第二章 控制系统的模型

1、第二章 控制系统的模型第一节 数学模型第二节 非线性数学模型的线性化第三节 传递函数第四节 系统环节推导方块图及其框图变换第五节 信号流程图与梅逊（Mason）公式2）状态变量，状态方程描述（又称内部描述）2.数学工具1）线性定常单输入单输出系统：*常微分方程式描述*利用代数算子如拉普拉斯变换(拉氏算子)2）多变量系统：往往采用状态方程方法解：由基尔霍夫定律，可列如下方程idtcuc1crdiiRLuudt常微分方程式描述举例：1.有R-L-C电路，其输入电压ur，输出电压uc, 试写出ur与uc之间的微分方程式。由于我们关心的是输入与输出的关系，而式中 i 为中间变量，消取变量 i 并整理得

2、：称式21为所示电路的数学模型。21式中:描述了R-L-C电路在电压ur作用下电容两端电压uc变化规律。习惯上常将上式写为：22cccrd uduLCRCuudtdt22ccLCCcrd uduT TTuudtdt,LCLTTR CR微分方程是描述线性系统运动的一种基本数学模型。1CS回路电流 i Uc改写为Uc(s) ，列回路方程：1C SI(S)=Ur(s)I(S)=Uc(s)1C S21( )( )11( )1() ( )crI sUsCsUsLCsRCsLsRI sCs*利用拉普拉斯变换，代数算子形式求微分方程。举例：上例电路图中元件L写成LS、电容C写为改写为I(S), Ur 改写为

3、Ur(s),LS.I(S)+R.I(S)+2(1)( )( )CrLCsRCsUsU s比较2-1知，上式dsdt即得微分方程 电路的微分方程可用拉氏代数方程求出，由拉氏式求取微分方程很方便，优点很多。结论：2.2非线性数学模型的线性化 在现实系统中，绝大多数都有一定的非线性性质，非线性系统一般要用非线性方法来解决。非线性系统求解比较困难，在一定的条件下，往往采用近似的线性方程代替非线性方程。比如图2-9，在平衡点A很小的区间，我们可以线性化，其数学表达式为：( )yf x在给定的工作点00(,)A xy附近，可以展开泰勒级数：002200021( )()|()|().2!x xx xdfd

4、fyf xf xxxxxdxdx（2-13） 前面介绍的是线性系统，其方程为线性常微分方程，它们具有奇次性和叠加性。若在工作点 附近增量 的变化很小，则可以略去式中 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为00(,)xy0 xx20()xx00()yyK xx或写为yK x 式中，00000(),|,x xdfyf xKyyyxxxdx （2-14）式（2-14）就是式（2-13）的线性化方程。 实际发电机系统中解决磁化曲线问题时常以直线处理。2.为什么要引进传递函数概念？.( )(1)( )(1)011011nnmmnnmma ya yay a yb xbxbx b x一线性定常系统的传

5、递函数1.定义：零初始条件下，输出量的拉式变换与输入 量的拉氏变换之比。微分方程：2.3传递函数引入传递函数后，上述几点都有不同程度改进。 虽然微分方程描述了线性定常系统的输入、输出关系，但有三点不足：1) 求解困难；工作量大，特别是高阶方程，初始条件 求解费时。2). 所求的解不满足系统性能指标时，解本身对如何改变、调节系统参数没有指导意义。如系统有三个待定参数，每参数可取5个值，得凑53125次。3). 加上校正装置后，系统微分方程将如何变化不明了，难直观理解。求解过程可用方框表示：微分方程式 时 域 解 S 代数式 复 域 解 拉 变 拉 逆 氏 换 氏 变x(t)X(s)y(t)Y(s

6、)求解难 代数运算求解易 （1）已知微分方程式求取传递函数： 式中y(s)为系统的输出量，x(s)为系统输入量，初始条件为 10111011( )( )( )mmmmnnnnb sb sbsby sGsx sa sa sasa零时，其拉氏变换式G(s) 即为传递函数： 把微分方程式中的微分算子 用复变量S表示，并整理,即得到传递函数G(S).ddt FS例1. 弹簧阻尼系统，质量为m(kg)的物体受到外力F的作用，产生位移y，求该系统的输入输出描述。（2）已知系统求传递函数：结论：解：系统输入量外力F ( kg)弹簧阻力Fs阻尼器粘性摩擦阻力Ff 通常把分母中S的最高阶数称为n阶系统，对于物理

