高等数学教案2_导数与微分

1、高等数学教案 第二章 导数与微分目录第二章导数与微分1教学目的：1§2. 1 导数概念2一、引例21直线运动的速度22切线问题3二、导数的定义31. 函数在一点处的导数与导函数32求导数举例53单侧导数:6四、导数的几何意义7四、函数的可导性与连续性的关系8§2. 2 函数的求导法则8一、函数的和、差、积、商的求导法则9二、反函数的求导法则11三、复合函数的求导法则12§2. 3 高阶导数16§2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率19一、隐函数的导数19二、由参数方程所确定的函数的导数22§2. 5 函数的微分24一

2、、微分的定义24二、微分的几何意义26三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则27四、微分在近似计算中的应用29教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。4、 会求分段函数的导数。5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学

3、重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数；6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。§2. 1 导数概念 一、引例 1直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t质点的坐标为s, s是t的函数: s=f(t), 求动点在时刻t0的速度. 考虑比值 , 这个比值可认为是动点在时间间隔t-t0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速

4、度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t0®0, 取比值的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 , 这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度. 2切线问题 设有曲线C及C上的一点M, 在点M外另取C上一点N, 作割线MN. 当点N沿曲线C趋于点M时, 如果割线绕点旋转而趋于极限位置MT, 直线就称为曲线有点处的切线. 设曲线C就是函数y=f(x)的图形. 现在要确定曲线在点M(x0, y0)(y0=f(x0)处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M外另取C上一点N(x, y), 于是割线MN的斜率为 , 其中j为割线MN的倾角. 当点N沿曲线

5、C趋于点M时, x®x0. 如果当x® 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k=tan a, 其中a是切线MT的倾角. 于是, 通过点M(x0, f(x0)且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: . 令Dx=x-x0, 则Dy=f(x0+Dx)-f(x0)= f(x)-f(x0), x®x0相当于Dx ®0, 于是成为 或. 定义 设函数y=

6、f(x)在点x0的某个邻域内有定义, 当自变量x在x0处取得增量Dx(点x0+Dx仍在该邻域内)时, 相应地函数y取得增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0); 如果Dy与Dx之比当Dx®0时的极限存在, 则称函数y=f(x)在点x0处可导, 并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数, 记为, 即 , 也可记为, 或. 函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在. 导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 , . 在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述

7、. 如果极限不存在, 就说函数y=f(x)在点x0处不可导. 如果不可导的原因是由于, 也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大. 如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导, 就称函数f(x)在开区间I内可导, 这时, 对于任一x ÎI, 都对应着f(x)的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y=f(x)的导函数, 记作 , , 或. 导函数的定义式: =. f ¢(x0)与f ¢(x)之间的关系: 函数f(x)在点x0处的导数f ¢(x)就是导函数f ¢(x)在点x=x0处的函数值, 即 . 导函

8、数f ¢(x)简称导数, 而f ¢(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f ¢(x)在x0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义 f(x)在的左导数:; f(x)在的右导数:. 如果极限存在, 则称此极限值为函数在x0的左导数. 如果极限存在, 则称此极限值为函数在x0的右导数.导数与左右导数的关系: Û. 2求导数举例 例1求函数f(x)=C（C为常数）的导数. 解: . 即 (C ) ¢=0. 例2. 求的导数. 解: . 例3. 求的导数. 解: . 例2求函数f(x)=x n (n 为正整数)在x=a处的导数. 解: f 

9、2;(a)(x n-1+ax n-2+ × × × +a n-1)=na n-1. 把以上结果中的a 换成x 得 f ¢(x)=nx n-1, 即 (x n)¢=nx n-1. (C)¢=0, , , . 更一般地, 有(x m)¢=mx m-1 , 其中m为常数. 例3求函数f(x)=sin x 的导数. 解: f ¢(x) . 即 (sin x)¢=cos x . 用类似的方法, 可求得 (cos x )¢=-sin x . 例4求函数f(x)= a x(a>0, a ¹1)

10、 的导数. 解: f ¢(x) . 特别地有(e x )=e x . 例5求函数f(x)=log a x (a>0, a ¹1) 的导数. 解: . 解: . 即 . : 特殊地 . , . 3单侧导数: 极限存在的充分必要条件是 及都存在且相等. f(x)在处的左导数:, f(x)在处的右导数:. 导数与左右导数的关系: 函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f ¢-(x0) 和右导数f ¢+(x0)都存在且相等. 如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导, 且右导数f ¢+(a) 和左导数f ¢-(b)都存

