数字信号处理第7章上

1、1 IIR滤波器优点在于可利用模拟滤波器设计的结果，但有明显缺点：就是相位非线性，若需要线性相位，则要采用全通网络进行校正。 FIR 滤波器的优点正在于线性相位的可实现性，因此，我们最感兴趣的是具有线性相位的滤波器。而对非线性相位的FIR滤波器，一般不作研究，可用IIR滤波器来代替。第七章第七章 有限长单位冲激响应有限长单位冲激响应(FIR) (FIR) 数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法22）FIR滤波器的单位抽样响应是有限长的，极点在z-平面原点，因而系统稳定；1）可以具有严格的线性相位特性及任意的幅度特性，波形失真小；FIR滤波器的的特点：3）只要经过一定的延时，任何非因果有限长序

2、列都能变成因果的有限长序列，因而可用因果系统逼近非因果系统；35）同样幅度衰减特性，FIR比IIR阶次高；4） FIR滤波器的单位抽样响应是有限长的，可用FFT快速高效处理信号；注意： 前面已介绍过IIR滤波器的设计，但它的各种变换法，对FIR滤波器设计是不适用的， 其原因在于系统函数只是Z-1的多项式，而IIR设计中是利用Z-1的有理分式。4一、线性相位FIR滤波器的特点二、FIR滤波器的设计方法1、窗函数设计法；2、频率抽样设计法；3、最优化设计法切贝雪夫最佳一致逼近法内容包括：510)()(NnnznhzH在有限z平面有（N-1）个零点，在z=0处有（N-1）阶极点。一、线性相位FIR滤

3、波器的特点 1、单位冲激响应h(n)的特点：FIR滤波器的单位抽样响应是有限长的，其Z变换为：6 如果FIR滤波器的单位抽样响应h(n)为实数，而且满足以下任一条件：偶对称 h(n)h(N-1-n)奇对称 h(n)-h(N-1-n) 其对称中心在n( N-1 ) / 2 (不一定为整数)处，则滤波器具有准确的线性相位。具体: n0 和nN-1, n1 和nN-2, 对称.2、线性相位条件7系统函数可以写成：)()()()()(jjjjeHeeHeH如果是线性相位特性，则有：)(或0)(即群延时响应dd)(为常数。线性相位条件推导：8将)(代入)()()()()(jjjjeHeeHeH有jjNn

4、njjeeHenheH)()()(10比较等式两边的实部和虚部，有：1010)sin()()sin()()cos()()cos()(NnjNnjnnheHnnheH91010)cos()()sin()()cos()sin()tan(NnNnnnhnnh所以：0)sin()cos()()cos()sin()(1010NnNnnnhnnh即：0)(sin)(10Nnnnh当10),1()(21NnnNhnhN时，上式成立。（偶对称）二者卷积（奇对称）10同理，当0)(时，有：0)(sin)(100Nnnnh当10),1()(2210NnnNhnhN时，上式成立。（奇对称）此时，除产生线性相移外，还

5、有2固定相移（偶对称）11N为奇数N为奇数N为偶数N为偶数四种类型线性相位FIR数字滤波器:1213)()()()1()()(1)1(10)1(10)1(1010zHzzmhzzmhznNhznhzHNNmmNNmmNNnNnnn10)()(NnnznhzH及)1()(nNhnh由又3、线性相位FIR滤波器频率响应的特点1410211)1(2)()()(21)(2121NnNNnNnNzznhzzHzzHzH取“+”表示偶对称：取“-”表示奇对称：)1()(nNhnh)1()(nNhnh上式两边同时加H（Z），再用2去除得：1511()()1122()201120()( ) ( )21( )c

6、os2jNNj nj nNNjjz enNNjneeH eH zeh nNeh nn21)(21cos)()(10NnNnhHNn幅度函数相位函数1）h（n）为偶对称16 特点： 幅度函数H()(不同于幅频响应)包括正负值，相位函数是严格线性相位，说明滤波器有(N-1)/ 2个抽样的延时，它等于单位抽样响应h(n)长度的一半。小结： 当h(n)为偶对称时，FIR滤波器是准确的线性相位滤波器。 171()2N)1N()(,2(1)N0( ) 2)21N()(,181022121sin)()()(NnjNjezjnNnhezHeHj221)(21sin)()(10NnNnhHNn幅度函数相位函数2

