三角函数、不等式、函数及导数复习

1、函数与导数题型一函数的单调性、极值、最值问题函数f(x)=22ax a +1(x R).其中a R.(1) 当a= 1时，求曲线y= f(x)在点(2, f(2)处的切线方程; 当a0时，求函数f(x)的单调区间与极值.2x4解 当 a= 1 时,f(x)=帀,f(2) = 5,(x) = 222 2x625.所以，曲线y= f (x)在点(2, f(2)处的切线方程为46(x 2),即 6x + 25y 32= 0.252 22a x + 1 2x 2 ax a +1 (x)=2 x a ax+ 1 = 2 2 .x + 1由于0,以下分两种情况讨论当 a> 0,令 f'(x)

2、 = 0,得到 x=,X2 = a.a当x变化时,f'( x), f (x)的变化情况如下表:X1(m, )1 a1(- a，a)a(a, +3f'(X)一0+0一f(x)极小值/极大值所以f(x)在区间 一3 1 ,( a, +8)内为减函数a1在区间一-，a内为增函数.a11函数f (x)在X1=-处取得极小值f ,aa1 2且 f _ = a.a函数f(x)在X2= a处取得极大值f(a),且f(a) = 1.1当 av 0 时，令 f '(x) = 0,得到 X1= a,X2= -，a当X变化时,f'( x), f (x)的变化情况如下表:111X(3,

3、 a)a(a，-aa(-7, +3)f'(X)十0一0十f(X)/极大值极小值/11所以f(x)在区间(g, a), , +m 内为增函数,在区间a,：内为减函数.aa函数f (x)在xi= a处取得极大值f (a),且f (a) = 1.1 1 函数f (x)在X2= -21 2且 f - = a2.a答题过程：第一步：确定函数的定义域 如此题函数的定义域为 R.第二步：求f (x)的导数f'(x).第三步：求方程f '(x) = 0的根.第四步：利用f '(X)= 0的根和不可导点的 x的值从小到大顺次将定义域分成假设干个小开 区间，并列出表格.第五步：由f

4、'(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性.第六步：明确标准地表述结论一 1 第七步：反思回忆.查看关键点、易错点及解题标准.如此题中f '(x) = 0的根为X1= , X2 a=a.要确定X1,X2的大小，就必须对a的正、负进行分类讨论.这就是此题的关键点和易错点 .xe训练1设f (x) =2,其中a为正实数.I十ax4(1)当a=3时，求f (x)的极值点；假设f (x)为R上的单调函数，求a的取值范围.题型二导数与不等式问题1例 2 设函数 f (x)定义在(0,十)上,f (1) = 0,导函数 f'(x) =-,g(x) = f(x)十

5、 f'(x).X(1) 求g( x)的单调区间和最小值；1(2) 讨论g(x)与g -的大小关系；X1(3) 是否存在xo>O,使得| g(x) g(xo)|< -对任意x>0成立？假设存在，求出xo的取值范X围；假设不存在，请说明理由.解(1)由题设易知f (x) = In x,1g(x) = In x+ -,z.x一 1二 g'(x)=,令 g'(x)= 0,得 x= 1,x当 x(0 ,1)时，g'(x)<o,故(0,1)是g( x)的单调减区间，当 x (1, +s)时,g'(x)>o.故(1, +s)是g(x)的单

6、调增区间，因此，-=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1) = 1.11x x+ x，(2) g x =- In x + x,1设 h( x) = g(x) g - = 2ln x那么 h'(x)=x 11当 x= 1 时，h(1) = 0,即 g(x) = g 一 ,x当 x (0,1) U (1, W)时，h'(x)<0, h' (1) = 0, 因此,h(x)在(0, +s)内单调递减，1 当 x>1 时,h(x)<h(1) = 0,即 g(x)<g 一 .x1 当 0<x<1 时，h(x)

7、> h(1) = 0,即 g(x)>g -,x(3)满足条件的Xo不存在.证明如下：1假设存在x°>0,使| g(x) g(x°)|< -对任意x>0成立,即对任意x>0, x有 In x<g(x°)<ln x+ -,(*)x但对上述X0,取X1= e时,有In X1 = g(X0),这与(*)左边不等式矛盾1因此,不存在X0>0,使| g(x) g( x°)|< -对任意x>0成立.X答题过程：1第一步：构造函数 h(x) = g(x) g -;z.第二步：根据求单调性、极值的步骤探求函

