。 由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。首先，现在人们日常生活中所不可或离的十进位值制，就是中国的一大发明。至迟在商代时，中国已采用了十进位值制。从现已发现的商代陶文和甲骨文中，可以看到当时已能够用一、二、三、四、五、六、七、八、九、

8、十、百、千、万等十三个数字，记十万以内的任何自然数。十进位值制的记数法是古代世界中最先进、科学的记数法，对世界科学和文化的发展有着不可估量的作用。 二、计数法数的产生学派众多，计数方法当然也千差万别。古巴比仑的采用的是六十进位，计算非常繁琐。古埃及的数字从一到十只有两个数字符号，从一百到一千万有四个数字符号，而且这些符号都是象形的，如用一只鸟表示十万。古希腊由于几何发达，因而轻视计算，记数方法落后，是用全部希腊字母来表示一到一万的数字，字母不够就用加符号的方法来补充。古罗马采用的是累积法，如用ccc表示300。印度古代既有用字母表示，又有用累积法，到公元七世纪时方采用十进位值制，很可能受到中国

9、的影响。现通用的印度阿拉伯数码和记数法，大约在十世纪时才传到欧洲。在计算数学方面，中国大约在商周时期已经有了四则运算，到春秋战国时期整数和分数的四则运算已相当完备。其中，出现于春秋时期的正整数乘法歌诀“九九歌”，堪称是先进的十进位记数法与简明的中国语言文字相结合之结晶，这是任何其它记数法和语言文字所无法产生的。从此，“九九歌”成为数学的普及和发展最基本的基础之一，一直延续至今。其变化只是古代的“九九歌”从“九九八十一”开始，到“二二如四”止，而现在是由“一一如一”到“九九八十一”。 位制/位值计数法是一种记数方式，故亦称进位记数法/位值计数法，可以用有限的数字符号代表所有的数值。可使用数字符号

10、的数目称为基数或底数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。十进制计数法是相对二进制计数法而言的，是我们日常使用最多的计数方法（俗称“逢十进一”）,它的定义是：“每相邻的两个计数单位之间的进率都为十”的计数法则，就叫做“十进制计数法”。举例 主要计数单位：个，十，百，千，万，十万，百万，千万，亿，十亿，百亿，千亿，万亿，兆，十分之一，百分之一，千分之一，万分之一。. 数位表 （数位是无尽的）每相邻两个数位的进率是10。三、进位制和位置制世界上较早采用位值制计数法的有古巴比伦、玛雅、印度和中国等，这些地区的民族对进制的研究与发展都作出

11、过重要的贡献。所谓位值制就是一个数码表示什么数，要看它所在的位置而定。位值制是千百年来人类智慧的结晶。零是位值制记数法的精要所在。但它的出现却并非易事。我国是最早使用十进制记数法，且认识到进位制的国家。我们的口语或文字表达的数字也遵守这一原则，比如一百二十七。同时我们对0的认识最早。常用的进位计数制有二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制和六十进制等。在数学中用得最对的就是十进制，有时也用六十进制。在中国我们是最早开始使用十进制的，也曾在不同的地方使用二进制、十六进制和六十进制。我们有个成语叫"屈指可数"，说明古代人数数确实是离不开手指的，而一般人的手指恰好有十个

12、。因此十进制的使用似乎应该是极其自然的事。但实际情况并不尽然。十进位制记数法，是大所熟悉的应用最多的一种记数法。是我们日常使用最多的计数方法（俗称“逢十进一”）,它的定义是:“每相邻的两个计数单位之间的进率都为十”的计数法则,就叫做“十进制计数法”。现在人们日常生活中所不可或离的十进位值制，就是中国的一大发明。至迟在商代时，中国已采用了十进位值制。从现已发现的商代陶文和甲骨文中，可以看到当时已能够用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等十三个数字，记十万以内的任何自然数。这些记数文字的形状，在后世虽有所变化而成为现在的写法，但记数方法却从没有中断，一直被沿袭，并日趋完善。十进位值

13、制的记数法是古代世界中最先进、科学的记数法，对世界科学和文化的发展有着不可估量的作用。在历史上，世界上各个民族普遍使用的都是十进制。为什么会这样呢？根据语言学家对世界上各进化民族和多数原始民族语言的研究得出的结论，这是由于人类的手有十个指头的缘故。十指可以自由伸缩，是一个天然的记数工具。人们在用手指计数的过程中，十进制便自然而然地产生了。六十进制是以60为基数的进位制，源于公元前3世纪的古闪族，后传至巴比伦，流传至今仍用作纪录时间、角度和地理座标。其他文明也有使用六十进制，如西新几内亚的Ekagi族。数字60有12个因子，即1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30和60，其中2、3

14、和5是质数。由于拥有较多因子，六十进制的数可被较多数整除；换言之，可以分拆成多种不同的时间长度，例如一小时可以被看作2个30分钟、3个20分钟、4个15分钟等。60也是可同时被1至6整除的最小的数字。古巴比伦的数学与天文学比较发达，他们采用的计数法是十进位和六十进位法。六十进位法应用于计算周天的度数和计时，至今为全世界所沿袭。玛雅人是中美洲印第安人的一支，在公元前后创造了灿烂的玛雅文化，他们创造了一种二十进位值制的计数法，其中有非常明确的零号，它形如贝壳或一只半睁的眼睛。可以想象玛雅人使用的二十进制很可能是用手指和脚趾一起来计数的，有时他们也用六十进制。早期人们用位值制记数法的时候，遇到了空位

