Matlab数值积分与数值微分

1、Matlab数值积分与数值微分Matlab数值积分1. 一重数值积分的实现方法变步长辛普森法、高斯-克朗罗德法、梯形积分法1.1变步长辛普森法Matlab提供了quad函数和quadl函数用于实现变步长辛普森法求数值积分.调用格式为：I,n=Quad(fname,a,b,tol,trace)I,n=Quadl(fname,a,b,tol,trace)Fname是函数文件名，a,b分别为积分下限、积分上限；tol为精度控制，默认为1.0x10-6,trace控制是否展开积分过程，若为0则不展开，非0则展开，默认不展开.返回值I为积分数值；n为调用函数的次数.例如：求3兀?f?.?+_)?0?的值

2、.先建立函数文件fesin.mfunctionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6);再调用quad函数I,n=quad(fesin,0,3*pi,1e-10)I=0.9008n=365例如：分另U用quad函数和quadl函数求积分3兀?/?.?辨)?(?0的近似值，比较函数调用的次数.先建立函数文件fesin.mfunctionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6);formatlongI,n=quadl(fesin,0,3*pi,1e-10)n=198I,n=quad(fesin,0,3*pi,1e-10)I=n=3

3、65可以发现quadl函数调用原函数的次数比quad少，并且比quad函数求得的数值解更精确.Matlab提供了自适应高斯-克朗罗德法的quadgk函数来求震荡函数的定积分，函数的调用格式为：I,err=quadgk(fname,a,b)Err返回近似误差范围，其他参数的意义与quad函数相同，积分上下限可以是-Inf或Inf，也可以是复数，若为复数则在复平面上求积分.例如：求积分?0?+?的数值.先编写被积函数的m文件fsx.mfunctionf=fsx(x)仁x.*sin(x)./(1+cos(x).A2);再调用quadgk函数I=quadgk(fsx,0,pi)I=2.4674例如:求

4、积分+8?+?的值.先编写被积函数的m文件fsx.mfunctionf=fsx(x)仁x.*sin(x)./(1+cos(x).A2);再调用quadgk函数I=quadgk(fsx,-Inf,Inf)-9.0671e+0171.3梯形积分法对于一些不知道函数关系的函数问题，只有实验测得的一组组样本点和样本值，由表格定义的函数关系求定积分问题用梯形积分法，其函数是trapz函数，调用格式为：I=Traps(X,Y)X,Y为等长的两组向量，对应着函数关系Y=f(X)X=(x1,x2,；xn)(x1<X2<<Xn),Y=(y1,y2,-；yn),积分区间是x1,xn例如：已知某次

5、物理实验测得如下表所示的两组样本点x1.381.562.213.975.517.799.1911.1213.39y；3.3.5.8.11.17.24.29,32.359612984663418321现已知变量x和变量y满足一定的函数关系，但此关系未知，设y=f(x),求积分13.39?(?)?<7/1.38的数值.X=1.38,1.56,2.21,3.97,5.51,7.79,9.19,11.12,13.39;Y=3.35,3.96,5.12,8.98,11.46,17.63,24.41,29.83,32.21;I=trapz(X,Y)I=217.1033例如：用梯形积分法求积分：2.5

6、f?-?J.1的数值.x=1:0.01:2.5;y=exp(-x);I=trapz(x,y)I=0.2858多重数值积分的实现重积分的积分函数一般是二元函数f(x,y)或三元函数f(x,y,z)；形如:?/?fff?(?,?)?Matlab中有dblquad函数和triplequad函数来对上述两个积分实现.调用格式为:I=dblquad(fun,a,b,c,d,tol)I=triplequad(fun,a,b,c,d,e,f,tol)Fun为被积函数，a,b为x的积分区间；c,d为y的积分区间；e,f为z的积分区间.Dblquad函数和triplequad函数不允许返回调用的次数，如果需要知

7、道函数调用的次数，则在定义被积函数的m文件中增加一个计数变量，统计出被积函数被调用的次数例如：计算二重积分?I=/S?+?的值.先编写函数文件fxy.mfunctionf=fxy(x,y)globalk;k=k+1;f=sqrt(x.A2+y.A2);再调用函数dblquadglobalk;k=0;I=dblquad(fxy,-pi/2,pi/2,-pi/2,pi/2,1.0e-10)I=11.8629kk=37656例如：求三重积分?r?!"r?的值.编写函数文件fxyz1.mfunctionf=fxyz1(x,y,z)globalj;J=j+1；f=4*x.*z.*exp(-z.