7、）h（n）为奇对称19 特点： 相位函数仍是线性，但在零频率(0 )处有/2的截距。不仅有( N-1)个抽样的延时，还产生一个/ 2的相移。小结 ： 当 h( n )为奇对称时，FIR滤波器将是一个具有准确相位的正交变换网络。（如希尔伯特变换）20 可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个900相移，这样就使得通过filter的所有频率都相移900，因此称它为正交变换网络。（相移900的信号与原信号为正交的）。0 ,()2,()(1)232,()()2NN 3()2N(1)2N( ) 20221h(n)偶对称时的线性相位特性偶对称时的线性相位特性h(n)奇对称时的奇对称时的 相移线性相位待性

8、相移线性相位待性090正交变换网络221021cos)()(NnnNnhH)1(21cos21cosnNNnN上式也是一个偶对称。4、幅度函数的特点（分四种情况） 1）h（n）偶对称，N为奇数23所以：21, 2 , 1,212)(21)0()cos()()(2)1(0NnnNhnaNhannaHNn2)1(1212)3(0)cos(2122121cos)(221)(NmmnNNnmmNhNhnNnhNhH即：24)cos(n在2 , 0处均为偶对称因此)(H在2,0,(对称中心)处也为偶对称, 四种滤波器都可设计。( )(2)HH（低通、高通、带通、带阻）25212120)21(cos222

9、1cos)(2)(NmnmNNnmmNhnNnhH2, 2 , 1,22)(21cos)()(20NnnNhnbnnbHNn有2）h（n）偶对称，N为偶数26当时，021cosn因此)(zH在1z必有一个零点，所以高通或带阻滤波器不能用这种滤波器，适合于设计低通、带通滤波器。( )H在(对称中心)时呈奇对称；2 , 0(对称中心)时呈偶对称。( )(2)HH 在27281021sin)()(NnnNnhH)1(21sin21sinnNNnN上式也是一个奇对称。由)1()(nNhnh有021Nh3）h（n）奇对称，N为奇数29所以2)1(1212)3(0)sin(21221sin)(2)(Nmm

10、nNNnmmNhnNnhH(1) 21( )( )sin()11( )2,1,2,22NnHc nnNNc nhnn30)sin( n在2 , 0处均为零，因此，)(zH在1z处都为零。)sin( n在2 , 0处呈奇对称，因此，()H在2,0,处呈奇对称。所以低通、高通或带阻滤波器不能用，但适合于设计带通、微分器和线性相位900移相器（希尔伯特变换器）。(对称中心)( )(2)HH 31212120)21(sin2221sin)(2)(NmnmNNnmmNhnNnhH2, 2 , 1,22)(21sin)()(21NnnNhndnndHNn4）h（n）奇对称，N为偶数3221sinn在2 ,

11、 0处为零，因此)(H在2 , 0处为零，)(zH在1z处为零点。21sinn在2 , 0处呈奇对称，因此)(H在2 , 0处呈奇对称，在处呈偶对称。适合于设计高通、带通滤波器，微分器和线性相位900移相器（希尔伯特变换器）。(对称中心)( )(2)HH3334四种线性相位FIR DF特性第一种情况，偶、奇，四种滤波器都可设计。第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻。3521)(Nddej 四种线性相位FIR滤波器的群延迟响应都是： 当N为奇数时，

12、滤波器的群延迟响应为整数个抽样间隔；当N为偶数时，滤波器的群延迟为整数个抽样间隔加上1/2个抽样间隔。36)()(1)1(zHzzHN 线性相位FIR滤波器的零点必是互为倒数的共轭对（共轭镜像）。5*、零点位置37线性相位FIR滤波器的零点结构:38即：0, 0,iijiirerzi4321111111111)1)(1 ()(zazbzazerzerzerzerzzHiiiijijijijiiiiiiiirrbrracos41,cos12222四个零点1）零点zi既不在实轴上，也不在单位圆上39也可转化成两个实系数二阶多项式：2122212cos2cos211)(zzrrzrzrrzHiiii

