_定积分与微积分基本定理

1、定积分与微积分根本定理【考纲速读吧】1了解定积分的实际背景、根本思想，了解定积分的概念.2了解微积分根本定理的含义.【要点集结号】1个必会关键由微积分根本定理可知，求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算.2个必记关系1. 当对应的曲边梯形位于 x轴上方时定积分的取值为正，位于 x轴下方时定积分的取值为负. 2当位于x轴上方的曲边梯形与位于 x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.1 利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数当图形的边界不同时，要分 不同情况讨论.2加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程.3定积分在物理中应用的不同类型

2、的计算方法，可类比平面图形面积的计算.【课前自主导学】011 定积分的几何意义F (x)bF (x) dx的几何意义aF (x) 0表示由直线,y = 0及曲线y= F (x)所围成的曲边梯形的面积F (x) 0表示由直线,y= 0及曲线y= F (x)所围成的曲边梯形的面积的相反数F (x)在a, b上有正 有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积(1) F (x)是奇函数，且5f (x) dx= 6，贝U 5- 5F (x) dx=0 1 (ex+ 2x) dx = 4xdx=x0 23. 微积分根本定理一般地，如果函数F (x)是区间a, b上的连续函数，并且

3、F(x) = F (x),那么bF (x) dx=(2) 11 x2dx 的值是2. 定积分的性质性质 1b1dx =a性质2 bkF (x) dx = (其中k为常数)a性质 3 bF1 (x) F2 (x) dx = bF1 (x) dx bF2 (x) dxaaa性质 4 bF (x) dx = cF (x) dx + bF (x) dx (其中 ac0,贝U x1 假设1 x1，于曰1y= 2x2 1的一个原函数是x2dx=( x3 lnx)y= |x3 lnx,216214=(In2) (一一 ln1) = In2.3331 22|1 x|dx= 1 (1 x) dx+ 2 (x 1

4、) dx=( x qx2) 0 0 1另解：x 0,2时，y=|1 x|，如图，关于x= 1对称， x212|1 x|dx= 2 1 (1 x) dx= 2 ( x)= 1 .0 00【考点二】定积分几何意义的应用例2假设定积分m 2寸x2 2xdx=n，贝U m 等于(C. 1【审题视点】被积函数y= . x2 2x的原函数不易直接求出，其图象与圆有关，故可用定积分的几何意义求解.【解析】根据定积分的几何意义知，定积分 m 2 x2 2xdx的值，就是函数 y= x2 2x的图象与x轴及直线x= 2, x= m所围成图形的面积，y=x2 2x是一个半径为1的半圆，其面积等于 才，而m2寸x2

5、 2xdx = n即在区间2, m上该函数图象应为1的圆，于是得 m = 1 应选A.v44【答案】A【师说点拨】(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分.(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比拟定积分值的大小.【变式探究】用定积分的几何意义求值： Sin xdx.n n解：由于函数y= Sinx在区间2, 2上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，在x轴上方和下方面积T相等，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即Sin xdx= 0.【考点三】利用定积分面积例3【2022 山东卷】设a0,假设曲线y=破与直线x= a, y=

6、 0所围成封闭图形的面积为 a,那么a =【审题视点】由于x0 a0，所以曲线y=G与直线x= a, y= 0所围成封闭图形的面积就是函数y=.；x以x为积分变量在区间0, a上的定积分，也可以以 y为积分变量在区间0, a上的定积分._3_3_2 2 2 2 9【解析】解法一 S= a xdx=|0= 3a = a,解得a= 4.01a1解法二 S= /a0 (a x) dy= /a0 (a y2) dy=( ay y3)= a a ja .a = a,即2 ,a= 1，所以a= 9【答案】94【奇思妙想】本例变为曲线y=G，直线y= x 2及y轴所围成的图形的面积，如何求解？解：y= .x

7、与y= x 2以及y轴所围成的图形为如下图的阴影局部，联立y= x得交点坐标为(4,2),y= x 2故所求面积为S= 4 X 02 T(x 2) dx= 3X【师说点拨】利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1) 画出曲线的草图.(2) 借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限.(3) 将 曲边梯形的面积表示成假设干个定积分的和或差.(4) 计算定积分，写出答案.【变式探究】【2022山东潍坊模拟】由抛物线 尸x2 1直线x= 2, y= 0所围成的图形的面积是答案：3解析：抛物线y= x2 1与x轴的交点为(一1,0)和(1,0),如图，所求面积 S= 2 (x2 1) dx+

8、1 1 (1 x2) dx1=(1x3x) |2+ x3x3|1=3.【考点四】定积分在物理中的应用例4 2022年7月2日，美国费米国家加速器实验室宣布，接近发现帝粒子的存在，再次把人们的目光聚集在微观世界.按万有引力定律，两上质点间的吸引力F = km, k为常数，m1, m2分别为两质点的质量，r为r两质点间的距离，假设两质点起始距离为a，质点m1沿直线移动至离质点 m2的距离为b处，那么吸引力所做的功(ba)为.【审题视点】此题考查的是定积分的物理意义，物体在变力F (x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x= a移动到x= b(ab),那么变力F(x)所做的功W