8、*z.*y-x.*x);调用triplequad函数editglobalj;j=0;I=triplequad(fxyz1,0,pi,0,pi,0,1,1.0e-10)I=1.7328j=1340978Matlab数值微分1.数值微分与差商导数的三种极限定义?#?=?%?=?+?-?二?-?r?+?)-?7?-?a?=?上述公式中假设h>0,引进记号：?=?+?-?=?-?=?+?-?-?称上述?、?、？?？?为函数在x点处以h(h>0)为步长的向前差分、向后差分、中心差分，当步长h足够小时，有:?(?)?(?(?等、普、岑也分别被称为函数在x点处以h(h>0)为?步长的向前差

9、商、向后差商、中心差商.当h足够小时，函数f(x)在x点处的导数接近于在该点的任意一种差商，微分接近于在该点的任意一种差分2.函数导数的求法2.1用多项式或样条函数g(x)对函数f(x)进行逼近(插值或拟台)，然后用逼近函数g(x)在点x处的导数作为f(x)在该点处的导数.2.2用f(x)在点x处的差商作为其导数.2. 数值微分的实现方法Matlab中，只有计算向前差分的函数diff,其调用格式为：-DX=diff(X):计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i),i=1,2,；n-1DX=diff(X,n):计算向量X的n阶向前差分，例如diff(X；2)=diff(diff(

10、X)-DX=diff(A；n；dim):计算矩阵A的n阶向前差分，dim=1(默认值)按列计算差分，dim=2按行计算差分例如：生成6阶范德蒙德矩阵，然后分别按行、按列计算二阶向前差分A=vander(1:6)A=111111321684212438127931102425664164131256251252551777612962163661D2A1=diff(A,2,1)D2A1=180501220057011018200132019424200255030230200D2A2=diff(A,2,2)D2A2=0000842110836124576144369200040080165400

11、90015025例如：设?=5?+?/?-?+?筋(?+?+?f求函数f(x)的数值导数，并在同一坐标系中作出f'(x)的图像.已知函数f(x)的导函数如下：?机？?？?q?=+”=+?侦*g?+?/(?+?编辑函数文件fun7.m和fun8.mf=sqrt(x.A3+2*x.A2-x+12)+(x+5).A(1/6)+5*x+2;functionf=fun8(x)f=(3*x.A2+4*x-1)/2./sqrt(x.A3+2*x.A2-x+12)+1/6./(x+5).A(5/6)+5Jx=-3:0.01:3;p=polyfit(x,fun7(x),5);用5次多项式拟合曲线dp=p

12、olyder(p);对拟合多项式进行求导dpx=polyval(dp,x);对dp在假设点的求函数值dx=diff(fun7(x,3.01)/0.01;直接对dx求数值导数gx=fun8(x);求函数f的函数在假设点的导数plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-')可以发现，最后得到的三条曲线基本重合练习:A.用高斯-克朗罗德法求积分+OO?,OO?+?的值并讨论计算方法的精确度.(该积分值为兀)functionf=fun9(x)f=1./(1+x.A2);formatlongI,err=quadgk(fun9,-Inf,Inf)err=B.设函数?=?+?用不同的办法求该函数的数值导数，并在同一坐标系中作出?(?的图像.已知?*?+?>?(?+?E?'?(?=仁sin(x)./(x+cos(2*x);functionf=fun11(x)仁(x.*cos(x)+cos(x).*cos(2*x)-sin(x)-2*si