专题强化练五

1、专题强化练五一、选择题1.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=3,对任意xR,f(x)V3,则f(x)>3x+6的解集为()A. x1vxv1B.(x|x>1)C.x|xv1)D.R解析：设g(x)=f(x)(3x+6),则gx)=fx)-3v0,所以g(x)为减函数，又g(-1)=f(-1)-3=o,所以g(x)>0的解集为x|xv1).答案：C2.(2019贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为1,4,部分对应值如下表：x-10234f(x)12020f(x)的导函数y=f'x)的图象如图所示.当1vav2时，函数y=f(x)-a的零点的个数为()A.1B.2C.

2、3D.4解析：根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y=f(x)的大致图象如图所示.由于f(0)=f(3)=2,1vav2,所以y=f(x)-a的零点个数为4.答案：D(2019广东二模)已知函数f(x)=e-lnx,则下面对函数f(x)的描述正确的是()A. ?x(0,+8),f(x)<2B. ?x(0,+8),f(x)>2C. ?xoC(0,+8),f(xo)=0D.f(x)mine(0,1)解析：因为f(x)=exInx的定义域为(0,+习，1xex1且f'x)=ex_=,xx令g(x)=xex1,x>0,则gx)=(x+1)ex>0在(0,+习上恒成

3、立，所以g(x)在(0,+习上单调递增，又g(0)g(1)=(e1)v0,所以？x°q0,1),使g(x。)=0,贝Uf(x)在(0,x。)上单调递减，在(x0,+可上单调递增，则f(x)min=f(x0)=ex0Inx°,11.又ex°,x0Inxq,所以f(x)minv+x>2.x0x。答案：B3. 若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)xf刈0,贝”)A.3f(1)vf(3)B.3f(1)>f(3)C.3f(1)=f(3)D.f(1)=f(3)f(x)】xf(x)f(x)一解析：由于f(x)>xfxo,则xvo恒成ff(x)«t

4、立，因此yT在R上是单调减函数，xf(3)f(1)所以v一，即3f(1)>f(3).3I答案：Blnx,x>1,(2019佛山市质检)已知函数f(x)=<11若mvn,/x+2，xV1,且f(m)=f(n)，贝Unm的最小值是()A.3-2ln2B.e-1C.2D.e+1解析：作出函数y=f(x)的图象如图所示.若mvn,且f(m)=f(n),则当lnx=1时，得x=e,因此1vn<e,1<m<1.12+m12-n又即m=2lnn1.所以nm=n2lnn+1,设h(n)=n2lnn+1(1vn<e),贝1Jh'n)=1，.当h'rt)&

5、gt;0,得2vn<e;当hn)<0,得1vnv2.故当n=2时，函数h(n)取得最小值h(2)=3-2ln2.答案：A二、填空题4. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27兀dm3,且用料最省，则圆柱的底面半径为dm.解析：设圆柱的底面半径为Rdm,母线长为ldm,则V=兀R2l=27兀，所以1=苔，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最R小.22_27S表=兀R+2兀R1=兀R+2兀舌,R54兀所以S>=2兀R-RT.令S>=0,得R=3,则当R=3时，S表最小.答案：35. 对于x(0,2),不等式kxvex+x3-2x恒成立，则实数k的取值范围是.解析：对

6、于xq0,2),kxv4+x32x2恒成立.-ex则kv+x2-2x对xq。,2)怛成立,xex2厂设f(x)=了+x2-2x,xq0,2),xeT(x1)贝Uf刈=2+2(x1)=(x-1)xexx2+2.令fx)=0,得x=1,当xqi,2)时,f(x)>0,函数f(x)在(1,2)上单调递增，当x/0,1)时，f'(x)v0,函数f(x)在(0,1)上单调递减，所以kvf(x)min=f(1)=e-1.故实数k的取值范围是(8,e1).答案：(一8,e-1)(2019江苏卷改编)若函数f(x)=2x3ax2+1(aR)在(0,+8)内有且只有一个零点，贝Uf(x)在0,1上

7、的最大值是.解析：f'x)=6x22ax=2x(3xa)(aCR), 当a<0时，f'(x)>0在(0,+习上恒成立，贝Uf(x)在(0,+习上单调递增.又f(0)=1,所以此时f(x)在(0,+刃内无零点，不满足题意，因此a>0.a 当a>0时，令fx)=0得x=-.3aa,当0vx<-时，f(x)v0,f(x)为减函数；当x>.时,f(x)>0,f(x)33aa3为增函数，所以x>0时，f(x)有极小值，为虫j=-27+1.因为f(x)在(0,+习内有且只有一个零点，所以f!=0,所以a=3.37所以f(x)=2x33x2+1

8、,则fx)=6x(x1).当x0,1)时,f(x)V0,故f(x)在x0,1上是减函数，所以f(x)max=f(0)=1.三、解答题_一一一-x1.6. 已知函数f(x)=lnx.x求f(x)的单调区间；e2x+1(1) 求证：ln<x.x1i(1)命军：f(x)=-Inx=1-Inx,xxf(x)的定义域为(0,+刃.令fx)>0?0vxv1,令fx)v0?x>1,1所以f(x)=1-1-Inx在(0,1)上单调递增，在(1,+刃上单调递x减.e21+x1(2)证明：要证ln，即证2-lnx<1+,xxx1即证1lnx<0.x1由可知，f(x)=1-lnx在(0

9、,1)上单调递增，在(1,+X)x上单调递减，所以f(x)在(0,+习上的最大值为f(1)=1-1-ln1=0,即f(x)<0,.1,所以1一lnx<0恒成立.原不等式得证.x已知函数f(x)=ex1,g(x)=Vx+x,其中e是白然对数的底数，e=2.71828(1) 证明：函数h(x)=f(x)g(x)在区间(1,2)上有零点；(2) 求方程f(x)=g(x)的根的个数，并说明理由.(1) 证明：由题意可得h(x)=f(x)g(x)=ex1-pxx,所以h(1)=e3v0,h(2)=e23-瞻0,所以h(1)h(2)<0,所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点.(2)

10、解：由(1)可知，h(x)=f(x)g(x)=ex1-Vx-x.由g(x)=x+x知xq。，+习,而h(0)=0,则x=0为h(x)的一个零点.又h(x)在(1,2)内有零点，因此h(x)在0,+可上至少有两个零点.1111.h(x)=e2、一21,记Mx)=e?x21.13贝，4X)=e+»x板，当x0,+切,4(x)>0,则Mx)在(0,+羽上递增.易知Mx)在(0,+习内只有一个零点，所以h(x)在0,+可上有且只有两个零点，所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2.a1已知函数f(x)=x(a+1)lnx】(aCR且ave),g(x)=x+exxex.(1) 当x1,e

11、时，求f(x)的最小值；(2) 当av1时，若存在xiCe,e2,使得对任意的x22,0,f(xi)vg(x2)恒成立，求a的取值范围.解:函数f(x)的定义域为(0,+习，(x1)(xa)f(x)=/.x 若a<1,当xq1,e时，f(x)>0,则f(x)在1,e上为增函数，f(x)min=f(1)=1-a. 若1vave,当xq1,a)时,f(x)<0,f(x)为减函数；当xqa,e时,f(x)>0,f(x)为增函数.所以f(x)min=f(a)=a(a+1)lna-1.综上，当a<1时，f(x)min=1-a;当1vave时,f(x)min=a(a+1)lna1.(2)由题意知，f(x)(xqe,e2)的最小值小