微分方程讲稿

1、第一章微分方程的根本概念其运动规律将一目了然所以数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间 的关系。但在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系即函数往往不能直接写出来，却比拟容易地建立这些变 量和它们导数或微分的关系式。这种联系着自变量，未知函数及它的导数或 微分的关系式，数学上称之为微分方程，当然其中未知函数的导数或微分是不 可缺少的。§ 1.1微分方程：某些物理过程的数学模型例物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为uo 150c，10分 钟后测量得温度为6 100c，我们要求决定此问题

2、u和时间t的关系，并计算20 分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持为 Ua 24c。解：为了解决上述问题，需要了解一些热力学的根本规律：1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；2. 在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和所在介 质温度的差值成比例牛顿冷却定律来表示。注意到热dtUa，所以温差U Ua恒设物体在时刻t的温度为u u(t)，那么温度的变化速度以 量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，因而U0恒负。因此由牛顿冷却dt正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度定律得到：duk(u Uo)dt这里k 0是比例常数。方程的解：将方程改写成d(

3、U Ua)kdt的形式，这样变量U Uau和t可以别离开来。两边同时积分，得到：Ua)得到:Ualn(u这里的是任意常数，对两边取对数，uktu ua ceU0代入可以得到：令c ec，得到:将t 0时，ukt e kt cc U0 Ua再根据条件t10,u U1，可以得至V：丄In10 u1U0 也 0.051Ua所以：u 24126e 0.0511数学摆是系于一根长度为I的线上而质量为m的质点M，在重力的作用 下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动，我们要确定摆的运动方程：解：设取逆时针运动方向作为计算摆与铅垂线所成的角的正方向。质点M沿圆周的切向速度V可以表示为v 。作用于质点M的重力mg

4、将摆拉回到平 dt衡位置；我们将重力可以分解为两个分量， 一个沿这线的方向，此方向的力正好 和线的拉力相抵消，它不会引起质点速度的改变，第二个分量沿圆周的切线方向， 它引起质点速度的变化摆的运动方程是：即:0dv m dt 匚 dt2mg sing . sin l如果只研究摆的微小振动时，即当d22比拟小时的情况，sin ，此时可以g 0i得到微小振动时摆的运动方程：dt如果我们假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么，沿着摆的运动方向就会 存在一个与速度v成比例的阻力，如果阻力系数为，那么摆的运动方程变为:d2 gd2 0dt l m dt如果沿着摆的运动方向恒有一个外力 微小振动，其方程为：F

5、(t)作用与它，这时摆的运动称为强迫d 1 F(t)m dt ml当要确定摆的某一特定的运动时，我们应该给出摆的初始状态:当t 0时， 0,0，这里0代表摆的初始位置，0代表摆的初始角dt速度。§微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程。常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程。偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程。微分方程的阶数 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶数。32-o 2x y x y 4xy 3x(4)y 4y 10y12y 5y sin2 xy(n) 1 o一般n阶微分方程具有如下的形式

6、F(x y yy(n) 0隐式方程y (n) f(x y yy(n 1)显式方程其中上式一定含有y(n), y是未知函数，x是自变量。 微分方程的解满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等 式)叫做该微分方程的解确切地说 设函数y (x)在区间I上有n阶连续导数如果在区间I上Fx (x)(x)(n) (x)0那么函数y (x)就叫做微分方程F(x y yy(n) 0在区间I上的解。通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解。初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件。如x xo 时 y yo y y o一般写成y x

7、 冷 yo y x 冷 yo特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题如求微分方程y f(x y)满足初始条件yxx0 yo的解的问题 记为y f (x,y)y x xo yo积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线。第二章一阶微分方程的初等解法§型如：y' f (x)g( y)的微分方程，称为可别离变量方程。这里f(x), g(y)分别是x,y的连续函数，这类方程的特点是：经过适当的运算，可以将两个不同变量的函数与微分别 离到方程的两边，然后两边同时积分。其具体解法如下：1

8、别离变量如果g(y) o将方程整理为 dy f(x)dx的形式使方g(y)程各边都只含一个变量 两边积分两边同时积分，得：1 左边dyg(y)右边二 f (x)dx故，方程的解为g(y)dyf (x)dx C 。注1:我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，而 把积分所带来的任意常数明确地写上。注2:如果存在y0，使g(y。)0，直接代入，可知y y。也是上述方程的解、 求方程 y' (sin x cosx).,1 y2的通解解：另廿离变量，得fdy 2(sinx cosx)dxJi y2两边积分，得方程的通解arcs in y (cosx si nx) C例:求