13、iiii在这种情况下，N=5，221N零点是互为倒数的两组共轭对。40即：或0, 1,iijiirerzi2111cos21)1)(1 ()(zzezezzHijjiii在这种情况下，N=3，121N2）零点zi在单位圆上，但不在实轴上零点是一组共轭对。41即：或0, 1,iijiirerzi21111111)1 ()(zzrrzrzrzHiiiii取“+”相当于i，取“-”相当于0i在这种情况下，N=3，121N3）零点zi在实轴上，但不在单位圆上零点只有倒数部分，无复数共轭部分。42即：或0, 1,iijiirerzi11)(zzHi取“+”表示1z，取“-”相当于1z在这种情况下，N=2

14、，2121N4）零点zi既在实轴上，也在单位圆上只有这两种情况。43线性相位FIR滤波器的)(zH由以上这几种因子的组合构成。只可能 可以根据实际的频率响应的需要，选择合适的零点组合方式，以达到控制频率响应的目的。44二、FIR滤波器的设计方法1、窗函数设计法（傅立叶级数法） 1）思路和设计方法一般来说，理想频响 是分段恒定，在边界频率处有突变点，所以，这样得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往都是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限长的，问题：怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)？)(jdeH45 最简单的办法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。这种截取可以

15、形象地想象为h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段hd(n)，因此 ，h(n)也可表达为hd(n)和一个“窗函数”的乘积，即 h(n)=w(n) hd(n) 在这里窗口函数就是矩形脉冲函数RN（n），以后还可看到，为了改善设计滤波器的特性，窗函数还可以有其它的形式，相当于在矩形窗内对hd(n)作一定的加权处理。 46I、由理想的频率响应 得到理想的)(jdeH);(nhdII、由 加窗得到因果、有限长的单位抽样响应 )(nhd; )(nhIII、由 得到实际的较好的频率响应。 具体为：)(nh设计方法:47已知理想滤波器频率响应：)(jdeH有：deeHnhnjjdd)(21)(特点： 无限长

16、，非因果解决办法：截断， 移位即：)()(anhnhd10,21NnNa（这里暗含了截断）48以截止频率为c，群延迟响应为 的理想低通滤波器为例，有：ccccajjdeeH, 0,)()()(sin21)(anandeenhcccnjajdcc 这是一个以为 中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段n=0N-1的hd(n)作为h(n)，事先给一线性相位49)(jwdeHw0)(nhdn0cwcw线性相位的滤波器。求的设计一个能满足技术要断效应，如何用窗函数法减少截截断效应的产生，以及。下面我们会讨论这种因此，也称为截断效应直接截断引起的，将这个吉布斯效应是由于要求。从而满足不了技术上的尤其

17、使阻带的衰减小，和阻带内的波动性，效应。它将引起通带内（在频域就是吉布斯肯定会引起误差，表现去代替的序列这样我们用一个有限长，其系统函数为长度为单位取样响应为设实际实现的滤波器的FIRnhdGibbsnhnhznhzHzHNnhdNnn)(),()()()()(),(1050取窗函数（矩形窗函数）：)()(nRnwN为保证所得到的是线性相位FIR滤波器，延时 应为h(n)长度N的一半,即21Na)(nWn1N0511, 0, 010 ,2121sin)(211, 0, 010),()()()(NnnNnNnNnnhNaNnnNnnhnwnhnhcccdd以上即为所求滤波器单位抽样响应。n0)(

18、nhd1N52用窗函数（矩形）截断理想滤波器的单位抽样响应： 频域卷积:时域相乘:53()12()()*()1()()2()( )1,( )0,jjjdRjjdNjjddadcH eHeWeHeW edHeHeH 计算所求滤波器的频率响应：5411120012sin2()()( )sin2()NNNjjjjnjnRnnNjRNW eWew n eeeWe幅度函数窗函数的频谱:1( )()2Nww 相位函数)(wWRw31)(w211Ntg主瓣N2N2N4N4wsin2( )sin2RNW55dWHHeHeHdWHedeWeHeHRdNjjRdNjNjRNjdj)()(21)()()()()(2

