电磁学计算方法的比较

1、电磁学计算方法的比较| <<>>摘 要：介绍了电磁学计算方法的研究进展和状态，对几种富有 代表性的算法做了介绍，并比较了各自的优势和不足，包括矩量法、 有限元法、时域有限差分方法以及复射线方法等。关键词：矩量法；有限元法；时域有限差分方法；复射线方法1引言1864年Maxwell在前人的理论（高斯定律、安培定律、法拉第 定律和自由磁极不存在）和实验的基础上建立了统一的电磁场理论， 并用数学模型揭示了自然界一切 宏观电磁现象所遵循的普遍规律， 这就是著名的Maxwell方程。在11种可分离变量坐标系求解Maxwel l方程组或者其退化形式，最后得到解析解。这 种方法可以得

2、到问 题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有 规则边界的简单问题。对于不规则形状或者任意形状边界则需要比较 高的数学 技巧，甚至无法求得解析解。20世纪60年代以来，随着 电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法发展起来，并得 到广泛地应用，相对于经典电磁理论 而言，数值方法受边界形状的 约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题。但各种数值计算方法 都有优缺点，一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，常需 要 将多种方法结合起来，互相取长补短，因此混和方法日益受到人们的重视。本文综述了国内外计算电磁学的发展状况，对常用的电磁计算方法做了分类。2 电磁场数值方法的

3、分类电磁学问题的数值求解方法可分为时域和频域2大类。频域技术主要有矩量法、有限差分方法等，频域技术发展得比较早，也比较成熟。时域法主要有时域差分技 术。时域法的引入是基于计算效率的 考虑，某些问题在时域中讨论起来计算量要小。例如求解目标对冲激脉 冲 的 早 期 响 应 时 ，频 域 法 必 须 在 很 大 的 带 宽 内 进 行 多 次 采 样 计 算 ， 然后做傅里叶反变换才能求得解答，计算精度受到采样点的影响。若有非线性部分随时间变化，采用时域法更加直接。另外还有一些高频方法，如GTD, UTD和射线理论。从求解 方 程的形式看 ，可 以 分 为 积 分 方 程 法( IE )和 微分方程

4、 法(DE) 。IE和DE相比，有如下特点：IE法的求解区域维数比DE法 少 一 维，误 差 限于求解区 域 的 边 界 ，故 精 度 高 ； IE 法适 合求无限 域问题，DE法此时会遇到网格截断问题；IE法产生的矩阵是满的，阶 数小，DE法所产生的是稀疏矩阵，但阶数大；IE法难以处理非均匀、 非线性和时变媒质问题，DE法可直接用于这类问题1。3 几 种 典 型 方 法 的 介 绍有限 元 方 法是在20 世纪 40 年代 被 提 出 ， 在 50年 代 用 于 飞 机 设计。后来这种方法得到发展并被非常广泛地应用于结构分析问题中。 目 前 ，作为 广 泛应用于 工程 和 数 学问 题 的

5、一 种 通 用 方法 ，有 限 元 法 已非常著名。有限元法是以变分原理为基础的一种数值计算方法。其定解问题为：应用变分原理，把所要求解的边值问题转化为相应的变分问题， 利用对区 域 D 的 剖分、插 值 ，离 散化变分 问 题为普通多元函数的极值问题，进 而 得 到 一组多元 的 代数 方程组，求 解代数方程组就可以得到所求边值问题的数值解。(1)时域有限差分方法时域有限差分(FDTD)是电磁场的一种时域计算方法。传统上电 磁场的计算主要是在频域上进行的，这些年以来，时域计算方法也越来越受到重视。他已在很多 方面显示出独特的优越性，尤其是在解 决有关非均匀介质、任意形状和复杂结构的散射体以及

6、辐射系统的电磁问题中更加突出。FDTD法直接求解依赖时间变量的麦克斯韦旋度 方程，利用 二阶精度的中心差分近似把旋度方程中的微分算符直接转换为差分形式，这样达到在一定体积内和一段时间上对连续电磁场的数据取样压 缩。电场和磁场分量在空间被交叉放置，这样保证在介质边 界处切向场分 量的连续条 件自然得到满 足 。在 笛卡 儿坐 标 系 电场和磁 场分量在网格 单元中的位 置是每一磁 场 分 量 由4个电 场 分 量包围着，反之亦然。这种电磁场的空间放置方法符合法拉第定律和安培定律的自然 几何结构。因此FDTD算法是计算机在数据存储空间中对连续的实际 电磁波的传播过程在时间进程上 进行数字模拟。而在