15、，需要一个合适的记号，就用不同的方式来表示零。因而，最初的零可能是由位值制计数法产生的。古希腊人采用的是字母计数法，就是按照字母表的顺序，每一个字母表示一个数字。而且一个特别有趣的事情是，它们在整数部分采用的是十进制，而在1以下的分数为60进制。更为奇特的是，它的整数是非位值制的，而1以下的分数却是60进位值制，这个部分显然是受到巴比伦的影响。由巴比伦人创造的六十进位制一直沿用到现在。我们今天计算时间，就是把一小时分成六十分钟，一分钟又分成六十秒；对于地球经纬度的划分，也是把一度分成六十分，每一分又分成六十秒。进位位值制记数法包括十进位和位值制两条原则，"十进"即满十进一；

16、"位值"则是同一个数位在不同的位 置上所表示的数值也就不同，如三位数"111"，右边的"1"在个位上表示1个一，中间的"1"在十位在10进位的位置计数法中有10个数字(0 - 9)，数字.对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57(10)，可以用二进制表示为111001(2)，也可以用五进制表示为212(5)，也可以用八进制表示为71(8)、用十六进制表示为39(16)，它们所代表的数值都是一样的。四、自然数的产生与性质自然数即用以计量事物的件数或表示事物次序的数，是用数字0，1，2，3，4，所

17、表示的数。我们常用的计数单位有：个、十、百、千、万、十万等等。自然数由0开始，一个接一个，组成了自然数集。这是一个可数的，无上界的无穷集合。数学家一般以N来表示它。自然数集上有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数。也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的数系中最基本的一类。为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了关于自然数的两种理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致

18、的。自然数在日常生活中起了很大的作用，在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等。1、记数法自然数由数数而起。自然数最初的表示法是用一个符号代表每个物体。古巴比伦数字比如|可以用来代表四个苹果、或者四块石头、或者四只牛。这种表示方法在古巴比伦（约公元前2000年）的记数法中有所体现。其後记数系统的创立，使得人们能以更少的符号去表示大数。巴比伦人便是使用六十进制的，比如数字75，他们便会以“1，15”表示（当然是用他们的符号）。但如果观察一下他们所使用的1至59的数，就会发现当中也有十进制的影子。古埃及人也建立了十进制的记数系统

19、，包括个位、十位直至一百万。之後进一步的发展是把0视为一个数的想法。由考古成果，我们已知约在公元前700年，巴比伦人就已经使用类近"0"的数字作为占位符，但当0是最後一个数位时，他们会省去不记。印度学者婆罗摩笈多于公元628年提出零的观念，一般认为是首个接近现代意义上的0。印度数字后来经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人起初仍对零作为数字感到抗拒，认为零不是一个“自然”数。在中国古代也有0这个概念，但并没有0这个阿拉伯数字的字样，而是以空位表示。中国古代使用算筹进行计算，在算盘上，以空位表示0。公元1世纪的九章算术说：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除

20、，同名相益，正无入正之，负无入负之。”（这段话的大意是“减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是负数，零减负数的差是正数。”）以上文字里的“无入”通常被数学史家认为是零的概念。虽然如此，但是当时并没有使用符号来表示零。2、研究古希腊人最早研究数字的抽象特性，例如是古希腊哲学家毕达哥拉斯和阿基米德的研究。当中毕达哥拉斯学派更把数视为宇宙之基本。有许多希腊数学家都不把1当成一个数，因而2就成了最小的数。在数学家欧几里得所着的几何原本中也有类似说法。19世纪末，集合论者给予了自然数几个较严谨的定义。据这些定义，把零对应于空集，包括于自然数内更为方便。逻辑论者及电算

21、机科学家，接受集合论者的定义。而其他一些数学家，主要是数论学家，则依从传统把零拒之于自然数之外。在全球范围内，针对0是否属于自然数的争论依旧存在。在中国，2000年左右之前的中小学教材一般不将0列入自然数之内，或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中，普遍将0列入自然数。自然数的最新（2005年）定义如下：0是自然数；每一个确定的自然数n都有一个确定的后继者，记作n+1。n+1也是自然数；如果m、n都是自然数，并且m+1 = n+1，那么m = n；0不是任何自然数的后继者；如果某个集合S具有性质：(1)1S；(2) 若nS，则n+1S；那么，NS。不符合归纳假设的

22、例子运算对自然数可以递归定义加法和乘法。其中，加法运算“+”定义为：a + 0 = a；a + S(x) = S(a+x)， 其中，S(x)表示x的后继者。如果我们将S(0)定义为符号“1”，那么b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b)，即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。如此，便可得出交换幺半群(N,+)，是由1生出的自由幺半群，其中幺元为0。此幺半群服从消去律，可嵌入一群内：最小的是整数群。同理，乘法运算“×”定义为：a × 0 = 0；a × S(b) = a × b + a(N,×)亦是交换幺半群；

23、×和+符合分配律：自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。带余除法对于两个自然数a,b，不一定有自然数c使得。所以若用乘法的逆来定义除法，这个除法不能成为一个二元运算（即不符合封闭性，即使不允许除以0）。但我们可以用带余除法作为替代。现设a,b为自然数，则有自然数q和r使得a=bq+r且r<b。这里的q称为a除以b的商，r称为a除以b的余数。数对(q,r)是被a,b所唯一决定的。一个例子是，也就是。这里a=62，b=7，q=8，r=6。带余除法在数论中有不少用途，比如说辗转相除法的基本步骤就是带余除法。我们说，当且仅当有自然数使得。当而a不等于b时，记作a<b。二元关系在自然数集上符合：自反性：若a是自然数，则；反对称性：设a,b是自然数。若且，则a=b；传递性：设a,b,c都是自然数。若且，则；完全