9、方程dx xydy y2dx ydy满足初始条件y(0) 2的特解 解：将方程整理得 y(x 1)dy (y2 1)dx别离变量，得两边积分，得11 n(y22化简，得y2 1dxx 111) In (x 1) InC2C(x 1)2为所求通解将初始条件y(0)2代入,得C 3.即y2 C(x 1)2 1故所求特解为y2 3(x 1)2 1 2可化为变量别离方程的类型1形如： 学 g(乂)的方程，称为齐次方程，这里g(u)为u的连续函数 dx x做变量变换u 1x2形如史 6X dy G的方程，其中a1, C2为常数。dx a2x b2y c2§1 .一阶线性齐次方程的解法我们来观察

10、，一阶线性齐次方程y' P(x)y 0实际上是可别离变量方程.请同学们自己按照别离变量、两边积分的步骤求通解， 解得： y Ce P(x)dx 通解公式以后我们遇到形如厂P( x) y 0的方程都可以直接套用公式：例:求方程y' (sinx)y 0的通解解：所给方程是一阶线性齐次方程，可直接套公式由 P(x) sin x,得： P(x)dx sin xdx cosx由通解公式得通解：y Cecosx例 2.2.2 :求方程(y 2xy)dx x2dy 0满足y(1) e的特解解：此方程不是y'P(x)y 0的形式，考虑变形，y即dx原方程可化为：dx1 2xxy Cx2

11、e其中P(x)得 P(x)dx1 2x2 x丄)dxx2 Tlnx2这是一个一阶线性齐次方程故通解为：将ye代入通解，得C1故所求特解为y x2e"2. 一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程 y' P(x)y Q(x) 与其对应的一阶线性齐次方程y' P(x)y 0左边都是相同的，而它们的差异就就在于Q(x)是否恒为0.因此，我们可以设想它们的通解也会有一定的联系P(x) dx我们已经求出y' P(x)y 0 的通解为y Ce，为了方便起见，我P(x)dx们令ey1，那么有y Cy1,当C恒为常数时，y Cy1是的解，可知当C 1时，Y1是的一个解但一定

12、不满足线性非齐次方程 y' P(x)y Q(x).那么 如果我们把C看作x的函数C(x)，并将y C(x)y1代入线性非齐次方程中去， 会有怎样的结果呢？我们来试算一下：设y C(x)y1是线性非齐次方程y' P(x) y Q(x)的解，将 y C(x)y1 及其导数 y' C'(x)% C(x)y代入方程 y' P(x)y Q(x)有：C'(x)y1 C(x)y P(x)C(x)y1Q(x)因为y1是对应的线性齐次方程的解，故 ' P(x)y1 0在实际操作中，总会有可以相互消除的项因此有：C'(x)y1 Q(x)，其中与Q(x

13、)均为函数，所以可以通过积分求得：C(x)Qdx Cy1将其代入y C(x)中，得：y Cy1 y其中y e卩"皿y1经验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程y' P(x)y Q(x)，且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程y' P(x)y Q(x)的通解.于是，一阶线性非齐次方程y' P(x)y Q(x)的通解公式为：P(x) dxP(x) dxy e C Q(x)e dx上述我们讨论中所用的方法，是将常数C变为待定函数C(x)，再通过确定C(x)而求得方程的解，这种方法称为常数变易法.在求一阶线性非齐次方程 y' P(x)y Q(x)的通解

14、时，我们既可以用常数变 易法，也可以直接套用公式下面看几道例题：例8 :求方程2y' y ex的通解解：方法一常数变易法线性非齐次方程原方程化为：y' y -ex2 2求得它所对应的线性齐次方程1y' - y 0的通解为y Ce2，设所给线性非齐次方程的解为:将y及y'代入该方程，得:xy C(x)e至，1 x e2xC'(x)e 至1 r于是，有：C(x)-e2dxxe2因此，原方程的通解为方法二公式法原方程化为：y' -y21-那么 P(x) -,Q(x)-e22、 1 求得： P(x)dx dx 2P(x)dxQ(x)e dxxC(x)e2

15、xCe色 exx21 x 2de e 2dx2P(x)dx exe2,代入通解公式，得原方程的通解为 观察上面两种方法，便，但需要牢记公式，各有利弊x xxy (C e2)e2 Ce2 ex常数变易法不用记忆公式，但步骤较繁锁；公式法步骤简xy' y cosx例9：求解初值问题： y( ) 11 1 解：原方程可化为：y' - y -cosxx x请用常数变易法或公式法求通解略，得:c)丄xy (sin x将y()C 1 . sin xx x1代入，得C，所以，所求的特解即初值问题的解为:1y 一( sin x) x例10：求方程y2dx (x 2xy y2)dy 0的通解解：