7、每一个网格点 上各场分量的新值均仅依赖于该点在同一时间步的值及在该点周围 邻近点其他场前半个时间步的值。这正是电磁场的感应原理。这 些 关系构成FDTD法的基本算式，通过逐个时间步对模拟区域各网格点 的计算，在执行到适当的时间步数后，即可获得所需要的结果。在上述算法中，时间增量A t和空间增量Ax, A y和A z不是 相互独立的，他们的取值必须满足一定的关系，以避免数值不稳定。 这种不稳定表现为在解显式 差分方程时随着时间步的继续计算结果 也 将 无 限 制 的 67 增 加 。 为 了 保 证 数 值 稳 定 性 必 须 满 足 数 值 稳 定 条 件 ：用差分方法对麦克斯韦方程的数值计算

8、还会在网格中引起所模 拟波模的色散，即在FDTD网格中数字波模的传播速度将随波长、在 网格中的传播方向以及离散化的 情况而改变。这种色散将导致非物 理 原 因 引 起 的 脉 冲 波 形 的 畸 变 、为 的 各 向 异 性 及 虚 拟 的 绕 射 等 ，因 此 必须考虑数值色散问题。如果在模拟空间中采用大小不同的 网格或包 含 不 同 的 介 质 区 域 ，这 时 网 格 尺 寸 与 波 长 之 比 将 是 位 置 的 函 数 ，在 不同网格或介质的交界面处将出现非物理的绕 射和 反射现 象，对此也应该进行定量的研究，以保证正确估计FDTD算法的精度。在开放问 题中电磁场将占据无限大空间，而

9、由于计算机内存总是有限的，只能模拟有限空间，因此差分网格在某处必将截 断，这就要求在网格截 断处不引起波的明显反射，使对外传播的波就像在无限大空间中传播一样。这就是在截断处设置吸收边界条件，使传播到截断处的波被边界吸 收而不产生反射，当然不可能达到完全没有反射，目前已创立 的一些吸收边界条件可达到精度上的要求，如Mur所导出的吸收边界 条件。(2 )复射线方法复射线是用于求解波场传播和散射问题的一种高频近似 方法 。他根 据 几何 光学理论和几何绕射理论的分析方法和计算公式，在解 析 延拓的复空间中求解复射线轨迹和 场的振幅和相位，从而直接得出局 部 不 均 匀 波( 凋 落 波 )的 传 播

10、 和 散 射 规 律 。复 射 线 方 法 是 包 括 复 射 线 追踪、复射线近轴近似、复射线展开以及复绕射线等处 理技术在内 的 一 系列 处 理方法的统称。其共同 特点在于：通过将射线参考点坐标延拓到复空间而建立了一个简单而统一的实空间中波束/射线束(B undleofrays)分析模型；通过费 马原理及其延拓，由基于复射线追踪 或 复射 线 近轴近似的处理技术，构造了射线光学架构下有效的鞍点场描述方法等。例如，复射 线追踪法将射线光学中使用的射线追踪 方法和场强计算公式直接地解析延拓到复空间，利用 延 拓 后 的 复 费 马原理进行复射线搜索，从而求出复射线轨迹和复射线场。 这一方法

11、的特点在于可以基于射线光学方法有效地描述空 间中 波 束 的 传 播 ，因此 ，提 供 了 一 类 分 析 波 束 传 播 的 简 便 方 法 。其 不 足 之 处 是 对 每 一 个 给 定的观察点必须进 行一次二维或四维的复射线轨迹搜索，这是一个 十分花费时间的计算机迭代过程。4 几 种 方 法 的 比 较 和 进 展将有限元法移植到电磁工程领域还是二十世纪六七十年代的事情 ，他 比 较 新 颖 。有 限 元 法 的 优 点 是 适 用 于 具 有 复 杂 边 界 形 状 或 边 界 条件、含有复杂媒质的定解问题。 这种方法的各个环节可以实现标 准 化 ，得 到 通 用 的 计 算 程 序

12、 ，而 且 有 较 高 的 计 算 精 度 。但 是 这 种 方 法 的计算程序复杂冗长，由于他是区域性解法，分割的元素数和节 点 数较多，导致需要的初始数据复杂繁多，最终得到的方程组的元数很大，这使得计算时间长，而且对计算机本身的存储也提出了要求。对电磁学中的许多问题，有 限元产生的是带状（如果适当地给节点编号的话）、稀疏阵（许多矩阵元素是0）。但是单独采用有限元法只能解决开域问题。用有限元法进行数值分析的第一步是 对目标的离 散 ，多 年 来 人 们 一 直 在 研 究 这 个 问 题 ，试 图 找 到 一 种 有 效 、方 便 的 离 散 方 法 ，但 由 于 电 磁 场 领 域 的 特