7、系统一般分式的分母阶次高于分子阶次。根据牛顿定律 FmamaFFFfs (1)KyFs y位移量 移动速度dtdydtdyfFf加速度adtyd2222dtydmdtdyfKyFkydtdyftdydmF22 (2)FS式（2）两边取拉氏变换得： F(s)=(ms2+fs+k)y(s)系统传递函数： 3.微分方程表述系统数学模型的一般形式： xbdtdxbdtxdbdtxdbyadtdyadtdadtydammmmmmnnnynnn1111011110式中y为系统输出量，x为系统输入量KfsmssFsYsG21)()()(二数学模型传递函数描述1.受力系统例1 弹簧质量阻尼器系统外力F Kg

8、位移Y m弹性系数 k粘性系数 f质量m Kg 加速度a 2smmaF kydtdyfdtydmF22设初始条件为零 上式 两边拉氏变换： F(s)=(ms2+fs+k)Y(s) kfsmssFsYsG21)()()(f2电路系统传递函数推导：例1：一般 R-L-C电路如图： 电阻R 欧姆电感L 亨H电容C 法f解： )()(sUtUii 拉变 )()(00sUtUCSCLsLsItI1)()( 根据克希霍夫第二定律（零初始条件下）：)()(1)()(1)()(0sUsICSsUsICSsRIsILSi系统传递函数：11)()1()(1)()()(20RCSLCSsICSRLSsICSsUsU

9、sGi)()()()()()(2120sZsZsZsGsUsUi例2. 复阻抗电路如图： Z2Z1Z1(S)Z2(S)Ui(S)U0(S)例3 复杂电路如图，推出其传递函数，并画出系统方块图.11121022221211( )( )( )( )11( )( )( )( )( )iU sI s RI sI sCSU sI sI s RI sI sCSCS解:在上述三个方程中消去2个中间变量 I1(s)、I2(s)： 01122122112211221221 2123( )1( )( )(1)(1)1()11()1iUsG sU sRC SR C SRC SRC R C SRCR CRC STT

10、STTT S 式中 T1=R1C1 T2=R2C2 T3=R1C2K三典型环节的传递函数1.比例环节21()RKR)()(trKtCKsGsRsC)()()(Ur(S)R1R2U0(S)C1S1C2S1I1(S)I2(S)()()(trKtCdttdCT例1线性电路如图 T 环节时间常数 T=RCK 为比例系数1)()()(TsKsRsCsG当r(t)=1(t) , R(s)=1/s11)1 (111)(/1TsTseKKsTsLtCTt2.惯性环节无源电路 有源惯性电路20212112121( )1G( )( )(1)(1)iRUsR C SRsU sRRR C SRRTS式中T=R2C13

11、.积分环节 无源积分电路 000( )( )1( )( )( )1( )( )1( )1( )( )iqU tU tCI si t dtL i t dtsCU sI sCSU sKCG sKCI sSS拉式变换：其中积分用1/s代替01( )( )( )1iUsCSG sU sRTTRCS式中 有源积分电路 ( )( )dr tC tKdtG(s)r(t)c(t)tt4.微分环节理想微分环节，其输出与输入信号对时间的微分成正比.若输入为单位阶跃函数，则在t0时，系统的输出应是面积为K，宽度为0，幅值为无穷大的理想脉冲(现实中不能实现这类结果，只能近似)。( )( )( )C sG sKSR s

12、( )( )( )( )( )1ciUsC sTSG sR sU sTSUiUcR例：实际电路 注意 1(t)nMTGU0直流测速电机不计磁滞涡流和电枢反应影响， 原动机n恒定，磁场恒定， 则CTRCr( )( )1( )itU tt式中： ，当111( )( )( )1tTTSC tL G sR sLeTSS*1T 当( )G sTS时，0dUKKdt为角速度0( )( )( )UsG sKSs为转速5.振荡环节微分方程： 222( )( )T2( )( )d C tdC tTC tKr tdtdt拉氏方程传递函数： 22222( )( )( )212nnnKC sKG sR sT STSS

13、S式中：K011nTT时间常数放大倍数阻尼比无阻尼自然振荡频率11( )1( )( )Kr ttr sS当( )()()()()sCtrtCsGseRs6延迟环节 单位阶跃输入作用下，输出响应为滞后时间)( 1)(ttC2221( )( )( )2nnnC sG sR sSSS22221()()nnndndSSSS21211( )( )( )1sin()01ntnC tLG sR setarctgt 方程表示：多输入多输出系统的传递函数矩阵形式表示：OR式中：11111222211222( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )Y sGs U sGs UsY sGs U sG