11、在, 就说f(x)有闭区间a, b上可导. 例6求函数f(x)=|x|在x=0处的导数. 解: , , 因为f ¢-(0)¹ f ¢+(0), 所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导. 四、导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数f ¢(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0)处的切线的斜率, 即 f ¢(x 0)=tan a , 其中a是切线的倾角. 如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大, 这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x=x0为极限位置, 即曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0)处具有垂

12、直于x轴的切线x=x0. : 由直线的点斜式方程, 可知曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为 y-y0=f ¢(x0)(x-x0). 过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果f ¢(x0)¹0, 法线的斜率为, 从而法线方程为 . 例8. 求等边双曲线在点处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 解: , 所求切线及法线的斜率分别为 , . 所求切线方程为, 即4x+y-4=0. 所求法线方程为, 即2x-8y+15=0. 例9 求曲线的通过点(0, -4)的切线方程. 解 设切点的横坐标为x0

13、, 则切线的斜率为 . 于是所求切线的方程可设为 . 根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 , 解之得x0=4. 于是所求切线的方程为 , 即3x-y-4=0. 四、函数的可导性与连续性的关系 设函数y=f(x)在点x0 处可导, 即存在. 则 . 这就是说, 函数y=f(x)在点x0 处是连续的. 所以, 如果函数y=f(x)在点x处可导, 则函数在该点必连续. 另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.x 例7 函数在区间(-¥, +¥)内连续, 但在点x=0处不可导. 这是因为函数在点x=0处导数为无穷大 . §2. 2 函数的求导法则

14、 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 如果函数u=u(x)及v=v(x)在点x具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数, 并且 u(x) ±v(x)¢=u¢(x) ±v¢(x) ; u(x)×v(x)¢=u¢(x)v(x)+u(x)v¢(x); . 证明 (1) =u¢(x)±v¢(x). 法则(1)可简单地表示为 (u±v)¢=u¢±v¢ . (2) =u¢(x)v(x)+u

15、(x)v¢(x), 其中v(x+h)=v(x)是由于v¢(x)存在, 故v(x)在点x连续. 法则(2)可简单地表示为 (uv)¢=u¢v+uv¢. (3) . 法则(3)可简单地表示为 . (u±v)¢=u¢±v¢, (uv)¢=u¢v+uv¢, . 定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形. 例如, 设u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)均可导, 则有 (u+v-w)¢=u¢+v¢-w¢. (uvw

16、)¢=(uv)w¢=(uv)¢w+(uv)w¢ =(u¢v+uv¢)w+uvw¢=u¢vw+uv¢w+uvw¢. 即 (uvw)¢ =u¢vw+uv¢w+uvw¢. 在法则(2)中, 如果v=C(C为常数), 则有 (Cu)¢=Cu¢. 例1y=2x 3-5x 2+3x-7, 求y¢ 解: y¢=(2x 3-5x 2+3x-7)¢= (2x 3)¢-(5x 2)¢+(3x)¢-

17、(7)¢= 2 (x 3)¢- 5( x 2)¢+ 3( x)¢ =2×3x 2-5×2x+3=6x 2-10x+3. 例2. , 求f ¢(x)及. 解: , . 例3y=e x (sin x+cos x), 求y¢. 解: y¢=(e x )¢(sin x+cos x)+ e x (sin x+cos x)¢ = e x (sin x+cos x)+ e x (cos x -sin x) =2e x cos x. 例4y=tan x , 求y¢. 解: .即 (tan x

18、)¢=sec2x . 例5y=sec x, 求y¢. 解: =sec x tan x . 即 (sec x)¢=sec x tan x . 用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)¢=-csc2x , (csc x)¢=-csc x cot x . 二、反函数的求导法则 定理2 如果函数x=f(y)在某区间Iy 内单调、可导且f ¢(y)¹0, 那么它的反函数y=f -1(x)在对应区间Ix=x|x=f(y), yÎIy内也可导, 并且 . 或. 简要证明: 由于x=f(y)在I y内单

19、调、可导(从而连续), 所以x=f(y)的反函数y=f -1(x)存在, 且f -1(x)在I x内也单调、连续. 任取x ÎI x, 给x以增量Dx(Dx¹0, x+DxÎI x), 由y=f -1(x)的单调性可知 Dy=f -1(x+Dx)-f -1(x)¹0, 于是 . 因为y=f -1(x)连续, 故 从而 . 上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例6设x=sin y, 为直接函数, 则y=arcsin x是它的反函数. 函数x=sin y在开区间内单调、可导, 且 (sin y)¢=cos y>0.