8、数h(x)的单调性；第三步：根据h(x)的单调性比拟h(x)和0的大小； 第四步：下结论，反思回忆.训练 2 函数 f(x) = (x2 3x + 3)eX,x 2, t ( t > 2).(1)当t <1时，求函数y= f (x)的单调区间；设 f ( 2) = m f (t) = n,求证：nrn.题型三导数的综合应用f (x)=2x ax2+ 2(x R)在区间1,1上是增函数(1)求实数a的值所组成的集合A；1m使得不 设关于x的方程f (x)= -的两个非零实根为 X1、X2,试冋：是否存在实数x,求出m的取值等式m+ tm+1 >| X1 X2|对任意a A及t

9、1,1 恒成立？假设存在范围；假设不存在，请说明理由2 2,4 + 2ax 2x 2 x ax 2x2 + 22(1)f '(X)=x2+2 - f (x)在1,1上是增函数， f '(x)?0对x 1,1恒成立, 即 x ax2<0 对 x 1,1恒成立.设 0 (x) = x2 ax 2,1<a< 1.01= 1 a 2W00 1= 1 + a 2W0对x 1,1, f (X)是连续函数，且只有当a= 1时, f' ( 1) = 0 以及当 a= 1 时,f' (1) = 0,A= a| 1w aw 1.丄 2x a 122 由=-,得 x

10、2 ax 2 = 0. A = a2 + 8>0,x + 2 x X1, X2是方程x2 ax 2 = 0的两个非零实根，X1 + X2= a, X1X2= 2, 从而 |X1 X2| =-; X1 + X2 2 4x1X2 = a2 + 8. t 1 w a w 1, .| X1 X21 =" J a + 8w 3.要使不等式 m+ tm+1>| X1 X2|对任意a A及t 1,1恒成立， 当且仅当 m+ tm+1>3对任意t 1,1恒成立.即m + tm 2>0,对任意t 1,1恒成立.2 2设 g(t) = m+tm 2= mt+ (m 2),2g 1

11、= m m- 2>0那么2? m>2 或 nw 2.g 1= m+ m- 2>0综上知：存在实数 m使得不等式 m+ tm+1>| X1 X2|对任意a A及t 1,1恒成立，其 取值范围是 m m>2或mW 2.答题过程： 第一步：将问题转化为形如不等式f(x) >a(或f(x) w a)恒成立的问题.第二步：求函数f(X)的最小值f ( X) min或f(X)的最大值f(X)ma 第二步：解不等式 f(x)min?a(或f ( x) maxw a).第四步：明确标准地表述结论.第五步：反思回忆.查看关键点、易错点及标准解答.如此题重点反思每一步转化的目标

12、及合 理性,最大或最小值是否正确.训练3 函数f(x) = aln x + bx2图象上点P(1, f(1)处的切线方程为 2x y 3= 0. (1)求函数y= f (x)的解析式；1函数g( x) = f (x) + m- ln 4,假设方程g(x) = 0在e, 2上恰有两解，求实数m的取值范函数与导数练习:f2x1. 假设函数y = f(x)的定义域是0,2，那么函数g(x) =“ x的定义域是( )A. 0,1B.0,1)C.0,1) U (1,4D.(0,1)2gx+ x+ 4, x<gx ,2.设函数g(x) = x 2(x R),f(x)=那么f(x)的值域是gxx, x

13、>g x ,( )9A. 40 U (1 ,+a )B.0,+a)99C. 一 4,+ a )D. 4 , 0 U (2 ,+ a)3. 假设方程xlg( x+2) = 1的实根在区间(k, k+1) ( k Z)上，贝U k等于( )A. 2B.1C. 2 或 1D.04. 函数f (x) = x3 + x,对任意的 m 2,2 , f(mx- 2) + f (x)<0恒成立，那么x的取值范围为.5. f (x)是R上最小正周期为 2的周期函数，且当 0W x<2时，f(x) = x3 x,那么函数y = f (x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为( )A.6B.7

14、C.8D.96. 函数f (x) = Iog2(x C. a<0 4 2x 3)，那么使f(x)为减函数的区间是)a的取值范围是(A.(3,6)B.( 1,0)C.(1,2)D.( 3, 1)7. 如果函数f (x) = ax2 + 2x 3在区间(一a, 4)上是单调递增的，那么实数1A. a> 41B.a> 41D. -< a<04, 18. 设函数 f(x) = x ln x (x>0)，那么 y = f(x)()1A. 在区间-，1 , (1, e)内均有零点e1B. 在区间e，1，(1，e)内均无零点1C. 在区间-，1内有零点，在区间(1, e)

