一元二次根的判别

1、一、知识要点：1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a乒朔根的判别式=b-4ac。 >0时，方程有两个不相等的实数根。 =0时，方程有两个相等的实数根。 <0时，方程没有实数根。以上定理也可以逆向应用。在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。注意：(1)根的判别式是指=t2-4ac,不是劝"4睡，(2)使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。2. 根的判别式有以下应用： 不解一元二次方程，判断根的情况。 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围 证明字母系数方程有实数根或无实数根。注意：如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等

2、实根或有两相等实根两种情况，此时b-4acAQ切勿丢掉等号。根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a乒0.二、例题精讲：例1.不解方程，判断下列方程的根的情况：2x2+3x-4=0(2)3x2+2=2，x(3) 2x2+i=2xax2+bx=0(a丰0)(5)ax2+c=0(a丰0)分析；一元二次方程的根的情况是由=b"-4ac的符号决定的，所以，在判断一元二次方程根的情况时，应想尽办法判断出“洲符号，然后根据判别式定理判定根的情况。尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“遍;成完全平方式或完全平方式加上(或减去)一个常数，

3、再根据完全平方式的非负性判断“洲符号，从而决定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论。解：（1）2x2+3x-4=0a=2,b=3,c=-4,=b-4ac=32-4乂-4)=41>0.方程有两个不相等的实数根。(2) 将方程化为一般形式3x2-2'Ix+2=0a=3,b=-2叩七,c=2 =b-4ac=(-2搭)2-4>3X2=0,方程有两个相等的实数根。(3) 将方程化为一般形式-X2-x+1=0方程两边同乘以2(为了计算简便)，得，X2-x+2=0a=c,b=-。口，c=2 =-)2-4X2=2-8'i<0方程没有实数根。(4) ax2+bx=0(a丰0

4、)-a乒0,方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， =b-4a0=b2,无论b取任何实数，b2均为非负数，A>p故方程有两个实数根。(5) ax2+c=0(a丰0)a乒0,-此方程是缺少一次项的不完全的一元二次方程，一次项系数b=0=0-4ac=-4ac需要讨论a,c的符号，才能确定的符号；当c=0时，=0,方程有两相等实根；当a与c异号时，>0,方程有两不等实根；当a与c同号时，<0,方程没有实数根。注意：运用根的判别式判定一元二次方程根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数。例2.求证方程(m2+i)x2-2mx+(

5、m2+4)=0没有实数根。分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。证明：=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)=4m2-4(m4+5m2+4)=-4m4-i6m2-16=-4(m4+4m2+4)=-4(m2+2)2不论m取任何实数(m2+2)2>0,-4(m2+2)2<0,即<0.-关于x的方程(m2+i)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：(1) 计算(2) 用配方法将恒等变形(3) 判断的符号(4) 结论其中难点是的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2

6、,a2+2,(a2+2)2,-a2,-(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。方程配方与代数式配方既有联系又有区别：方程配方是对方程进行同解变形，代数式配方是恒等变形，因此方程变形中两边除以二次项系数，而在代数式变形中为提取二次项系数。方程变形中等号两边同时加上一次项系数一半的平方，而在代数式变形中加上一次项系数一半的平方的同时，还需减去一次项系数一半的平方，以保证代数式恒等。例3.已知关于x的方程kx2-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求k的值并解这个方程。分析：.方程有两个实数根，.有隐含条件二次项系数k乒0,又.方程有两个相等的实数根，由判别式定理的逆定理可知=0解：=(

7、-4k)2-4k(k-5)=12k2+20k-方程有两个相等的实数根，-=0即12k2+20k=05解得ki=0,k2=-f,又k=0时，方程不是一元二次方程，不能有两个实根，k=0不符合题意，应舍去。5k=-_,5把k=-§代入原方程，原方程即为x2-4x+4=0。解得这个方程的两个根是Xi=X2=2.注意：对于二次项系数含有待定字母的一元二次方程，当使用根的判别式时，必须考虑隐含条件a乒2例4.已知：a、b、c为ABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2际ax=0有两个相等的实数根，求证：ABC为RtAo证明：整理原方程：方程c(x2+m)+b