16、所给方程中含有y2，因此，如果我们仍把x看作自变量，把y看作未知数，那么它不是线性方程对于这样的一阶微分方程，我们可以试着把y看作自变量，把x看作是y的函数，然后再分析.原方程可化为：鱼1dy y这是一个关于未知函数x x(y)的一阶线性非齐次方程，其中，P(y)匸，自y由项Q(y)=l代入通解公式，有l2Vdy1丄丄x e y C e 丁 dyy2ey(C e y) y2(1 Cey)1即所求通解为：x y2(1 Ce')3伯努利方程：孚 P(x)y Q(x)yndx用y n乘方程的两边，得到：引入变量变换n dy1 nyP(x)ydx1 nz yQ(x)从而得到空(1 n)yn d

17、ydxdx那么原方程可以化为：dx (1 n)P(x)z (1n)Q(x)这是线性方程，可用上述方法解。§dx一阶微分方程不f(t，x)，: 1x(to) X。其中f(t,x)是t和x的函数，x(to) X。为初始条件。定理1Cauchy-PeanO如果函数f(t,x)在R：t t0 a, x x0 b上连续，那么方程1在t t°| h上有解x (t)满足初值条件x°(t°)，此处min (a,)， MMmxaRf(tb上连续，且满足利普希兹f(t,x(2) Lx(1) x(2):定理2如果函数f(t, x)在R: t t0 a, x x0 (Lipsc

18、hitz)条件即存在正常数L使得f(t,x)其中，(t,x),(t,x(2) R，那么方程1满足初值条件x°(t°)的解是唯一的1996年 A题 最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源如渔业、林业资源 的开发必须适度一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求 最大产量或最正确效益.考虑对某种鱼鯷鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，x 105x 1011x 1011+n).渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作 业.如果每年投入的捕捞能力如渔船数、下网次数等固定不变，这时单位时 间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成

19、正比.比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使 用13 mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数 之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.1建立数学模型分析如何实现可持续捕获即每年开始捕捞时渔场中 各年龄组鱼群条数不变，并且在此前提下得到最高的年收获量 捕捞总重量2模型的假设与符号说明1.模型的假设(1) 只考虑鱼的繁荣和捕捞的变化，不考虑鱼群迁入与迁出；(2) 各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡；(3) 所有鱼都在每年最后四个月内完成产卵孵化的过程，成活的幼鱼在下一年 初成为1龄鱼；(4) 产卵发生于四个月之初，产卵鱼的自然死亡发生于产卵之后；(5) 相邻

20、两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即第k年底i龄 鱼的条数等于第k+1年初i+1龄鱼的条数；(6) 4龄以上的鱼全部死亡；(7) 采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各龄鱼群的条数，比 例系数为捕捞强度系数。2符号的说明用Xi(t)表示t时刻i龄鱼的条数；r表示鱼的平均自然死亡率，即r=0.8; £表示i龄鱼的产卵数，即f1,f2,f3,f40,0,-, A，A 1.109*105; i表示i龄鱼的2平均质量，即1, 2, 3, 45.07,11.55,17.86,22.99 ； q：表示i龄鱼的捕捞强度系数，即- 2q1,q2,q3,q40,0,0.42E,

21、E，E为捕捞努力量；t -表示产卵开始的月份；丫3表示i龄鱼的捕捞量；Ci表示i龄鱼的捕捞率。3模型的建立与求解由假设1和2得:dXi (t) dtrxi(t), i1,2,34 ；k t k 1，k0,1,2,又由假设3和4得：1.22*1011X1(k 1)11Xo(k1.22*10Xo(kt)t)，A x°(k t)X3(k t) Ax4(k t)2由假设5和6得Xi(0)Xi,Xi i(k 1)tlirmiXi (t) (i 1,2,3; k 0,1,)2固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞模型 由假设知，捕捞期为k t kt，那么有dXi (t)dtrXi(t) qi(E)Xi(t),kt k t，rXi(t),k t t k 1dtXi(0)Xi, Xi 1 (k 1) lim Xi (t)，i 1,2,3，t k 1123xdk1)111.22*10八石x°(k1.22* 1011 x°(k t)t)，Ax°(k t) X3(k t) Ax4(k t)，k 0,1,2,21鱼群的增长规律x 1(k1)sli(E)x(k),