论均方误差计算公式本身的精确性

1、文某些结论不当，该文说多组系数假异常只出现该 极值两侧半个数護盖宽度的地方（见图9）,多组系数 法只要最后一个系数对应的"达1000伽傅左右，就可 引起明显的误差” o假如将1000分别乘以表7和 表9中土£ = 10的整数，所得值分别为176伽彳马和32 而乘表7系数的值是乘表9的系数55倍。尤 其是用表8中的土 = 10的系数时，问題更大，因为 表8中士"10的系数都大于±"0的系数仍以1000 伽傅为例，若从羊平面上延 = 10的高度，按表8中士 f =】0的系数乘以1000,AZ值吻133.5伽侣'而10C0与 不考虑余项重算的

2、系数相乘，所得的4Z值为15.9伽 佟由此可见，乘表8的系数所得的值为乘新系数值的 84倍，因此，该文由图9所得的结论是欠妥的。总之. 按手册，或该文的系数计算（指最未一项系数片只 要最后一个系数对应的AZ值越大，误差就越大，秩至 于出现假异帑。该文涉及公式（4 ）的结论是不合适的.三、关于系数«磁法解释推断下册中士 $ = 10的系数应改为表1 数值。该文表7中土 = 10时的系数应改为0.0032, 表8中士 £ = 10时的系数应改为表2数值$表9中±£ =20时的系数应改为表3值。 252 252 表1K/(A = 1)K$("2)K,

3、(A»3)K("4)100.00320.00620.00380.0108« 2±6K,(A«5)K,(A = 6)Kf(A = 7)Kf(A = 8)Kf(A = 9)K/(A = 10)100.012?0.01410.01500.01560.015860.01594表3土FKZ(A = 1)Kr(A = 2)K 心=3)K方7Kf(A = 5)K/<A = 6)K/(A=7)K/(A = 8)K,(小 9)K心= 10)200.0007960.001580.002340.003G60.003750.004390.004970.00550

4、0.005970.00634论均方误差计算公式本身的精确性 252 252 252 一、问题的提出现在衡虽观測址的精度常用均方误莖公式。大家 熟知，根据其误蹇A计算均方误差的公式为*心士於型！（ 1）按或然改正数。计算均方溟建的公式为,经过间接观测或条件观测平差而计算平差后的均方误差公式则为，"士/更£M - U式中力均为观测个数）“为未知数个数' « - u = r 显然是多余观测数，在条件观测平差中也就是条件 数，一股也称它为自由度。有的书刊中用/表示，即 f "=仇_%一般知道，如果观测次数"不大，公式（1）、（2）本身包含显著的

5、误差。同样若多余观测数即自 由度很小时，应用（3）式讣算也包含显著的误垫。这就产生均方溟菠公式本身的精度估计问題，也就是需 要计算公式本身的均方误差”切，也简称它为均方误 凳的均方误差。从实践中已经发现，应用上述计算均方误差的公 式来衡量精度，往往将精度估计Q过高了，即按上述 公式计算所得的均方溟差（本文中将称它们为计算均 方谋淮，均用加表示）把实际可能的梢度人为她抬高 了，即将删算小了，当"或f很小时.其弟卑更大。用数理统计学的术语来说，任何一种被观测的 M,它可以随机地攻值。这种被观測量可能观测到的 所有数据的全体构戌-个舉聊也称孚体）实总观测 所获得的任童”个观测数疵血构成一4

6、字样；而侮一 个具体得到的现测数据为一个子样值。五和次数”称 为样本数，”大时，称这子样为大样本，佩小时称为 小样本。所以上述所谓实际可能的精度是指冊体的标 袪差，而按”次观测而算得的均方俣差只是样本数为 «的子样标准差。标准逐的平方就超方差。子样的标 准差能否代表母体的标准差，这就是子样标准差的精 确性问题，也就是木文所讨论的本质问题。母体的标 准差用估计值"表示，也称它为理论上的估计值，它表 示被观测虽的离散程度。而子样的标准差目前按经典 方法就是由（1、<2）,或（3）式计算出来的。如果 由部分观测值计算而得的子样标准差加的数学期望 E （m）恰好等于被观测蜃（

7、毎体）的方差则说明 这种術最将度的方法是可靠的，即精度没有被系统歪 曲。但事实上，下面会证明，而且KM <0,所U提出了计算均方误差的精确性问題，同时 讨论了弥补的办法。二、按正态分布论证均方误差公式本身的精确度为了讨论方便，我们从公式（2）着手，推导按 或然改正数”计算的均方俣差加的均方俣差如。这 是平差前的衡最，它只是应用了取简单算术平均值 （也可推广到不等精度的加权平均值）而求得的或然 改正值必“,2,“n）o任槪率论中，为了更好地反映观测的离散程度， 可用比值夕来进行衡量，它也可用来分析E（,”）与。的 澄异。为此，首先推求夕的分布密度函数了（手若 被观测量X服兰正态分布，-般来