20、因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x=(-1, 1)内有 . 类似地有: . 例7设x=tan y, 为直接函数, 则y=arctan x是它的反函数. 函数x=tan y在区间内单调、可导, 且 (tan y)¢=sec2 y¹0. 因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x=(-¥, +¥)内有 . 类似地有: . 例8设x=a y(a>0, a ¹1)为直接函数, 则y=loga x是它的反函数. 函数x=a y在区间I y=(-¥, +¥)内单调、可导, 且 (a y)¢=a y ln

21、a ¹0. 因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x=(0, +¥)内有 . 到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则 定理3 如果u=g(x)在点x可导, 函数y=f(u)在点u=g(x)可导, 则复合函数y=fg(x)在点x可导, 且其导数为 或. 证明: 当u=g(x)在x的某邻域内为常数时, y=fj(x)也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 当u=g(x)在x的某邻域内不等于常数时, Du¹0, 此时有 , = f

22、 ¢(u)×g ¢(x ). 简要证明: . 例9 , 求. 解 函数可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此 . 例10 , 求. 解 函数是由y=sin u , 复合而成的, 因此 . 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11lnsin x, 求. 解: . 例12, 求. 解: . 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=j(v), v=y(x), 则 . 例13y=lncos(e x), 求. 解: . 例14, 求. 解: . 例15设x>0, 证明幂函数的导数公式 (x m)&

23、#162;=m x m-1. 解 因为x m=(e ln x)m=e m ln x, 所以 (x m)¢=(e m ln x)¢= e m ln x×(m ln x)¢= e m ln x×m x-1=m x m-1. 四、基本求导法则与导数公式 1基本初等函数的导数:(1)(C)¢=0,(2)(xm)¢=m xm-1,(3)(sin x)¢=cos x,(4)(cos x)¢=-sin x,(5)(tan x)¢=sec2x,(6)(cot x)¢=-csc2x,(7)(sec x)

24、¢=sec x×tan x,(8)(csc x)¢=-csc x×cot x,(9)(a x)¢=a x ln a,(10)(e x)¢=ex,(11) ,(12) ,(13) ,(14) .(15) ,(16) . 2函数的和、差、积、商的求导法则 设u=u(x), v=v(x)都可导, 则(1)(u ±v)¢=u¢±v¢,(2)(C u)¢=C u¢,(3)(u v)¢=u¢×v+u×v¢,(4). 3反函数的求

25、导法则 设x=f(y)在区间Iy 内单调、可导且f ¢(y)¹0, 则它的反函数y=f -1(x)在Ix=f(Iy)内也可导, 并且 . 或. 4复合函数的求导法则 设y=f(x), 而u=g(x)且f(u)及g(x)都可导, 则复合函数y=fg(x)的导数为 或y¢(x)=f ¢(u)×g¢(x). 例16. 求双曲正弦sh x的导数. 解: 因为, 所以 , 即 (sh x)¢=ch x. 类似地, 有 (ch x)¢=sh x. 例17. 求双曲正切th x的导数. 解: 因为, 所以 . 例18. 求反双曲

26、正弦arsh x的导数. 解: 因为, 所以 . 由, 可得. 由, 可得. 类似地可得, . 例19y=sin nx×sinn x (n为常数), 求y¢. 解: y¢=(sin nx)¢ sin n x + sin nx × (sin n x)¢ = ncos nx ×sin n x+sin nx × n × sin n-1 x ×(sin x )¢ = ncos nx ×sin n x+n sin n-1 x × cos x =n sin n-1 x 

27、5; sin(n+1)x . §2. 3 高阶导数 一般地, 函数y=f(x)的导数y¢=f ¢(x)仍然是x 的函数. 我们把y¢=f ¢(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数, 记作 y¢¢、f ¢¢(x)或, 即 y¢¢=(y¢)¢, f ¢¢(x)=f ¢(x)¢ , . 相应地, 把y=f(x)的导数f ¢(x)叫做函数y=f(x)的一阶导数. 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数

28、叫做四阶导数, × × ×, 一般地, (n-1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作 y¢¢¢, y (4), × × × , y (n) 或, , × × × , . 函数f(x)具有n 阶导数, 也常说成函数f(x)为n 阶可导. 如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数. y¢称为一阶导数, y¢¢, y¢¢

