数学必修一必修4基础知识

1、必修一（一）集合1.集合的概念(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即 、 和 .（2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为 、 和空集；根据集合所含元素的性质，集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元素的集合，用表示.（3）我们约定用 表示自然数集，用 表示正整数集，用 表示整数集，用 表示有理数集，用 表示实数集.（4）集合的表示方法有 、 和图示法(venn图).2.集合间的基本关系（1）集合与元素的关系表示元素和集合之间的关系，有属于“”和不属于“”两种情形.（2）集合与集合之间的关系集合与集合之间有

2、包含、真包含、不包含、相等等几种关系.若有限集A中有n个元素，集合A的子集个数为 ，非空子集的个数为 ，真子集的个数为 ，非空真子集的个数为 .3.集合的运算集合与集合之间有交、并、补集三种运算.4.集合运算中两组常用的结论（1）；（2）；.（二）函数的概念（1）函数的定义设A，B是 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有 和它对应，那么就称为从集合A到集合B 的一个函数，记作.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的 .值域是集合B的 .映射：设A，B是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f，使

3、对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A到集合B 的映射，记作.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：一对一，多对一.（2）函数的三要素： 、 及 称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定性作用的是 及 ，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了.（3）相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数.2.函数的表示方法函数的表示方法主要有三种：解析法、图象法、列表法.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.（三）函数单调性1.增函数、减函数设函数的定义域为I：如果对于定义域I

4、内某个区间D上的任意两个自变量的值，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D上是减函数.2.单调性、单调区间如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤： ； 4.数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的 或 ，即图像的 或 .5函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值不一定是函数值，函数的最值是函数值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x值.6判断函数单调性的常

5、见方法定义法；图象法；导数法. 7求函数最值或值域的方法单调性法；配方法；换元法；判别式法；图象法；不等式法等.8一些重要函数的单调性的单调区间：增区间 ；减区间 .的单调区间：增区间 ；减区间 .（四）函数奇偶性 (1)奇函数、偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数.(2)奇偶性如果函数是奇函数或偶函数，那么就说函数具有奇偶性.(3)奇函数、偶函数的性质奇函数、偶函数的定义域皆关于 对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件）；奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关

6、于 对称；若奇函数在x=0处有定义，那么一定有 .在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是 数；两个奇函数的和、差仍是 ；奇数个奇函数的积为 ；偶数个奇函数的积为 ；一个奇函数与一个偶函数的积为 ；一个奇函数与一个偶函数（均不恒为零）的和与差 .奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.（五）基本函数：一次二次函数1.叫做一次函数，它的定义域和值域皆为R2.函数性质当k0时，为 函数，当k0时，为 函数；当b=0时，函数为正比例函数；3.函数的解析式的三种形式：一般式 ；顶点式 ；零点式 ；4.二次函数的图象与性质的图

7、象是一条抛物线，顶点坐标为 ，对称轴方程为 ，当时开口向上, 当时开口向下；时，抛物线与x轴有 交点.单调性：当时，在 减函数； 在 上是增函数.，相反.奇偶性： 函数；为 函数；（六）指数函数1.幂的有关概念正整数指数幂： ；零指数幂：1( ) ；负整数指数幂：= ()； 正分数指数幂： ();负分数指数幂： (); 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 2.幂的运算法则（） ； ； 3.指数函数图像及性质定义图象定义域 值域 定 点单调性4.指数函数具有性质：（七）对数函数1.定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作，其中称对数的底，N称真数.以10为底的对数称常用

8、对数，记作，以无理数为底的对数称自然对数，记作2.基本性质：真数N为正数（负数和零无对数）， ， 对数恒等式：.3.运算性质：如果则；.4.换底公式：， .5. 对数函数具有性质： 6.函数的图像与性质定 义图 象定义域值 域定 点单调性定义域（八）函数图像变换1平移变换水平平移： 的图象，可由 的图象向左 或向右 平移 个单位而得到；竖直平移： 的图象可由 的图象向上 或向下 平移 个单位而得到；注：对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减.2对称变换与的图象关于 对称;与的图象关于 对称;与的图象关于 对称;与的图象关于 对称;的图象可将的图象在 轴下方的部分以

9、轴为对称轴翻折上去，其余部分不变; 的图象可将的部分作出，再利用偶函数的图象关于轴对称，作出 的部分.3.伸缩变换 的图象，可将 图象上所有点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变而得到; 的图象，可将 图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变而得到.（十）函数的应用1函数零点的定义：对于函数成立的 叫做函数的零点 .2.二分法定义：对于区间上连续，且 的函数,通过不断把函数的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.注：该法一般求的是近似解.3解函数应用题，一般可按以下四步进行(1)阅读理解，认真审题 (2)引进数学符号，建立数学模型(3)利用数学

10、的方法将得到的常规数学问题给出解答，求得结果(4)转译成具体问题做出回答必修四（一） 角的概念1.任意角(1)终边相同的角：所有与终边相同的角，连同在内，可构成一个集合S= (2)终边在x轴正半轴上的角的集合： 终边在x轴负半轴上的角的集合： 终边在y轴正半轴上的角的集合： 终边在y轴负半轴上的角的集合： 终边在x轴上的角的集合： 终边在y轴上的角的集合： 2.弧度制(1)定义： 叫做1弧度的角.(2)计算：如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角弧度数的绝对值是 其中，的正负由角的终边的旋转方向决定.注意：弧长公式： 扇形面积公式：= = (3)换算:360=2, 180=1=rad0

11、.01745rad1rad= (4)一些特殊角的弧度数及函数值度:0,30,45,60,90,120,135,150,180,270,360.弧度：0，.要熟记这些特殊角的正弦、余弦、正切三种三角函数值.3.三角函数的定义（1）初中直角三角形中的定义；（2）坐标法定义：设是一个任意角，在它的终边任取异于原点的一点，令，则 ， ， 4. 三角函数值的符号：口诀：一全二正弦，三切四余弦注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值5.三角函数线：设任意角的终边与单位圆交于点.过点作轴的垂线，垂足为.过点作单位圆的切线，设它与的终边或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于点，则有： ， ，

12、 .（二）诱导公式及同角关系式1.同角三角函数的基本关系式：平方关系： 商数关系：.2.诱导公式记忆口诀：口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.（三）三角函数性质1.五点法作图的原理：在确定正弦函数在上图象的形状时，起关键作用的五个点是 ，余弦的是 .2.作正切函数的图象关键是三点两线，即三点是 ，两线是 .3.三角函数的图象和性质：4.三角函数的奇偶性函数的定义域是否为关于原点对称的点集是判断函数奇偶性的必要条件，必须优先考虑，然后再进行化简判断.5.五点法作函数的图象分别令取，求出相应的值与值，然后描点，再用光滑的曲线连结，即可得到一个周期的图象，通过左右平移，就得到在上的图象.6.的物理意义：叫 ，决定图象最高（低）点的位置；叫 ，叫 ，影响图象的零值点； 影响其周期，.通常情况下，可正可负，也可为.7.由的图象可有两条途径得到的图象：