8、说，随机变址X按 正态分布N（yta）的密度函数/（”）用了式表示而由随机变最X计算而得的均方谋差为*与“的比值夕为具有参数（”-1）的K变量，它服从所谓兀分布，其分布密皮函数为”-1 （耳刃-2CH专）治。（丁躺（5） 其中厂（专）为埃列尔函数，也称伽傅函数，一般来 说，它用如下积分来定义2-00厂（力二/-I厂.0"是非负整数，它有待性厂（p+l）=p厂（p）埃列尔 函数与厂分布密切相关具有分布密度为（5式的?的数学期望为，（J倚护心;北）晋®(7)将（5 ）式代入，积分后即有*即E （夕）= =C所以E（w） =Ctf（ 9 ）为了按刃展开（8）式，以便于计算C值，可

9、引 用较梢确的斯蒂令公式，r（p）=/>c ° o 2久（1 + L + _bI 12/>288戸139I八八石莎厂I<10） 可多阅复旦犬学数学系主编概率论与数理统计°上海科学技术版1961年第二章§】（） 可参阅波兰M费史著< “糖率论及数理统计”中译本第五章§8.P138-P143分布. 252 0C20.7981.25330.8861.12840.9211.08550.9401J6460.9521.05170.9591.04280.9651.03690.9691.032100.9731.028110.9751.025120

10、.9781.023130.9791.021140.981 '1.019150.9831.017160.9841.016170.9851.015180.9851.015190.9861.014200.9861.014250.9901.010300.9921.008350.9931.007400.9941.006450.9951.005500.9951.005600.9961.004700.9971.003800.9971.003900.9981.0021000.9981.002©O11表1又右关系式 (和-0(7-0取不同的力值，算得C和C"：鴿结果列于表1 中.由表

11、1可见，当於为有限数时，始终存在着关系C<1,即EM<(J(12)只有当传TOO时，才有C=le这就证明了为什么按 一般公式，例如(1)、(2)式等计算的均方误差都把 精度估计过高，产生了不可常现象。现在计算均方误差公式本身的均方误差，即求 叫 它也是协的方差沪(尬)的平方根。按方差的定，(權)=E(m- E(w)2)(13)将此式展开，有a2(m) = £(ma - 2mE(m) + E2(m)将(9 )式代入上式，有<Jl(m) = E(m2 -2m(T + C2(r2)按数学期望的性质，有工 E(m2) 一 2C</E(m) + C9 = E(m2)-2

12、W + C2 = E(m2) - CM(14)若协按公式(2)算得，则有如下关系：n r n其中丁是观测值，即子样的均值，而$是母体的均值。由于(丁1匕+。2二ii+ *-£)2-2(丁一冷(初-£) = 2(T-小+刀5卡 ji-2( % -f)为 3-£)所以 E（m）2 = -i- V （才广铲 + 二（；-£）2n - 1厶w 1卑（了-的二斗力5-»M - 1移 一 1按方差定义，故有E(m2) = - <Jlw-1 n-1 n-1所以E(护)二沪(15)将此式代入(14)式，即得我们所要求的结果，二，-C衍5 （l-CJ，（m

13、） = mm = （Jv/ 1 - C?（16）式中C值是观测个数”的函数，已由（11）式算得其结 果载于表1中。可见当力T8时，CT1,这时协浪- 0,只有在这种情况下，应用（2）式才是最精确的但 若 tt =3,则 C =0.886,这时nim = 6f TO. 785 = 0.463（?可见此i吴差很大，这说明了当”小时，应用协=/啤进行计算是很不可滋的。上述结论同样适合于公 式（1同样，在区域重力测址中，若应用闭合环的 增量闭合差计算精度，由于环数少，显然很不椅确。过去曾经便用过这样的近似公式，即若观测结果 的悭着服从正态概率分布，则按真谋差计算的均 方误差旳m,有公式m畑=J $j（

14、17）而按或然改正数。讣算必（按公式（2）的均方i吴差 力加为tx/2Gi - 1)(18)这两公式是近似的，这可以从16）式丢弃高阶项后 看出来。只要这样验证一下，由（U）式，一于. v I " 4 力S2n22(n- 1)1 - CJ-2G-1) 代入(16)式，(19)由于母体的标准差莎仍是未知数，（18）式中用仰来近 似代替0,就更为近似了。但实用上作为一般估计，当 稍大时，也可以便用它，这从表2可以看出。表211-1J 1心7 - 1>2(n-l)10.7070.6030.75620.50C0.4630.52331 0.40EQ.3890.42240.3540.341