29、62;, y (4), × × ×, y(n)都称为高阶导数. 例1y=ax +b , 求y¢¢. 解: y¢=a, y¢¢=0. 例2s=sin w t, 求s¢¢. 解: s¢=w cos w t , s¢¢=-w 2sin w t . 例3证明: 函数满足关系式y 3y¢¢+1=0. 证明: 因为, , 所以y 3y¢¢+1=0. 例4求函数y=ex 的n 阶导数. 解; y¢=ex , y¢

30、2;=ex , y¢¢¢=ex , y( 4)=ex , 一般地, 可得 y( n)=ex , 即 (ex)(n)=ex . 例5求正弦函数与余弦函数的n 阶导数. 解: y=sin x, , , , , 一般地, 可得 , 即. 用类似方法, 可得. 例6求对函数ln(1+x)的n 阶导数 解: y=ln(1+x), y¢=(1+x)-1, y¢¢=-(1+x)-2, y¢¢¢=(-1)(-2)(1+x)-3, y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4, 一般地, 可得 y(n)=(-1)(-2

31、)× × ×(-n+1)(1+x)-n, 即 . 例6求幂函数y=xm (m是任意常数)的n 阶导数公式. 解: y¢=mxm-1, y¢¢=m(m-1)xm-2, y¢¢¢=m(m-1)(m-2)xm-3, y ( 4)=m(m-1)(m-2)(m-3)xm-4, 一般地, 可得 y (n)=m(m-1)(m-2) × × × (m-n+1)xm-n , 即 (xm )(n) =m(m-1)(m-2) × × × (m-n+1)xm-n . 当

32、m=n时, 得到 (xn)(n) = m(m-1)(m-2) × × × 3 × 2 × 1=n! . 而 (x n)( n+1)=0 . 如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u(x)±v(x)也在点x 处具有n 阶导数, 且 (u±v)(n)=u(n)+v(n) . (uv)¢=u¢v+uv¢ (uv)¢¢=u¢¢v+2u¢v¢+uv¢¢, (uv)¢¢&

33、#162;=u¢¢¢v+3u¢¢v¢+3u¢v¢¢+uv¢¢¢ , 用数学归纳法可以证明 , 这一公式称为莱布尼茨公式. 例8y=x2e2x , 求y(20). 解: 设u=e2x , v=x2, 则 (u)(k)=2k e2x (k=1, 2, × × × , 20), v¢=2x , v¢¢=2, (v)(k) =0 (k=3, 4, × × × , 20), 代入莱布尼茨公式, 得

34、 y (20)=(u v)(20)=u(20)×v+C 201u(19)×v¢+C 202u(18)×v¢¢ =220e2x × x2+20 × 219e2x × 2x218e2x × 2 =220e2x (x2+20x+95). §2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 一、隐函数的导数 显函数: 形如y=f(x)的函数称为显函数. 例如y=sin x , y=ln x+e x . 隐函数: 由方程F(x, y)=0所确定的函数称为隐函数. 例如, 方程x+

35、y3 -1=0确定的隐函数为y . 如果在方程F(x, y)=0中, 当x取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F(x, y)=0在该区间内确定了一个隐函数. 把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来. 例1求由方程e y+xy-e=0 所确定的隐函数y的导数. 解: 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y)¢+(xy)¢-(e)

36、¢=(0)¢, 即 e y× y¢+y+xy¢=0, 从而 (x+e y¹0). 例2求由方程y5+2y-x-3x7=0 所确定的隐函数y=f(x)在x=0处的导数y¢|x=0. 解: 把方程两边分别对x求导数得 5y×y¢+2y¢-1-21x 6=0,由此得 . 因为当x=0时, 从原方程得y=0, 所以 . 例3. 求椭圆在处的切线方程. 解: 把椭圆方程的两边分别对x求导, 得 . 从而 . 当x=2时, , 代入上式得所求切线的斜率 . 所求的切线方程为 , 即. 解: 把椭圆

37、方程的两边分别对x求导, 得 . 将x=2, , 代入上式得 ,于是 k=y¢|x=2. 所求的切线方程为 , 即. 例4求由方程所确定的隐函数y的二阶导数. 解: 方程两边对x求导, 得 , 于是 . 上式两边再对x求导, 得 . 对数求导法: 这种方法是先在y=f(x)的两边取对数, 然后再求出y的导数. 设y=f(x), 两边取对数, 得 ln y = ln f(x), 两边对x 求导, 得 , y¢= f(x)×ln f(x)¢. 对数求导法适用于求幂指函数y=u(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数. 例5求y=x sin x (x>