19、1)()(21)(2121)(2121由上式可知，影响实际FIR数字滤波器频率响应的幅度函数 的是窗函数频率响应的幅度函数 。)(H)(RW线性相位二者的卷积为:56矩形窗的卷积过程：57（1） 时，011(0)1()( )22ccRRHWdWd也就 在 到 全部面积的积分。因此，H（0）/H（0）=1（用H（0）归一化）。( )RW( )dH0cc58( )RWN/22/ N0( )2/RWN注意：的主瓣宽度的一半为59（2） 时， 正好与 的一半相重叠。这时有 。c()RW( )dH()/(0)0.5cHHc60(3) 时， 的主瓣全部在的通带内，这时应出现正的肩峰。2cN()RW( )d

20、H2cN61)(H 2/cN（4） 时，主瓣全部在通带外，时，主瓣全部在通带外，出现负的肩峰。出现负的肩峰。2/cN62（5）当 时，随 增加， 左边 旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积 也随着 的旁瓣在通带内的面积 变化而变化，故 将围绕着零值而波动。2cN()RW( )H()RW( )H63(6)当 时， 的右边旁瓣将进入 的通带，右边旁瓣的起伏造成 值围绕 值而波动。2cN()RW( )dH( )H(0)H100.5( )/(0)HH64I）0时，)0(H可以看成从到)(RW的全部积分面积；II）c时，5 . 0)0()(HHc；III）Nc2时，NHc2为最大值IV）Nc2时，NHc2为最负

21、值结论：65I）使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，过渡带为窗函数频率响应的主瓣宽度 ；即过渡带宽等于窗函数的主瓣宽度 。II） 在截止频率的两边的地方即过渡带的两边，出现最大的肩峰值(8.95%)，肩峰的两侧通带内和阻带内形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少，则取决于旁瓣的多少；加窗后对理想矩形频率响应产生的影响：N466III）增加截取长度N，只能改变窗谱的主瓣宽度( ，即可以减小主瓣宽度，减小过渡带的宽度) ，改变的坐标比例以及改变 的绝对值大小，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例 （只由 决定），22sin22sin2sin2sin)(NNNNNWRN4

22、22sinNN67即不能消除吉布斯Gibbs效应。 只能通过改变窗函数的形状即类型，来改变主瓣与旁瓣的相对比例，从而减小吉布斯Gibbs效应。68窗函数法的特点：69 在数字信号处理中窗函数的使用是不可避免的。数据采集、频谱分析、自相关函数等都需要截短。 只有一个时域宽度为无穷的矩形窗（即直流信号）的傅立叶变换为一 函数，反之亦然。只有 函数才能保持高的分辨率。 当矩形窗为有限宽时，其傅立叶变换为一Sinc函数，导致分辨的模糊性。傅立叶变换的局限性及其改进70 时域截断，相当于原连续时间信号乘上一个窗函数, 导致频域卷积，造成使用傅立叶变换进行频谱分析时频率分辨的模糊性，这就是“频谱泄漏”。

23、同样，频域截断，导致由离散傅立叶变换进行信号恢复时域分辨的模糊性。 若信号在时域取得越短，即保持在时域有高的分辨率，那么由于窗函数的主瓣变宽因此在频域的分辨率必然会下降。反之，也是如此。711010DFT: ( ) ( )( ),011( )( )( ),01: ( )( )( )NnkNnNnkNkt nTNX kDFT x nx n WkNx nIDFT X kX k WnNNx nx tRn隐含隐含着使用了矩形窗函数72 实际信号的幅度不但随时间变化，而且其频率也随时间变化。如果想知道在某一个特定时间所对应的频率是多少，或对某一个特定的频率所对应的时间是多少，那么傅立叶变换则无能为力。

