人教B版高中数学选修（2-2）-2.3《推理与证明》章末复习课件2

1、1.归纳推理的特点及一般步骤归纳推理的特点及一般步骤2类比推理的特点及一般步骤类比推理的特点及一般步骤 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有个图形中有_个小正方形个小正方形(2)请用类比推理完成下表：请用类比推理完成下表：平面平面空间空间三角形两边之和大于第三三角形两边之和大于第三边边三棱锥任意三个面的面积三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘边的长度与这边上高的乘积的一半积的一半三棱锥的体积等于任意一三棱锥的体积等于任意一个面的面积与该面上的高个面的

2、面积与该面上的高的乘积的三分之一的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘圆半径与三角形周长的乘积的一半积的一半【思路点拨思路点拨】(1)观察后一个图形与前一个图形中小观察后一个图形与前一个图形中小正方形个数的关系正方形个数的关系(2)根据前两组类比特点，找出类比规律根据前两组类比特点，找出类比规律(2)本题由已知前两组类比可得到如下信息：平面中的本题由已知前两组类比可得到如下信息：平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；三角形各边的边长三角形与空间中的三棱锥是类比对象；三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；三角形边上的高与三与三棱锥的各面的

3、面积是类比对象；三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；三角形的面积与三棱锥的体积棱锥面上的高是类比对象；三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；三角形的面积公式中的是类比对象；三角形的面积公式中的“二分之一二分之一”，与三，与三棱锥的体积公式中的棱锥的体积公式中的“三分之一三分之一”是类比对象是类比对象由以上分析可知：由以上分析可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一三棱锥表面积的乘积的三分之一(1)如图如图21所所示，互不相同的点示，互不相同的点A1，A2，An，和和B1，B2，Bn，分别在角分别在角

4、O的两条边上，所有的两条边上，所有AnBn相互平行，相互平行，且所有梯形且所有梯形AnBnBn1An1的面积均的面积均相等，设相等，设OAnan.若若a11，a22，则数列则数列an的通项公式是的通项公式是_1.综合法证明的逻辑关系综合法证明的逻辑关系综合法是综合法是“由因导果由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性，证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性，用综合法证明题的逻辑关系是：用综合法证明题的逻辑关系是：AB1B2BnB(A为为已知条件或数学定义、定理、公理等，已知条件或数学定义、定理、公理等，B为

5、要证结论为要证结论)，它的，它的常见书面表达是常见书面表达是“，”或或“”2分析法证明的逻辑关系分析法证明的逻辑关系分析法是分析法是“执果索因执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知分析，逐渐地靠近已知用分析法证用分析法证“若若P，则，则Q”这个命题的模式是：这个命题的模式是：为了证明命题为了证明命题Q为真，从而有为真，从而有这只需证明命题这只需证明命题P1为真，从而有为真，从而有这只需证明命题这只需证明命题P2为真，从而有为真，从而有这只需证明命题这只需证明命题P为真为真而已知而已知P为真，故为真，故Q必为真必为真1.反证法的证题思想反证法的证题

6、思想反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否的两个命题等价，反证法反映了为逆否的两个命题等价，反证法反映了“正难则反正难则反”的证题的证题思想思想2反证法的证题步骤反证法的证题步骤 已知已知a，b，c，dR，且，且adbc1，求证，求证a2b2c2d2abcd1.【思路点拨思路点拨】本题要证的结论是以否定形式给出的，本题要证的结论是以否定形式给出的，并且从正面入手不太好处理，因此想到了用反证法来证明并且从正面入手不太好处理，因此想到了用反证法来证明【规范解答规范解答】假设假设a2b2c2d2abcd1.adbc1，a2b2c2d2a

7、bcdadbc.a2b2c2d2abcdbcad0.2a22b22c22d22ab2cd2bc2ad0.(ab)2(bc)2(cd)2(ad)20.ab0，bc0，cd0，ad0，abcd0，adbc0，这与，这与adbc1矛盾矛盾从而假设不成立，原命题成立，从而假设不成立，原命题成立，即即a2b2c2d2abcd1.已知：已知：abc0，abbcca0，abc0.求证：求证：a0，b0，c0.【证明证明】用反证法：用反证法：假设假设a，b，c不都是正数，由不都是正数，由abc0可知，这三个数中必可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，有两个为负数，一个为正数，不妨设不妨设a0，b0，则由

8、，则由abc0，可得可得c(ab)，又又ab0，所以，所以c(ab)(ab)(ab)，abc(ab)(ab)(ab)ab，即即abbcca0，ab0，b20，所以所以a2abb2(a2abb2)0，即即abbcca0矛盾，所以假设不成立矛盾，所以假设不成立因此因此a0，b0，c0成立成立.数学归纳法的两点关注：数学归纳法的两点关注：(1)关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于的常见题型，其关键点在于“先看项先看项”，弄清等式两边的构，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始成规律，等式两边各有多少项，初始n0

9、是多少是多少(2)关注点二：由关注点二：由nk到到nk1时，除等式两边变化的项时，除等式两边变化的项外还要利用外还要利用nk时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明的步骤，从而使问题得以证明 在数列在数列an中，中，a12，an1ann1(2)2n(nN)，其中，其中0.(1)求求a2，a3，a4；(2)猜想猜想an的通项公式并加以证明的通项公式并加以证明【思路点拨思路点拨】(1)令令n1，2，3可求可求a2，a3，a4.(2)根据根据a1，a2，a3，a4的值寻找规律，猜想的值寻找规律，猜想an，再用数学，再用数学归纳法证明归纳法

10、证明【规范解答规范解答】(1)由由an1ann1(2)2n.将将a12代入，得代入，得a2a12(2)224，将将a224代入，得代入，得a3a23(2)22238，将将a3238代入，得代入，得a4a34(2)233416.(2)由由a2，a3，a4，对，对an的通项公式作出猜想：的通项公式作出猜想：an(n1)n2n.证明如下：证明如下：当当n1时，时，a12(11)121成立成立假设当假设当nk时，时，ak(k1)k2k，则当则当nk1时，时，ak1akk1(2)2k(k1)k12kk1(2)2kkk12k1(k1)1k12k1.由此可知，当由此可知，当nk1时，时，ak1(k1)1k1

11、2k1也也成立成立综上可知，综上可知，an(n1)n2n对任意对任意nN都成立都成立所以当所以当nk1时，猜想也成立时，猜想也成立根据知，对任意根据知，对任意nN，都有，都有ann.数学中一切问题的解决都离不开转化与化归转化与化数学中一切问题的解决都离不开转化与化归转化与化归是数学思想方法的灵魂在本章中，合情推理与演绎推理归是数学思想方法的灵魂在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化化 设二次函数设二次函数f(x)ax2bxc(a0)中的中的a、b、c都为整都为整数，已知数，已知f(0)、f(1)均为奇数，求证：方程均为奇数，求证：方程f(x)0无整数根无整数根【思路点拨思路点拨】假设方程假设方程f(x)0有整数根有整数根k，结合，结合f(0)，f(1)均为奇数推出矛盾均为奇数推出矛盾【规范解答规范解答】假设方程假设方程f(x)0有一个整数根有一个整数根k，则则ak2bkc0，f(0)c，f(1)abc都为奇数，都为奇数，ab必为偶数，必为偶数，ak2bk为奇数为奇数当当k为偶数时，令