8、(x2-m)-2”ax=0.整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2'，ax=0(c+b)x2-2Iax+cm-bm=0根据题意：-方程有两个相等的实数根， =-21侃a)2-4(c+b)(cm-bm)=04ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0ma2-c2m+b2m=0222-=m(a+b-c)=0又m>0,c222-a+b-c=0-a2+b2=c2又a,b,c为ABC的三边， ABC为RtAo例5.若a,b,c为实数，关于x的方程2x2+2(a-c)x+(a-b)2+(b-c)2=0有两个相等的实数根，求证a+c=2b.分析：根据判别式定理的逆定理，由方程有两个相

9、等实根，可知=0,经整理化为关于方程中系数的等式，从而导出结论。证明：.一元二次方程有两个相等实数根，-=Q即2(a-c)2-4>2(a-b)2+(b-c)2=0(a-c)2-2(a2-2ab+b2+b2-2bc+c2)=0a2+4b2+c2+2ac-4ab-4bc=0(a+c)2-4b(a+c)+4b2=0(a+c-2b)2=0-a+c-2b=0即a+c=2b.注意：利用一元二次方程的根的判别式进行有关的证明，就是根据判别式大于0,小于0或等于0的情况，结合已有的其它知识来证明结论的，有时要应用乘法公式进行恒等变形。例6.若关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根，求m

10、的取值范围。分析：已知方程有两个实数根，说明它是一元二次方程，即二次项系数m2乒o,又由判别式定理的逆定理可知9m的取值范围是受这两个条件限制的，解之即可。解：方程有两个实数根，.即(2心1)2-4地七。£解得n>-4且"0,-当n>-4且mO时，方程有两个实数根。注意：不要漏掉题中的隐含条件土次项系数"0”。例7.若关于x的方程(m2-i)x2-2(m+2)x+1=0有实数根，求m的取值范围。分析：此题易误认为所给方程是一元二次方程，而用HQ且m2-i乒o来解，事实上，题目中没有给出方程的次数，也没有指明方程的根的个数，因此应考虑方程为二次方程和一次

11、方程两种情况。解：本题有两种情况：(1) 若方程是一元二次方程，并且有实根，则必有:U2-1*0Im+145即n>-且"士1.fm2-1二。(2) 若方程为一次方程，则I一&伽解得m=1,£当m=1时，原方程为-6x+1=0，有实根x=6,当m=-1时，原方程为-2x+1=0，也有实根x=2.5综合(1),(2),得伦3时，原方程有实数根。注意：对比以上两个例题，都是由方程的根的情况求m的取值范围，但解题思路却不太相同。例6说方程有两个实数根”，隐含着方程是一元二次方程的条件，例7说方程有实数根却没有这样的隐含条件，所以例7要分二次方程和一次方程的两种情况讨论

12、。本题所用的是分类讨论思想。利用分类讨论思想解答问题，要注意：分类要按同一标准进行，同时分类要做到不重不漏，最后要综合几种情况得出结论。例8.已知，关于x的方程x2-J及+4x+k=0有两个不相等的实数根。(1)求k的取值范围。(2)化简：|-k-2|+-4k+4)2-4k=2k+4-4k=-2k+4解：=(-方程有两个不相等的实数根，即>0,-2k+4>0,.k<2,又.2k+4>0,.k=2.k的取值范围是-2<k<2.(2)|-k-2|+yk-4k+4(-2<k<2)=|k+2|+'=|k+2|+|k-2|=k+2+2-k=4.使用