24、原因在于对给定的某一个频率，为求得该频率处的傅氏变换，需要整个时间的“知识”。反之，如果要求出某一时刻信号的值，同样也需要整个频率的“知识”。 傅氏变换是信号在整个时间范围内所具有的频率特征的平均表示。反之，也是如此。傅立叶变换不具有时间和频率的同时“定位”功能。73不确定原理-时间和频率不能同时测准。“分辨率”包含了信号的时域和频域两个方面，它是指对信号所能作出辨别的时域或频域的最小间隔。 对在时域具有瞬变的信号，希望时域的分辨率要好（即时域的观察间隔尽量短），以保证能观察到该瞬变信号发生的时刻及瞬变的形态。74 而对在频域具有两个（或多个）靠得很近的谱峰的信号，希望频域的分辨率要好（即频域

25、的观察间隔尽量短，短到小于两个谱峰的距离），以保证能观察这两个或多个谱峰。 由于矩形窗的宽度和其频谱主瓣的宽度成反比，因此，若信号在时域取得越短，即保持在时域有高的分辨率，那么由于主瓣变宽在频域的分辨率必然会下降。反之，亦然。 所有这些都体现了傅立叶变换中在时域和频域分辨率方面所固有的矛盾。75如果用基函数来代替傅立叶变换中的基函数 ，则称短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, STFT）。式中 是一窗函数。实际意义是用 沿着t轴滑动，因此可以不断地截取一段一段的信号，然后对其作傅立叶变换，故得到的是 的二维函数。jtetgg)()(,tjejtetgxgx

26、)(),()(),(,),()()(*tSTFTdetgxxj)(g)(g),( t76 的作用是保持在时域为有限长，其宽度越小，则时域分辨率越好。在频域，由于 为一 函数，因此仍可保持较好的频域分辨率。使用不同的基函数可得到不同的信号分析变换，并得到不同的分辨率效果，比如小波变换。统称为信号的时频分析，是现代信号处理的主要研究内容。现代信号处理包括：短时傅立叶变换与Gabor分布,Wigner-Ville 分布，Cohen类时频分布,小波变换以及最优滤波(维纳、卡尔曼等维纳、卡尔曼等),自适应滤波,功率谱估计功率谱估计,高阶统计量及其谱估计等等. )(gtje77对窗函数的要求：I）窗谱主瓣

27、尽可能窄，以获得较陡峭的过渡带, 因为过渡带等于主瓣宽度。II）最大旁瓣尽量小,即尽量减小窗谱的最大旁瓣的相对幅度，即能量集中于主瓣，使肩峰和波纹减小，增大阻带衰减。以上两条是往往是相互制约的。2）各种窗函数782sin2sin)()()()()(21NWeWeWnRnwRNjRjRN主瓣宽度：N4旁瓣幅度为主瓣幅度的22.4%I）矩形窗窗函数： 窗谱幅度函数：傅里叶变换：13dB7921, 012( )212,112nNnNw nnNnNNII）巴特利窗（三角窗）112120 1 2 3 4 时域表达式：80主瓣宽度：N8旁瓣幅度为主瓣幅度的5.6%221122(1)sinsin2244()

28、1sinsin22NNjjjNNW eeeNN频谱：()jW e4N 4N 即第一对零点为比矩形宽一倍。1()22sin()24(),11sin()2NjNeNN26dB8121)()()(12cos121)(NjjNeWeWnRNnnwIII）汉宁窗（ hanning，升余弦窗）22()()11111( )( )( )( )244jnjnNNNNNw nRneRneRn又由于1()2()( )( )NjjRRRWeF wnWe其中)2sin(/ )2Nsin()(WR82NWNWWWRRR2225. 0)(5 . 0)(N8旁瓣幅度为主瓣幅度的2.8%121225. 0)(5 . 0)(NW

29、NWWWRRR)n(xe F)e (Xnj)( j001N201()21()2() ( )11212( )()()24141( )jNjRRRNjW eF w nWWWeNNWe旁瓣较大程度地互相抵消，但主瓣加宽一倍，即为 ,83汉宁窗谱：84)(1sin)()(1cos)(nRNnnwnRNnnwNaNa汉宁窗是下面一类窗的特例（a=2时为汉宁窗）：8512223. 0)(54. 0)(NNWNWWWRRR)(12cos46. 054. 0)(nRNnnwN主瓣宽度：N8旁瓣幅度为主瓣幅度的0.89%IV）海明窗（改进升余弦窗）121223. 0)(54. 0)(NWNWWWRRR86海明窗