38、0)的导数. 解法一: 两边取对数, 得 ln y=sin x × ln x, 上式两边对x 求导, 得 , 于是 . 解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求: y=x sin x=e sin x·ln x , . 例6. 求函数的导数. 解: 先在两边取对数(假定x>4), 得 ln yln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4), 上式两边对x求导, 得 ,于是 .当x<1时, ; 当2<x<3时, ; 用同样方法可得与上面相同的结果. 注: 严格来说, 本题应分x>4, x<1, 2<x<3三种

39、情况讨论, 但结果都是一样的. 二、由参数方程所确定的函数的导数 设y与x的函数关系是由参数方程确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数. 在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设x=j(t)具有单调连续反函数t=j-1(x), 且此反函数能与函数y=y(t)构成复合函数y=yj-1(x) , 若x=j(t)和y=y(t)都可导, 则 , 即 或. 若x=j(t)和y=y(t)都可导, 则. 例7. 求椭圆在相应于点处的切线方程. 解: . 所求

40、切线的斜率为. 切点的坐标为, . 切线方程为, 即 bx+ayab =0. 例8抛射体运动轨迹的参数方程为, 求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向. y=v2t -g t 2 解: 先求速度的大小. 速度的水平分量与铅直分量分别为 x ¢(t)=v1, y¢(t)=v2-gt, 所以抛射体在时刻t的运动速度的大小为 . 再求速度的方向, 设a是切线的倾角, 则轨道的切线方向为 . 已知x=j(t), y=y(t), 如何求二阶导数y¢¢? 由x=j(t), , . 例9计算由摆线的参数方程所确定的函数y=f(x)的二阶导数. 解: (t¹2

41、np, n为整数). (t¹2np, n为整数). 三、相关变化率 设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数, 而变量x与y间存在某种关系, 从而变化率与间也存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率. 例10一气球从离开观察员500f处离地面铅直上升, 其速度为140m/min(分). 当气球高度为500m时, 观察员视线的仰角增加率是多少？ 解 设气球上升t(秒)后, 其高度为h, 观察员视线的仰角为a, 则. 其中a及h都是时间t的函数. 上式两边对t求导, 得. 已知(米/秒).

42、 又当h=500(米)时, tan a=1, sec2 a=2. 代入上式得,所以 (弧度/秒). 即观察员视线的仰角增加率是每秒0. 14弧度. §2. 5 函数的微分 一、微分的定义 引例 函数增量的计算及增量的构成. 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其边长由x0变到x0+Dx, 问此薄片的面积改变了多少？ 设此正方形的边长为x, 面积为A, 则A是x的函数: A=x2. 金属薄片的面积改变量为 DA=(x0+Dx)2-(x0)2 =2x0Dx +(Dx)2. 几何意义: 2x0Dx表示两个长为x0宽为Dx 的长方形面积; (Dx)2表示边长为Dx的正方形的面积. 数学意义

43、: 当Dx®0时, (Dx)2是比Dx 高阶的无穷小, 即(Dx)2=o(Dx); 2x0Dx是Dx的线性函数, 是DA的主要部分, 可以近似地代替DA. 定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义, x0及x0+Dx在这区间内, 如果函数的增量 Dy =f(x0+Dx)-f(x0)可表示为 Dy=ADx+o(Dx), 其中A是不依赖于Dx的常数, 那么称函数y=f(x)在点x0是可微的, 而ADx叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分, 记作 dy, 即 dy =A Dx. 函数可微的条件: 函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0可导, 且当函数

44、f(x)在点x0可微时, 其微分一定是 dy=f ¢(x0)Dx. 证明: 设函数f(x)在点x0可微, 则按定义有 Dy=ADx+o(Dx), 上式两边除以Dx, 得 . 于是, 当Dx®0时, 由上式就得到 . 因此, 如果函数f(x)在点x0可微, 则f(x)在点x0也一定可导, 且A=f ¢(x0). 反之, 如果f(x)在点x0可导, 即 存在, 根据极限与无穷小的关系, 上式可写成 , 其中a®0(当Dx®0), 且A=f(x0)是常数, aDx =o(Dx). 由此又有 Dy =f ¢(x0)Dx+aDx . 因且f &