15、0.36350.3160.3080.323100.2240.2210.226200.1580.1570J59旳了精确一些，可作这样变换，由（9）戌知代入（16）式，得= E（m）C-= E（m）心7 （20） 用（18）、（16）、（20）三式，对不同的刃值我们获 得了计算舛,的三种系数，将计算结来敦于表2中。 它们分别是均方课差,4母体标佳差莎和计算均方 差的数学期望E（协）的比例因子。（18）式是近似式， 另外二式是否精珂，关键在于所用。或Eg 是否椎 确。实际计算时，若已知E（nO,则（20）式可用，否 则采用加代替FGn）, 即mm =C*2 - 1（21）但它比（18）式还是要緒确些

16、。从表2还可看出，当"数目较大时，上述三种因 子之间差别兪来愈小了。以上分析了便用现有计算均方误差公式的缺陷 并推算了它的精确度。那末在实用中怎样解决这个问 题呢？实际上有了上述推演，问題已很简单了，只需 应用公式（9）就可以。因为我们实际要求知道的是毋 体的方差。，但它不易知道，甚至E M 也不易求得 在某些测址中它们是可以知道的），那末只有应用枷 来代替E（”）,这时0 = C"!E（m）= mf帅'士士C"碍吕（22）应用此式计算比用（2 ）式要精确，特别当«较小时。 C"值可由表1査得。以上讨论均假定观测址是正态分布，如果存在偏

17、 态，则由下节讨论。三、非正态分布时均方课差计算公式本身的均方误差若观测结果不是正态分布的，即存在偏态，这时 误差分布曲线不呈对称状态，则上节公式就应有色议 变。设概率分布的偏态量用了表示，由槪率论可知， 计算僞态的公式为y =-3（23）式中从是分布的四阶中心矩，/即母体标准杀的四 次方，7是一个无址纲的比例系数。如果观测得到的是真溟差Ao按它求得的均方 误蓬（按公式（1）杓 同样存在谋差，“，当偏态 时，它的计算公式推导如下，因为加=则其方差为 D阳）=巴仲=勿俨（24） 25* 因为 D(A?)»B(AHE(A；»,)-E(An2-2A|(E(A?) + E?(A?)

18、 -E(A；)-2E(A?£(A?) + E(Ea(A?) 由于数学期望的数学期望仍为原数学期望，所以 £)(；) =£(A) -2E(A?)E(AJ) +E2(A?) -F(A；)-E3<AD G = lt2n)(25)按定义E(. E)T 则(；)»-，<26)代入(23)式有 n2E("】= 4E(CAn55 (n- l)a2n+匚2（护.2力+ 30 n经整理后，得D（卩2）=（力二 1）灯“ - l）（”一3r n刃儿-叫-”n2n再将（30）式的如值代入，经初等变换后化为D(W= 2G-1因为加二#并，将加和肿均视作随机

19、变量，则 按方差的特性，它们的方差之间有关系，）"仆34）4ma(28)将（26）式代入，则D(小 丁；*4wwr(29)由（22）式知代入（29）式则，"厂沪（7+3）(30)再将此式代入（33）式，即有D（”，）语（1 咛 *）代入（28）式，且用，“代替”（枷）二v/瓦了，则有D(w)=i£r(y+2)=(31)若用计算均方误差代替上式右端的久则求得偏态 时的”切为*(32容易看出，（32）式是（17）式的普遍形式，因为 正态分布的偏态最7竽于芈，将y =0代入（32）式即 为（17）式。另外，若”，根捋（2）式算得，则偏态时叫又 是另一形式，推证如下：首先

20、将（2 ）式两边平方后再取其方差，有T徑爭（33）D（w） = 2（ti）wX1 + IT） （35） 开方后，即为“五給曲乓卑（36） 同样，若将。近似地用也代替，即得实用的偏态 时”加（其中协按（2）式算得："厶爲）/“专1（3?）它也是一个普遍形式，即对正态分布来说，7 =0,（37） 式即变为（18）式形丸要指出，以上偏态量了是按（23）式定义的，若 按某些书刊上将偏态I：定义为人哼（则以上公式要作相应变换。此式中八代表偏态：t,叫 为分布的三阶中心矩。为了使（32） （37）式稍微精确些，可采用如下修改：利用公式（9）,宀去中灿），代人（31）式,由课差理论中已知公式WXQV-鸟丄及关系即为可得D("2E(W)-EUW)若近似地认为Egf 就有-E2( CAlD -(34)(39)(40)类似地相应干（33）式的有要指出，这里所用符号是对所有tG = lt2,n） 求总和。将此式右端展开，考虑到：(41)255最后我们举例阐明一下观測谋差的分布是偏