30、是下面一类窗的特例（a=0.54时为海明窗）：)(12cos)1 ()(nRNnaanwN87141404. 0121225. 0)(42. 0)(NWNWNWNWWWRRRRR)(14cos08. 012cos5 . 042. 0)(nRNnNnnwN主瓣宽度：N12旁瓣幅度为主瓣幅度的0.14%V）布拉克曼窗（二阶升余弦窗）88布拉克曼窗是下面一类窗的特例（M=2，a0=0.42，a1=0.50， a2=0.08时为布拉克曼窗）：)(12cos5 . 0) 1()(0nRmNnanwNmMmm89设计有限长单位冲击响应滤波器常用的几种窗函数：9091各种窗函数的傅里叶变换N=51理想低通滤

31、波器加窗后的幅度响应N=5192VI）凯泽窗上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。凯泽在1966（1974）发现，利用第一类零阶修正（变形）贝塞尔函数可以构成一种近似最佳的窗932001121( ),01( )InNw nnNI当0时，相当于矩形窗；当44. 5时，相当于海明窗；当5 . 8时，相当于布拉克曼窗；)(0I是零阶第一类变形贝塞尔函数。 是一个可自由选择的参数，94它可同时调整主瓣宽度和旁瓣幅度， 越大，则窗越窄，而频谱的旁瓣越小，但主瓣宽度也相应增加。

32、2/ ) 1( Nn由图可以看出, 以 为对称中心，且是偶对称,)1()(nNWnWkk00( )(1/2)1( )kIWNI01(0)(1)( )WW NI95凯泽窗函数：96：通带截止频率，由：通带截止频率，由 定定;11112:1/ Asp1()1jH e ：止带截止频率，由：止带截止频率，由 定定.2()jH esp过渡带宽度过渡带宽度()/2csp972220.4.2222220lg0.1102(8.7),500.5842(21)0.07886(21),21500,21(7.95)/2.285spAdBdBdBdBN 根据设计指标根据设计指标,由经验公式由经验公式,可估算出凯可估算出

33、凯泽泽窗函数 值和值和 N .由上可见，最小阻带衰减只由窗形状决定，不受N的影响，而过渡带的宽度则随窗宽度的增加而减小。98凯泽窗函数对滤波器性能的影响：99各种窗函数的比较：100根据过渡带宽选择根据过渡带宽选择FIRFIR滤波器窗函滤波器窗函数类型和长度数类型和长度MM的公式的公式名称近似过渡带宽精确过渡带宽(-3db)最小阻带衰减矩形4/M1.8/M21dB巴特利特8/M6.1/M25dB汉宁8/M6.2/M44dB海明8/M6.6/M51dB布莱克曼12/M11/M74dB取Kaiser窗时用MATLAB中的kaiserord函数来得到长度M101根据给定的频率响应)(jdeHI）求：

34、)()(jddeHIDTFTnhII）根据阻带最小衰减要求，确定窗函数 ，根据过渡带的要求确定N；)(nw；III）求出FIR滤波器的单位抽样响应：1, 2 , 1 , 0),()()(NnnwnhnhdIV）求)()(nhDTFTeHj验证结果3）窗函数法的设计步骤102I）求 时，)(nhd4）窗函数法的主要问题deeHnhnjjdd)(21)(计算机利用求和代替积分时，会出现时域的周期延拓，产生时域的混叠；所以计算时，点数M要足够大，即MN。103II）需要预先确定窗函数的形状和窗序列的点数N。可以通过累试法解决。III ）设计凯泽窗时，对零阶第一类变形贝塞尔函数采用无穷级数来表达：这个

35、无穷级数可采用有限项级数来近似，项数由要求的精度来确定。12020)2(!11)2(!1)(kkkkxkxkxI104第一种情况，偶、奇，四种滤波器都可设计。第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻。5）各种FIR滤波器的设计105I）线性相位FIR低通滤波器的设计例：设计一个FIR线性相位低通数字滤波器，线性相位低通数字滤波器，设抽样频率通带截止频率为阻带起始频率为阻带衰减至少为-50dB。sec)/(105 . 124radssec)/(105