9、=bF(x)dx.a【解析】W = bF (x) dx= bkmr2mdr = km1m2 - ( 1) 1|a= kmnm2 1|a= km1m2 (寸b).aa1 1【答案】km1m2 (孑b)【师说点拨】利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动 的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分根本定理计 算即得所求.【变式探究】【2022广州模拟】物体A以v = 3t2 + 1 ( m/S)的速度在一直线I上运动，物体B在直线I上，且在物体 A的正前方5 m处，同时以v = 10t ( m/S)的速度与A同向运动，出发

10、后物体 A追上物 体B所用的时间t ( S)%()A . 3B . 4C. 5答案：C解析：因为物体A在t秒内行驶的路程为t (3t2 + 1) dt,物体B在t秒内行驶的路为0t10tdt,所以 t (3t20 0+ 1 10t) dt=( t3+ t 5t2) |0 = t3 + t 5t2= 5? (t 5) (t2 + 1)= 0,即卩 t= 5.【课课精彩无限】03用定积分求平面图形面积易错点【选题热考秀】_ _ 1【2022 上海高考】函数 y= F (x)的图象是折线段 ABC，其中A (0, 0) , B (3, 5), C (1,0).函 数y= xF (x) (OWxWl的

11、图象与x轴围成的图形的面积为 .1 110x, 0纟芳，10x2, 00专【标准解答】由题意F (x)=那么xF (x)=1 110x+ 10, 2xW 1 10x2 + 10x, x1),贝U a 的1x值是A . 2B. 3C. 4D. 6答案：A解析：1 2a (2x+ x) dx=( x2 + Inx)11 (2x+ x) dx= 3+ In2 .a=a2 + In a( 12+ In1) = a2 1 + Ina.1且a1- a2 1 + lna= 3 + ln2 , a = 2, x2,6.【2022汕头模拟】设 f (x)应选A .x 0,1,2-x,A 3A. 4 答案：C解析

12、：此题画图求解,C.x561,2，D.更为清晰,如图,那么午(x)0不存在dx等于()2f (x) dx=1x2dx+001 1=3 +( 4 2 2+ 2)二、填空题7.【2022金版原创】1 (2 x) dx=詁3f (a )=1 (2ax2 a2x)0dx,1(a)(2x护)2答案：9解析：f (a)=1 (2ax2 a2x) dx=0(fax3- 1a2x2)23a a2,2当a=-时，f ( a)取最大值，最大值为3& f (x)= 3x2 + 2x+ 1,假设 1 1f (x)29.dx= 2f(a),那么 a =1答案：3或13解析：1 1f (x) dx=1 1(3x2 + 2

13、x+ 1)1dx=( x3 + x2 + x)= 4= 2f ( a),11f (a) = 3a2 + 2a+ 1 = 2, 3a2+ 2a 1 = 0, a= 1，或 a = 3.319. 【2022通化模拟】曲线y= -+ 2x+ 2次，直线x= 1, x = e和x轴所围成的区域的面积是 x答案：e2e解析：由题意得，所求面积为1 e1 ,e (一+ 2x+ 2e2x) dx = xdx+x1入1 1e (2x) dx +1e (2e2x) dx = Inxe+ x21e2x1=(1 0) + ( e2 1) + ( e2。一 e2)= e2e.三、解答题10. 【2022郑州模拟】函数

14、 f (x) = x3+ ax2+ bx+ c的图象如图，直线y= 0在原点处与函数图象相切,且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为 殳求f( x).解：由 f (0)= 0 得 c= 0, f (x)= 3x2 + 2ax+ b.由 f (0) = 0 得 b = 0, f (x)= x3 + ax2= x2 (x+ a), 由/a f (x) dx=乎得 a= 3 . f (x)= x3 3x2.11. f ( x)为二次函数，且 f ( 1 )= 2, f (0)= 0,(1 )求f (x)的解析式；1f (x) dx= 20(2)求f (x)在1,1上的最大值与最小值.解:(1)

15、设 f (x)= ax2 + bx+ c (a工0 ,贝U f (x)= 2ax + b.a b + c= 2c=由 f ( 1 )= 2, f(0)= 0，得，即b = 0b=，即c= 2 ab= 0f (x)= ax2 + 2 a.又 1f (x) dx= 1ax2+ 2 adx=【3ax3+( 2 a) x= 2 a= 2, a = 6,从而 f ( x)= 6x2 4.(2)T f (x)= 6x2 4, x 1,1.当 x= 0 时，f (x) min= 4 ；当 x= 1 时，f ( x) max= 2 .12.【2022石家庄模拟】如图，过点 A (6,4)作曲线f (x)= .-4x 8的切线I;(1) 求切线I的方程；(2) 求切线I、x轴及曲线f (x) = /4x 8所围成的封闭图形的面积S.1