13、时常需要配方，是这一小结：一元二次方程根的判别式是判定二次方程解的情况依据,部分的重要知识，要掌握一元二次方程的根的判别式中考考点：1 .理解一元二次方程的根的判别式的概念2 .能用判别式判定根的情况。考点讲解：1 .一元二次方程ax2+bx+c=0(a乒的根的判别式：=b2-4ac,当>0时O方程有两个不相等的实数根；当/=0时D方程有两个相等的实数根；当<0时O方程没有实数根。2 .根的判别式应用极为广泛，主要有以下几方面：(1) 不解方程，判断根的情况，步骤是：化方程为一般形式，确定a,b,c的值；计算b2-4ac,并确定它的符号；用定理判断根的情况。给出根的情况，求方程中字

14、母系数的取值范围。解题步骤是：化方程为一般形式，确定a,b,c的值；求判别式，它是含有未知数的代数式；根据题目所要满足的条件列出方程或不等式；解方程或不等式，确定字母取值范围。当方程有两个实数根时，应结合二次项系数不等于零加以考虑，这一点往往容易忽视，应特别小心。(2) 利用根的判别式证明方程根的情况。此类题比较综合，运用配方法和因式分解技巧，结合非负数的有关性质进行推导才能奏效。考题评析1.(甘肃省)在一元二次方程X+E=O中，若系数b和c可在1,2,3,4,5,6中取值，则其中有实数解的方程的个数是。考点：一元二次方程根的判别评析：因为b、c可在1、2、3、4、5、6中取值保证方程有根。所

15、以=44ac>0,而a=1,所以实质为b24c>0,b从大到小取值，c也从大到小取值，可知b=6时，有6个方程，b=5时,有6个方程，可知b=4时，有4个方程，可知b=3时，有2个方程，可知b=2时，有1个方程，以此类推，可知共19个方程有实根。答案：192.(辽宁省)关于x的一元二次方程-6乂+瑕=。有两个相等的实数根，则m=考点：一元二次方程根的判别式评析思路：因为方程有两个相等实根，所以=t2-4ac=0,将方程中的a、b、c代入构成关于m的方程，解这个方程可得m值。答案：93 .（河北省）若关于x的一元二次方程W+戏+1）工+左_=0有两个实数根，则k的取值范围是O考点：一

16、元二次方程根的判别式评析思路：因方程有两个实根，所以A0可求k的范围，同时注意一元二次方程的条件a乒0,所以在k的范围内不包括k=0。答案：ka9且k乒04. （贵阳市）已知关于x的一元二次方程mx2-2（3m-1）x+9m-1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是.考点：一元二次方程根的判别式评析：利用判断式得到不等式，并解不等式即可，解法同上面第3题。答案：m5且mO（长沙市）关于x的一元二次方程x2-4x+a=0有两个相等的实数根，贝Ua=.考点：一元二次方程根的判别式。评析：利用判别式等于0,得到关于a的方程，解这个方程得。答案：45. （北京市海淀区）方程x-3i+4=0的根的情况是

17、（）（A）有一个实数根（B）有两个相等的实数根（C）没有实数根（D）有两个不相等的实数根考点：一元二次方程根的判断式。评析：首先掌握根的判断式=b2-4ac的正负情况。只要将方程中的a,b,c代入求值,根据值的符号就能选出正确答案，有时此类问题也可直接解方程。答案：C7.（安徽省）关于围是：（）4A、k<3C、k<2iD、k>3x的一元二次方程3x2-2x+k-1=0有两个不相等的实数根，贝Uk的取值范考点：一元二次方程根的判别评析：因为原方程有两个不等实根，所以=4-4X3X(k-1)>0解得k<3故应选A。8.（河北省）在一元二次方程（A）有两个不相等的实数根（C）没有实数根ax2+bx+c=0(a乒由,若a与c异号,则方程（B）有两个相等的实数根（D）根的情况无法确定考点：一元二次方程根的判别评析：因为方程ax2根，故选A。+bx+c=0(a乒0）,a与c异号，所以b2-4ac>0,故方程有两个不相等的实真题实战1.（青岛市）已知x2B、-2