13、 殊 性 ，这 个 问 题 一 直 没 有 得 到 很 好 的 解决。问题的关 键在于一方面对复杂的结构，一般的剖分方法难于适用；另一方面，由于剖分的疏 密与最终所形 成 的 系 数 矩 阵 的 存 贮 量密切相关，因而人们采用了许多 方法来减少存 储 量 ，如 多 重 网 格 法 ，但这些方法的实现较为困难6。网格剖分与加密是有限元方法发展的瓶颈之一，采用自适应网格剖分和加 密技术相对来说可以较好地解决这一问题。自适应网格剖分根据对场量分布求解后的结果对 网格进行增加剖分密度的调整，在 网格密集 区采用高阶插值函数，以进一步提高精度，在场域分布变化剧烈区域，进行多次加密。这些年有限元方法的发

14、展日益加快，与其他理论相结合方面也有了新的进 展，并取得了相当应用范围的成 果，如自适应网格剖分、三维场建模求解、耦合问题、开域 问题、高磁性材料及具有磁滞饱和 非线性特 性介质的处理等，还包括一些尚 处于探索阶段的工作，如拟问题、人工智能和专家系统在电磁装置优化设计中的应用、边 基有 限元法等，这些都使得有限元方法的发展有了质的飞跃。矩量法将连续方程离散化为代数方程组，既适用于求解微分方 程，又 适用于求 解积 分方 程 。他 的求解过程简 单 ，求 解步骤统一，应用 起 来 比 较 方 便 。 然 而 77 他 需 要 一 定 的 数 学 技 巧 ， 如 离 散 化 的 程 度 、 基函

15、数 与权函数 的选 取，矩 阵求 解过程等。另 外 必须 指出的是，矩 量法可以达到所需要的精确度，解析部分简单，可 计算量很大，即使 用 高 速 大 容 量 计 算 机 ，计 算 任 务 也 很 繁 重 。矩 量 法 在 天 线 分 析 和 电 磁 场散射问题中有比较广泛地应用，已成功用于天线和天线阵的辐射、 散射问 题、微带和有耗结构分析、非均匀地球上的传播及人体中电 磁吸收等。FDTD 用 有 限 差 分 式 替 代 时 域 麦 克 斯 韦 旋 度 方 程 中 的 微 分 式 ， 得 到 关 于 场 分 量 的 有 限 差 分 式 ，针 对 不 同 的 研 究 对 象 ，可 在 不 同

16、的 坐 标 系中建模，因而具有这几个优 点，容易对复杂媒体建模，通过一次 时域分析计算，借助傅里叶变换可以得到整个同带范围内的频率响 应；能够实时在现场的空间分布，精确模拟各种辐射体和散射 体的 辐射特性和散射特性；计算时间短。但是FDTD分析方法由于受到计 算机存储容量的限制，其网格空间不能无限制的增加，造成FDTD方 法 不 能 适 用 于 较 大 尺 寸 ，也 不 能 适 用 于 细 薄 结 构 的 媒 质 。因 为 这 种 细 薄结构的最小尺寸比FDTD网格尺寸小很多，若用网格拟和这类细薄 结构只能减小 网格尺寸，而这必然导致计算机存储容量的加大。因 此需要将FDTD与其他技术相结合，

17、目前这种技术正蓬勃发展，如时 域积分方程/ FDTD方法，FDTD/ MOM。FDTD的应用范围也很广阔， 诸如手持机辐射、天线、不同建筑物结构室内的电磁干扰特性研究、 微带线等7 。复射线技术具有物理模型简单、数学处理方便、计算效率高等特点，在复杂目标散射特性分析等应用领域中有重要的 研 究价值。典型的处理方式是首先将入射平面波 离散化为一组波束指向平行的复源 点场，通过特定目标情形下的射线追踪、场强计算和 叠 加各射线场的贡献，可以得到特定观察位置处散射场的高频渐进解。目前已 运用复射线分析方法对飞行器天线和天线罩（雷达舱）、（加吸波涂层） 翼 身 结 合 部 和 进气 道 以 及 涂 层 的 金 属 平 板 、角 形 反 射 器 等 典 型 目 标 散 射特性进行了成功的分 析。尽管复射线技术的计算误差可以通过参 数 调整 得到 控制 ，但 其 本 身 是 一 种 高 频 近似 计 算 方 法，由 于 入射 波场的离散和只引入鞍点贡献，带来了不可避免的计算误 差。总的来说 复 射线 方法 在目 标电 磁 散 射 领 域 还 是 具 有独 特 的 优 势，尤 其 是对 复杂目标的处理。5 结 语电 磁 学 的 数 值 计 算 方 法 远 远 不 止 以 上 所 举 ，还 有 边