36、. 123radpsec)/(10323radst( )h nN第一种为偶对称， 为奇数。( )h nN或第二种为偶对称， 为偶数。只能选取106（1）求对应的数字频率：)(2 . 02radfspspp阻带起始频率为：)(4 . 02radfsstsstst通带截止频率为：阻带衰减为：dB502（2）理想线性相位低通滤波器的系统函数为：。 - , , 0- , )(ccccjjdeeH107sec)/(1025. 22)(213radstpc)(3 . 02radfscsccdeeHeHIDFTnhnjjdjdd)(21)()(11)22sin(),(),ccccjjnjncceedednn

37、nn2/ ) 1( N其中108（3）确定窗的形状、取样点数N ：dB502，可选海明窗，其最小阻带衰减为-53dB。要求的过渡带为：)(2 . 0105 . 12105 . 122243radspst海明窗的过渡带为：,6 . 62N332 . 06 . 66 . 6N109（5）求 ，进行指标的检验。)(16cos46. 054. 0)16()16(sin)()()(nRnnnnwnhnhNcd故：)(jeH162/ ) 1( N)(12cos46. 054. 0)(nRNnnwN（4）海明窗：周期偶对称。)(HN为奇数。h（n）偶对称110% Windows_Method.m % Lin

38、ear Phase Lowpass Filter Design - Hamming window% Digital Filter Specifications:% wp = 0.2*pi; ws = 0.4*pi; wc=0.3*pi, % (Rp=0.25dB), As=-50dBwp = 0.2*pi; ws = 0.4*pi; As=50;tr_width = ws wp% M = ceil(1.8*pi/tr_width) + 1 % boxcar;As=21dB% M = ceil(6.1*pi/tr_width) + 1 % triang;As=25dB% M = ceil(6.2

39、*pi/tr_width) + 1 % hanning;As=44dBM = ceil(6.6*pi/tr_width) + 1 % hamming;As=53dB% M = ceil(11*pi/tr_width) + 1 % blackman;As=74dB111 % kaiser;% M = ceil(As-7.95)/(14.36*tr_width/(2*pi)+1) + 1 % beta = 0.1102*(As-8.7) % kaiser;As50dB% beta = 0.584*(As-21)0.4+0.07886*(As-21) % kaiser;21As50dBn=0:1:M

40、-1;wc = (ws+wp)/2 % Ideal LowPass filter computationalpha = (M-1)/2;m = n - alpha + eps;hd = sin(wc*m) ./ (pi*m);112%wn=boxcar(M);%wn=triang(M);%wn=hanning(M);wn = hamming(M);%wn=blackman(M);% wn=kaiser(M,beta);% wn=chebwin(M+1,As); h = hd .* (wn);H,w = freqz(h,1,1000,whole);mag=abs(H);pha=angle(H)1

41、13db=20*log10(mag+eps)/max(mag);delta_w = 2*pi/1000;Rp = (min(db(1:1:wp/delta_w+1) % Passband RippleAc = db(wc/delta_w+1) As = round(max(db(ws/delta_w+1:1:501) % Min Stopband attenuation% plotsfigure(1);subplot(3,1,1); stem(n,hd); title(Ideal Impulse Response)axis(0 M-1 -0.1 0.3); xlabel(n); ylabel(

42、hd(n);grid114subplot(3,1,2); stem(n,wn);title(Window)axis(0 M-1 0 1.1); xlabel(n); ylabel(w(n);gridsubplot(3,1,3); stem(n,h);title(Actual Impulse Response)axis(0 M-1 -0.1 0.3); xlabel(n); ylabel(h(n);gridfigure(2);plot(w/pi,db);title(Actual Magnitude Response in dB);gridaxis(0,1,-100,10); xlabel(frequency in pi units); ylabel(|Hexp(jw) dB|)set(gca,XTickMode,manual,XTick,0,wp/pi,wc/pi,ws/pi)