必修二点、直线、平面位置和平行垂直的关系

1、一、空间点、直线、平面之间的位置关系1. 平面的根本性质公理 1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理 2：过不在同一条直线上的 ，有且只有一个平面。公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 2直线与直线的位置关系(1) 位置关系的分类共面直线 异面直线：不同在任何 一个平面内(2)异面直线所成的角定义：设a、b是两条异面直线，经过空间中任一点0作直线a /a, b，b,把a，与b，所成的 范围： 叫做异面直线 a， b 所成角。 。3直线与平面的位置关系 有 、 、 三种情况。4平面与平面的位置关系 有 、 两种情况。5平行公

2、理 ：平行于同一条直线的两条直线互相 。练习1假设平面a与平面b相交，那么它们只有有限个公共点；经过一条直线和这条直线外一 点，有且只有一个平面； 经过两条相交直线有且只有一个平面； 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面。其中正确的选项是A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1个2、在空间四边形 ABCD 的边 AB 、 BC、 CD、 HG 交于点 M ，那么A M 一定在直线 AC 上C M 可能在 AC 上也可能在 BD 上DA 上分别取 E、 F、 G、 H 四点，如果 EF 与 ()B M 一定在直线 BD 上D M 既不在 AC 也不在 BD 上3、如图 1是一个正方体的展开图

3、，如果将它复原为正方体，图 1那么以下结论不正确的选项是()A HG 与 EF 异面B HG 与 CD 异面C CD/EFD HG 与 EF 所成的角为 60o 4、如图2所示，在正方体 ABCD-A iBiCiDi中，E、F分别 图2 是AB，AD，那么异面直线 BiC与EF所成的角的大小为类型一 平面根本性质的应用6、如图3所示，M,N,P,Q分别是正方体 ABCD-A，B，C，D，中棱AB，BC,C，D，,C，C，的中点。 求证： M,N,P,Q 四点共面。图 3类型二两条直线位置关系的判定7、 如图4,在四面体 ABCD中，假设截面PQMN是正方形，图4那么在以下命题中，错误的选项是(

4、)A AC BDB AC/ 截面 PQMNC AC=BDD 异面直线PM与BD所成的角为45°8、设A、B、C、D是空间四个不同的点，在以下命题中，不正确的选项是()A 假设AC与BD共面，那么AD与BC共面B 假设AC与BD是异面直线，那么 AD与BC是异面直线C 假设 AB=AC，BD=DC，贝U AD=BCD 假设 AB=AC , BD=DC，贝U AD BC类型三异面直线所成的角补充：一般用平移法利用中点、中位线、侧棱等条件构成平行直线，移到同一平面求解。9、如图 5在长方体 ABCD-A iBiCiDi 中，AA i=AB=2 , AD=1 ,图 5 点E、F、G、分别是D

5、Di、AB、CCi的中点。求异面直线AiE与GF所成角的大小。10、正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，贝U AE、SD所成的角的余弦值是()1'-?2,32A -BCD -3333易错题11、分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是()A相交 B异面 C平行 D相交或异面二、空间中的平行关系1、直线与平面平行(1 )定义：如果直线 a与平面 公共点，那么直线 a与平面 平行，记作 。(2 )判定定理：平面外一条直线与此平面内有一条直线 ，那么该直线与此平面平行。用符号表示为：a , b ,且 a。(3)性质定理：一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任

6、一平面与此平面的交线与该直线。用符号表示为：all , a ,l 。2、平面与平面平行的判定与性质(1 )定义：如果平面 与平面 公共点，那么平面与平面 平行，记作 即“面II面 线/面2判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面 ，那么这两个平面平行。用符号表示为： a ,b ,a b P, , / 。3性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 用符号表示为： / ， a, b 。练习1、如图1,在正方体 ABCD-A iBiCiDi中，E为DDi的中点，图1 那么以下直线中与平面 AEC 平行的是 A AA iB CiDia /C BiCiD BDi a/,ba/

7、b ; a/,b/a/b; a/b, a/ ,b是A1个B2个C3个D2、 a, b 是两条不重合的直线,是一个平面, 有以下四个命题： a/b , bb/a。其中正确的个数4个3、以下命题错误的选项是A平行于同一条直线的两个平面平行B平行于同一个平面的两个平面平行C一个平面与两个平行平面相交，交线平行D条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交4、正方体ABCD-AiBiCiDi，以下结论中正确的选项是 AD i/BC i;平面 ABiDi/平面 BDCi; ADi/DCi; AD i/平面 BDCi. 类型一 直线与平面平行的判定5、如图2所示， P、Q单位正方体 ABCD-A

8、iBiCiDi的 图2 面AiBiBA和面 ABCD的中心。证明： PQ/平面BCCiBi。6、如图 3,在四棱锥 P-ABCD 中,地面 ABCD 为正方形, 图 3E为PC中点。证明：PA/平面EDB。类型二 面面平行的判定7、如图4所示，正三棱柱 ABC-A iBiCi各棱长为4, E、F、G、H分别是AB、AC、AiCi、 AiBi的中点，求证：平面 AiEF/平面BCGH。图48、如图5,在正方体 ABCD-A iBiCiDi中，0为底面 ABCD的中心，图5 P是DDi的中点，设Q是CCi上的点，问：当点 Q在什么位置时， 平面 DiBQ/ 平面 PA0？易错题9、如图6所示， E

9、、F分别是正方体 ABCD-A iBiCiDi的棱 图6 AAi、CCi的中点。求证：四边形 BEDiF是平行四边形。三、空间中的垂直关系1、直线与平面垂直i 定义：如果直线I与平面 内的每一条直线都垂直，就说直线 I与平面 互相垂直，记 作。 2判定定理： 一条直线与一个平面内的 直线都垂直, 那么该直线与此平面垂直。用符号表示为： I a,I b,a ,b , I 。 3性质定理：垂直于同一平面的两条直线 。用符号表示为： a ,b 。2、直线与平面所成的角1定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角。2线面角 的范围： 。3当直线与平面垂直时,它们所成的

10、角是 。4当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角是 。3、两个平面垂直1二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。这条直线叫做二面角的棱。两个半平面叫做二面角的面。 记作 -I - 或 -AB-2二面角的平面角：过二面角棱上任一点做棱的两条垂线,所构成的角。3平面与平面垂直的判定： 假设一个平面过另一个平面的 ,那么这两个平面垂直。符号表示为： a4 面面垂直的性质定理：两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另 个平面 。练习1、在三棱锥 V-ABC 中， VA=VC ，AB=BC ，那么以下结论一定成立的是 AVABCBABVCCVBACDVAVB2、如图1,

11、AB是圆0的直径，PA垂直于圆O所在平面，C 图1是圆周上不同于 A,B 的任意一点，那么图中互相垂直的平面共有A 4 对B 3 对C 2对D 1 对3、表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，那么:m列选项正确的选项是A B C D 无关4、表示两个不同的平面，m， n 是平面之外两条不同直线，给出四个论断：m n 以其中三个论断为条件，余下一个论断作为结论，写出一个正确的命题_类型一 直线和平面垂直的判定和性质PAD=45o，5、如图2，PA垂直于矩形 ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC中点, 求证： MN 平面 PCD。图 2PC BD ？6、PA垂直于矩形ABCD所在平面，当矩形