15、内无零点e1D. 在区间e，1内无零点，在区间(1 , e)内有零点9. 函数 f(x)= . x cos x 在0，+a )内()A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点10. 设 a = log3 n b = log 3, c= log 2，贝UA. a>b>cB.a>c>bc.b>a>cD.b>c>a11. 定义 xO y= 3x- y,贝V aO (aO a)等于()A. aB.3aC.aD. 3a12/函数y= f(x)的周期为2,当x 1,1时f(x)= x 14. 函数 f(x)= - + aln x(

16、a 0, a R). 入(1)假设a= 1,求函数f(x)的极值和单调区间；,那么函数 y= f(x)的图象与函数 y =|lg x|的图象的交点共有()A.10 个B.9 个 C.8 个D.1 个213. 函数 f(x)= x假设a<0且在区间(0, e上至少存在一点xo,使得f(xo)<O成立，求实数a的取值范围 + ax2 x+ c,且 a= f'3 .(1)求a的值；求函数f(x)的单调区间；设函数g(x) = f(x) x3 ex，假设函数g(x)在x 3, 2上单调递增，求实数 c的取值范 围.不等式15. 函数 f(x)= ax3 + bx2+ ex, 其导函

17、数y = f' (x)的图象经过 点(1,0) , (2,0)，如以下图，那么以下说法中不正确的选项是_(填序号) 当x= 3时函数取得极小值；2 f(x)有两个极值点； 当x= 2时函数取得极小值； 当x= 1时函数取得极大值.(1) 恒成立问题假设不等式f(x)>A在区间假设不等式f(x)<B在区间(2) 能成立问题假设在区间D上存在实数 假设在区间D上存在实数不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题D上恒成立，那么等价于在区间 D上f(X)min>A； D上恒成立，那么等价于在区间 D上f(X)max<B.x使不等式f(X)>A成立，那么等价于在区间 D

18、上f(X)max>A； x使不等式f(X)<B成立，那么等价于在区间 D上f(x)min<B.恰成立问题假设不等式f(x)>A在区间D上恰成立，那么等价于不等式 f(x)>A的解集为D ； 假设不等式f(x)<B在区间D上恰成立，那么等价于不等式 f(x)<B的解集为D.x-yw 10,1.设变量x, y 满足 Ow x+ y< 20,那么2x+ 3y的最大值为0< yw 15,()A.20B.35C.45D.552.设 a>0,b>0.假设.3是3a与3b的等比中项，那么1 1-+-的最小值为a b()A.8B.4C.1D.；

19、13假设函数f(x) = x+(x>2)在x= a处取最小值，那么 a等于()x 2A.1 + 2B.1 + 3C.3D.4x+ 2y- 5W 0,4.设变量X,y满足约束条件x y 2w 0,那么目标函数z= 2x+ 3y+ 1的最大值为x> 0,()A.11B.10C.95.函数 f(x) |2x 1 |2x3| .(I)求不等式f (x) W6的解集;(n)假设关于x的不等式f(x)>a恒成立，求实数a的取值范围.6.函数f (x)|2x a a .(I )假设不等式f(x) 6的解集为(n )在 (I )的条件下，假设存在实数x 2 x 3，求实数a的值；n使f(n)

20、 m f ( n)成立，求实数m的取值范围.1+ . 2cos 2x-n三角函数1.函数f(x)=nsin x+ 2(1)求f(x)的定义域；3假设角a在第一象限，且COS a= 5,求f( a).n|、2. 一2<x<0,sin x+ cos x= 5,求 cos x sin x 的值.n13. 函数 f(x) = cos2 x+ 12 ,g(x) = 1 + sin 2x.(1) 设x=xo是函数y= f(x)的图象的一条对称轴，求g(xo)的值;(2) 求函数h(x)= f(x) + g(x)的单调递增区间.n4. 函数 f(x) = 2sin x(sin x+ cos x),x 0, 2，求函数 f(x)的最大值. 在锐角 ABC中，内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且3(tan A tan B)= 1 + tan A tan B,又向量 m= (sin A,cos A), n = (cos B,sin B),求|3m 2n|的取值范围.5. 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asin A= (2b c)sin B+ (2c b)sin C.(1) 求角A的大小；(2) 假设sin B+ sin C = .3,试判断 ABC的形状.6. 在 ABC 中，角 A、B、C