14、s Us111121221221( )( )( )( )( )( )( )( )Y sGs GsU sY sGs GsU s( )( ) ( )Y sG s U s111112212122( )( )( )( )( ),( ),( )( )( )( )( )Y sU sGs GsY sU sG sY sU sGs Gs小结： 数学模型定义：数学模型用于描述系统动态特性的数学表达式。1推导线性定常系统的数学模型一般方法：（有三种） 1）列出系统的微分方程； 2）利用代数算子：如拉氏变换方法求传递函数 ）（dtds 3）实验法 2.常见物理系统数学模型求取依据： 1）电路（无源）依据：电路基本定律

15、 电容容抗： 1CS ； 电感感抗：LS电子线路（有源）典型电路314232430)()()(ZZZZZZZZsUsUsGi2） F-m-y系统 依据：力学定律ma合F 力矩平衡式12234;IIIII1212;iBUUIIZZ33BUIZ044BUUIZ1234BIIIIU消去中间变量 、 、 、 、B()例1直流发电机如图，输入U1，输出Ef激磁绕组 电感 L1 （亨）电阻 R1 解：设 00001fEit11111iRdtdiLU令1111111idtdiTRURLT即3）含电机的系统电路发电机由原动机拖动的，设原动机转速n恒定,电势 而, nCEef12ik1kCe1121.kiikk

16、Ef21kkk111uRkEdtdETff拉氏变换后：11111( )( )( )1(1)fkEsRKG SU sTsR Ts式中即有且令一由电路画出框图R1R2C1UC(S)Ur(S)i1i2U2(S)R3211CRuuu例1：已知RC电路，请画出结构方块图111RuiRSCRuiR121212222RiuuC)(12122IISCuC例2：已知RC电路，请画出结构方块图 11 11221()URIIIC S2221221()UR IIIC s1 12211()R IRIC s(1)(2)(3)由（1）式知:1212211/()1IC sUIC sRC s由（2）式知:2111211IRC

17、sIR C s由（3）式知:21222211()UIRIC sC s1212211/()1IC sUIC sRC s2111211IRC sIR C s21222211()UIRIC sC s二. 由框图简化得到传递函数 （用方块图表示的模型）( )( )( )( )r tc tR sC s、；、G(S)r(t)c(t)R(S)C(S)(一）方块图的组成系统块图 由四部分组成。 1.信号线：带箭头直线，箭头表示信 号传递方向标有信号的时间函数或象函数 2引出线（分支点）：表示信号引出 线或测量的位置从同一线段位置引出的信号，在数值和性质上完全等同。 11TsR(s)C(s)3.比较点（综合点）

18、，（误差检测器）两个以上信号进行代数运算“”表示信号相加，“”表示信号相减（负反馈），号不可省略。信号综合时，量纲要相同性质不同的系统只要动态特性相同，就可以用同样的方块图示；同理，由于分析系统的角度不同，同一系统可画得许多不同的方块图。4.方块（环节）： 方块内为系统动态特性的相关信息，但不是物理结构的相关信息方块输出信号C(s)等于输入信号与方块中传递函数的乘积。等效：输入不变时，不论方块组合如何改变，其输出应保持不变。证明： ( )( )( )C sG sR s开环输出二）方块图的等效变换1.串联方框等效11( )( )( )U sG sR s22121( )( )( )( )( )(

19、)UsG s U sG sG sR s32321( )( )( )( )( )( )( )C sG s UsG sG s G sR s123( )( )( )( )( )( )( )C sG sG sG sG sR sR s结论：方块图串联，等效方块图为各方块乘积或传递函数串联等效于各传递函数之乘积。（注，没有负载效应联接成立）。1( )( )niiG sGs2.并联方块的等效 由叠加原理知:123( )( )( )( )C sc sc sc s123( )( )( )( )( )C sG sG sG sR s结论：并联环节的等效传递函数等于各并联环节传递函数之和。式子：3.反馈连接等效 (

20、)( )( )C sG sE s 把输出量反馈到输入端与输入信号进行比较，成闭环，就称为反馈连接。 数学式子描述： 前向传递函数1）.前向通道与前向传递函数（1）前向通道 （2）前向通道传递函数：输出量C(s)与作用误差信号E(s)之比2). 反馈信号： 称单位反馈时，当)()(1)()()()(sCsBsHsCsHsB3）.开环传递函数： 反馈信号与作用误差信号E(s)之比)()()()(sHsGsEsB当H(s)=1时，开环传递函数为G(s) )()()(sEsGsC 又 )()()()()()(sCsHsBsBsRsE)()()()()()()()(sCsHsRsGsBsRsGsC移项：

