§42换元积分法

1、§4.2换元积分法(第二类)之欧侯瑞魂创作I授课题目(章节)：§4.2换元积分法(第二类换元积分法)n教学目的与要求：in教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换g(x)叫时如果函数g(x)内讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分可以化为lf(x)(x)|的形式那么所以第一换元积分法体现了“凑”lf(x)|函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如a2x2dxl.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换将无理函数给的积分f(x)dxl化为有理式忻(t)(t)|

2、的积分f(切dt若上面的等式右端的被积函数lf时有原函数L时，则f(顷dt，然后再把M中的0还原成1(xt所以需要一开始的变量代换u辿有反函数。定理2设是单调、可导的函数，且q,又设if(t)有原函数口可，则-一1一f(x)dxf(t)(t)dt(t)C(x)Cx(t)单调、可导，口x(t)存在反函数t1(x)证明d1,、】ddt(x)dxdtdxdtdx,且分析要证明f(x)dx1(x)C1,只要证明（x）】l的导数为回,dt11dxdx(t)dt类型1:被积函数中含有a0|），可令lxasint|（并约定t（一，一）22）则数的积分.a2x2acostdxacostdx|,可将原积分化作三

3、角有理函a2x2dx(a0)解令|xasintt（一，一）22acost|dxacostdt1(x)是f(x)是一个原函数1f(x)dx1(x)C第二换元法，经常使用于如下基本类型222aaaxx22tsintcostCarcsin-；axC222a2借助下面的辅助三角形把也11,cOst用凶暗示.2x2dxx(F,则解令|x2sint4x22costdx2costdt类型2:被积函数中含有(a0)|可令xatantl并约定，则asect-,dxv'x2a2(a0)例3求dxasectdtdx2x解令|x2tant|.t（一，一）22，则曲x22sect2,dx2sectdtdx22例

4、5求（x9）（分母是二次质因式的平方）解令lx3tant"则x299sec212,，dx3sectdt练习：求L（-31dxx2x5)（第二换兀积分法分）/2八l、解l(x2x5)222z八22I(x1)，令|x12tanr类型3被积分函数中含有22xa(a0)xasectI,并约定t(0,2)x2a2atant时，可令|uxt(,)22hl,当co时，可令,|dxasecttantdtl,当,可将原积分化为三角有理函数的积分。dxJ'22xa(a0),贝lua解被积函数的定义域为(,a)(a,)(a,)时，令|xasect|,t(0,2)atant>dxasectta

5、ntdtl有ln(x:x2a2)C122ln(secttant)CIn()Caa当|x(,a)|时,令匚二u则|u(a，"有dxr22八(InxvxaCx(,a)(a,)|时,Vx2a2dx、2f2?例7求IxJx1解x(1，)时,令|xseCF,t(0,2)贝'v'x21tant,|dxsecttantd,有dx2secttantx1八2dtcostdtsintCCsecttantx(,1)1时,令匚二，则|u(1,)1有dx气x21心口无论|x11或史均有C22xx1x注意：(1)以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分(2)在利用第二

6、类换元积分法时将积分的结果还原为0的函数时,经经常使用到同角三角函数的关系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”(3)在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁dx例8求x&2a2&0)解法一(用第一换元法)uxi则a匚M时，令两式合并dx1aarccosa解法二(第二换元法)I*xaxasectt(0,2)vxaaaxa2atantfdx""asecttantdtdxasecttant,dtxx2a2asectatant(2)当由(1)(2)两种情况可得dx1a-arccosxJx2a2a|xV归纳总结1、第二类换元积分法的

7、思想f(x)dx中的被积函数些为无理函数，可以选择适当的变量代换也I，将无理函数f刈的积分f(x)dx化为有理式的积分f(t)(t)dt2、第二类换元积分法适用的被积函数类型类型1:被积函数中含有a°|)，可令|xasint(并约定t(一，)2'2,1)则acost.,类型2:被积函数中含有dxacostdx可将原积分化作三角有理函数(a0)l可令xatantl并约定(2，2)，贝lj|Ja2x2asect；|dxasec2tdt；可将原积分化为三角有理函数的积分.类型3被积分函数中含有a2|(a0)|,当U时，可令xasect|，并约定'(°2)，贝寸x2a2atant,|dxasecttantdt|，当|xa时，可令Px，则口，可将原积分化为