45、#162;(x0)不依赖于Dx, 故上式相当于 Dy=ADx+o(Dx), 所以f(x)在点x0 也是可导的. 简要证明: 一方面 . 别一方面 . 以微分dy近似代替函数增量 Dy的合理性: 当f ¢(x0)¹0时, 有 . Dy=dy+o(d y). 结论: 在f ¢(x0)¹0的条件下, 以微分dy=f ¢(x0)Dx近似代替增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)时, 其误差为o(dy). 因此, 在|Dx|很小时, 有近似等式 Dydy . 函数y=f(x)在任意点x的微分, 称为函数的微分, 记作dy或 d f(x), 即 dy=f

46、¢(x)Dx , 例如 d cos x =(cos x)¢Dx =-sin x Dx ; dex=(e x)¢Dx=exDx . 例1 求函数y=x2在x=1和x=3处的微分. 解 函数y=x2在x=1处的微分为 dy=(x2)¢|x=1Dx=2Dx; 函数y=x2在x=3处的微分为 dy=(x2)¢|x=3Dx=6Dx . 例2求函数 y=x3当x=2, Dx =0. 02时的微分. 解: 先求函数在任意点x 的微分 dy=(x3)¢Dx=3x2Dx . 再求函数当x=2, Dx=0. 02时的微分 dy|x=2, Dx=0.02

47、=3x2| x=2, Dx=0.02 =3´22´0.02=0.24. 自变量的微分: 因为当y=x时, dy=dx=(x)¢Dx=Dx, 所以通常把自变量x的增量Dx称为自变量的微分, 记作dx, 即dx=Dx. 于是函数y=f(x)的微分又可记作 dy=f ¢(x)dx. 从而有 . 这就是说, 函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫做“微商”. 二、微分的几何意义当Dy 是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当|Dx|很小时, |Dy-dy|比|Dx|小得多. 因此

48、在点M的邻近, 我们可以用切线段来近似代替曲线段. 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 从函数的微分的表达式 dy =f ¢(x)dx可以看出, 要计算函数的微分, 只要计算函数的导数, 再乘以自变量的微分. 因此, 可得如果下的微分公式和微分运算法则. 1. 基本初等函数的微分公式导数公式: 微分公式: (x m)¢=m x m-1 d (x m)=m x m-1d x (sin x)¢=cos x d (sin x)=cos x d x (cos x)¢=-sin x d (cos x)=-sin x d x (tan x)¢=sec

49、 2 x d (tan x)=sec 2x d x (cot x)¢=-csc 2x d (cot x)=-csc 2x d x (sec x)¢=sec x tan x d (sec x)=sec x tan x d x (csc x)¢=-csc x cot x d (csc x)=-csc x cot x d x (a x )¢=a x ln a d (a x )=a x ln a d x (e x)=e x d (e x)=e x d x 2. 函数和、差、积、商的微分法则求导法则: 微分法则: (u±v)¢=u¢&

50、#177; v¢ d(u±v)=du±dv(Cu)¢=Cu ¢ d(Cu)=Cdu (u×v)¢= u¢v+uv¢ d(u×v)=vdu+udv 证明乘积的微分法则: 根据函数微分的表达式, 有d(uv)=(uv)¢dx. 再根据乘积的求导法则, 有(uv)¢=u¢v+uv¢. 于是 d(uv)=(u¢v+uv¢)dx=u¢vdx+uv¢dx. 由于u¢dx=du, v¢dx=dv, 所以d(uv

51、)=vdu+udv. 3. 复合函数的微分法则设y=f(u)及u=j(x)都可导, 则复合函数y=fj(x)的微分为dy=y¢x dx=f ¢(u)j¢(x)dx. 于由j¢(x)dx=du, 所以, 复合函数y=fj(x)的微分公式也可以写成dy=f ¢(u)du 或 dy=y¢u du. 由此可见, 无论u是自变量还是另一个变量的可微函数, 微分形式dy=f ¢(u)du保持不变. 这一性质称为微分形式不变性. 这性质表示, 当变换自变量时, 微分形式dy=f ¢(u)du并不改变. 例3y=sin(2x+1), 求dy. 解: 把2x+1看成中间变量u, 则 dy=d(sin u)=cos udu=cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)×2dx=2cos(2x+1)dx. 在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量. 例4., 求dy. 解: . 例5y=e1-3xcos x, 求dy. 解: 应用积的微分法则, 得 dy=d(e1-3xcos x)=cos xd(e1-3x)+e1-3xd(cos x) =