21、用数学式子描述:4）.系统闭环传递函数：C(S)+G(S)H(S)C(S)=G(S)R(S) ( )( )( )1( )( )C SG SR SG S H S分母中“+”对应负反馈；“”对应正反馈 4.扰动作用下的闭环系统移项：C(S)(1+G(S)H(S)=G(S)R(S)5）闭环特征方程式1+G(S)H(S)=0两个输入R(S)，N(S)可以分别考虑： 1) R(S)单独作用下，输出 1212( )( )( )( )1( )( )( )RG S G SCSR SG S G S H S前向通道传递函数 开环传递函数 2)扰动N(S)单独作用下求输出CN(S)线性系统具有叠加性框图变换闭环特征

22、方程式相同 3) R(S),N(S)同时作用下，系统响应C(S) 2112( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )NRG SC SCSCSG SR SN SG S G S H S当|G1(S)H(S)|1；|G1(S) G2(S)H(S)|1时，扰动N(S)对C(S)影响很小，说明系统抗扰动能力增强。4) 讨论：增大G1(S)增益比增大G2(S)增益抗干扰效果好。当R(S)恒定，| G1(S) G2(S)H(S)|1时，其闭环输出: 12121212( )( )( )( )1( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )( )RG S G SG S G S

23、CSR SR SR SG S G S H SG S G S H SH S说明：G1(S)， G2(S)参数变化与闭环系统输出无关，同时也表明反馈通道元件精度很重要。 1）综合点前移： 5.方块图等效法则综合点符号不变，B信号通道变为1( )G S）引出点前移： 2）引出点后移：）综合点后移： ） 非单位反馈化为单位反馈 证式： ( )( )( ) ( )( )( )R SC SH S G SC SH S结论：变换等效( ) ( )( ) ( )( )GS RSH S CSCS）综点变换 例1前向通道中传递函数的乘积必须保持不变。两条原则：回路中传递函数的乘积必须保持不变。例2例3 G1G3G2

24、G4G5G6H1H3H2H4R(s)C(s)-+G11+G2G3G4G5G6H1351HGH2H4-R(s)C(s)多输入多输出系统，通常用传送矩阵表达 例4:11111222211222( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )C sGsR sGsR sC sGsR sGsR s111121221222( )( )C sGGRC sGGR 一、信号流程图组成及含义信号流程图：由节点和带方向及增益的支路组成。2.5信号流程图与梅逊（Mason）公式混合节点：既有输出也有输入1x2xa12x1x2）节点：表示变量的点混合节点输入节点（源点）x4dax2b输入节点（源点）x1cx

25、31x3输出节点（阱点）输入节点（源点）：只有输出的节点，对应于自变量输出节点(阱点）： 只有输入的节点，对应于因变量）支路：连接两个节点的定向线段 12aa12x1x2）不接触回路：回路间没有任何公共节点。前向通道：从输入节点到输出节点的通道上，通过任何节点不多于一次。 回路增益：回路中各支路传输的乘积。闭通道：通道起点就是该通道的终点，并与任何其他节点相交不多于一次，闭通道即回路。开通道：与任一节点相交不多于一次。）通道：沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径。）传输：两个节点之间的增益， ， ， ）信号流图仅适应线性系统，节点信号可以叠加信号流图性质：）支路表示一个信号对另一个信号的函数关

26、系。x1x2x3x4） 信号流图不是唯一的）混合节点不能变为源点。x1x2x3x4x31 因为同一物理系统的方程可以有不同的形式，当然信号流图就有不同形式。 二、绘制信号流程图的步骤）将线性方程组写成因果表达式 例： 00210210 xdxcxbxxax102201dxcxxbxaxx）确定各节点位置ax1x2x0cbd）根据方程式画出信号流程图 三、 信号流程图简化1)串联支路：总传输等于各支路传输之乘积，中间变量消失。 2)并联支路：总传输等于各支路传输之和 a0a1a2x0 x1x2x3Xn-1xnx0 xn0niia1niiaax1x2x0cbdax1x2x0cbd4). 反馈原则仍适用式中*“”号对应正反馈 3).混合节点可通过支路移动法消除 混合节点 消失 3x已知系统方块图如下，试用信号流程图化简。