悬臂梁固有频率的计算

1、悬臂梁固有频率的计算时间：2021.02.08创作人：欧阳生试求在* 0处固走、* /处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率 (求解前五阶)。解：法一：欧拉伯努利梁理论悬臂梁的运动微分方程为:曰葺工+知沪，;悬臂梁的边界条件为:心=0) = 0(1),字3 = 0) = 0(2),工=0, = (EI字)=0(4)；dxOr .dx dx该偏微分方程的自由振动解为 vv(x,t) = W(x)T(t),将此解带入悬臂梁的坯 动微分方程可得到w(x)= g cos (5x + C2 sin Px + C3 cosh /3x + C4 sinh (3x ,T(t) = Acos vvt+ Bsin v

2、vt ；其中 0° =""El将边界条件(1 )、(2)带入上式可得g+g =o , C2+C4 = 0 ；进一步整 理可得 w(x) = Cj (cos J3x - cosh fix) + C2 (sin fix - sinh fix)；再将边界条件(3 ) s(4 )Cj(cos /7/ + cosh /?/) C7(sin pi + sinh /?/) = 0 ；-C (- sin pi + sinh pi)-C2 (cos pl + cosh /?/) = 0 要求 C 用 Q 有非零解 f 则它们的系数 所以得到频率方程为：cos仞)cosh(0”/)

3、= -l ；该方程的根表ZF振动系统的 固有频率:忙皿)2(跆乙= 12.满足上式中的各加(归2,)的值在 书P443表8.4中给出,现罗列如下：行列式必为零,即-(cos pi+cosh pi) -(-sin pi + sinh 0/)一(sin pl + sinh pl -(cos pi + cosh pi)=0刃=1.875104, 0J = 4.694091,届/ = 7.854757, /= 10.995541,別= 14.1372 ；若相对于 灿的G值表示为G”，根据式中的5 , C2”可以表示为cos Pnl + cosh PJsin 0/ + sinh 0艸x-coshA x)

4、-:需:黑伽 0" XW X)” = 1,2,.由此可得到悬臂梁的前五阶固有频率,分别将n = 12345带入可得:J IIT J ITJ6=1.8751042()6 =4.6940912()6 0=7.854757"r) pAP -pArpAl4F 1= 10.9955412(V，pAlE372怜；法二、铁摩辛柯梁梁理论1 悬臂梁的自由振动微分方程:EId4w(xd)d2nxj)drE d4w'kG dx2 drp11 d4w边界条件:dvv= 0) = <p(x = 0) = 0( 1) » 0 ox= 0(2)设方程的通解为 :vv(x,r)

5、= Csin cos h;/ ；易知边界条件(1 )满足此通解，将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为：a2n44r旦;若转动惯量与剪切变形的影响均忽略,上式的频率方程简化为；当n = 1,23,4,5时可分别求得固有频率为：多自由度系统频率的计算方法等效质量：连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量m1 邓克菜法其中邓克菜公式为:a aHn?j + a22w2 + + a55/?J5P8/39/364/3Pm .如 _ 375毋'"妇 _ 375£7 " _ 25£厂'如 _ 3=5 El'% _ 元7，側=“=“ =q =Y

6、=丁 ,将其代入上式可求得系统的基频为 :呵二 2.887( EI , 此基频比用伯努利欧拉梁求得的一阶固有频率普1.8751042(占笄偏小，误差为17.42% ,与邓克菜法的推导预期相符。2瑞利法系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为取静变形曲线为假设阵型，设心（4。279 436 600），有所以&心牆二罗竝，此基频比用伯努利欧拉 梁求得的一阶固有频率姑1.8751042（偏大，误差为15.23% ,与瑞 利法的推导预期相符。3 里茨法系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给出,设阵型为0】=(1 2 3 4 5/, /=(1 3 5 7 9)7；则可求出WK分别为将以K代入（K亠“）

7、才=0得肿/卜0 ；可以求得:以及A讥A%?),-0.578 /J.29 丿所以系统前两阶主阵型的近似为4 雅克比法动力矩阵为'lmI'm415mHim71m '375EI15OEI375EI75OEI375EIlm81-m141m41m261niI5OEI375EI375EI75EI375EI41'm141m91；m271m181 m375EI375EI125EI25OEI125EIlllJm41m271Jm641lm881&75OEI75EI25OEI375EI375EI7l5m261?m181m8813mIm|_375EI375EI125EI375EI3EI JD = AW =,由雅可比法求解其特征值和特征向量为：其固有频率2.930000018.700000052.700<,阵型为00010000000158.11-0.64810.5361 -0.58780.0459 0.1669 0.3387 0.5393 0.75130.2290 0.5589 0.580