众数、中位数、平均数

1、众数、中位数、平均数圆的标准方程的教学设计一、教学内容解析本节课是普通高中课程标准实验教科书数学必修2第四章第一节圆的方程中的第一课时内容。圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。初中教材中对圆的内容已有了初步的介绍，本章内容是在初中学习的基础上，利用解析几何的角度去研究圆。对于解析几何的研究方法，学生在上一章学习了直线与方程时，已体验了这种研究方法。圆的方程是学生再次体验与研究解析几何的另一个载体，进一步熟悉曲线与方程的理论，理解坐标法这一数学思想方法。同时圆的方程是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的

2、意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。二、教学目标解析1、创设实际问题情景，让学生体会学习与研究圆的必要性，同时激发学生探求新知的欲望，提高学生学习的积极性。2 、通过学生对圆的标准方程的主动探究，掌握圆的标准方程及其形式特征。同时在探究过程中进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力，加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用，增强学生的数学意识。3 、会判断点与圆的位置关系，体会数形结合的思想。4 、体验数学与生活的联系，树立数学来源于生活又服务于生活的观念，培养学生用数学的眼光来审视现实生活，提高学生用数学知识解决实际问题的能力。三、教学问题诊断分析1、通过本节课的

3、学习，使得学生能够通过圆的方程解决实际问题，所以，教学的重点应放在根据条件求圆的标准方程，关键是结合问题的具体情况进行分析。2 、虽然本节课是在学习了直线与方程之后，但是学生对于利用坐标法求曲线方程的一般方法的掌握还是有困难，同时待定系数法的思想还没有很好的掌握，数形结合的思想还不是很强烈。所以对圆的标准方程的探究是本节课的难点之一，特别是写出圆的集合。在教学中，要尽量通过多媒体演示让学生直观感受圆的特征，引导学生抓住圆的本质，从而突破难点。3 、由于学生方程的意识比较薄弱，在则还没有很熟练地把方程与几何图形有机的结合在一起，数形结合的应用意识也是较弱。针对题目不会先画画图形，所以本节课的第二

4、个难点是用数形结合求圆的标准方程。在教学中，逐步培养学生的数形意识，从而突破难点。这届学生在初中开始使用计算机，使得学生的计算能力在下降，特别是解方程，很容易出错。在本节课中，又涉及到二元二次方程组的问题，这对学生来说是一个困难，所以在教学时还要注意学生解方程的能力，多让学生动手去演练，提高计算能力。四、教学支持条件分析为了更好的把生活中的圆引入到课堂中来，让学生感受圆在我们身边无处不在，并且发挥着很大的作用。让学生将精力放在对圆的标准方程的理解和突出数形思想方法上。本节课应设计下面教学条件，支持教学。以达到较好的教学效果、完成教学任务。理想的教学应该是在多媒体设备辅助条件支持下完成的。教学之

5、前，老师将搜集到的图片制作好幻灯片，同时结合几何画板处理相关的图形问题。同时在教学中，合理利用黑板，配备圆规、三角板，规范书写格式。为了更好的教学，学生最好能够分组（46人一组）有利于课堂讨论的开展。本教学设计将建立在此条件的基础上.五、教学过程设计（一）教学基本流程以生活中的实物引入，体会生活中圆到处存在，有研究的必要，同时激发兴趣创设赵州桥圆拱问题情境，激发学生探知的欲望，引入新课探索圆的标准方程:已知圆心A（a,b）,半径r通过辨析、练习，理解圆的标准方程的结构特征，加强记忆数形结合，探究点与圆的位置关系解决赵州桥圆拱问题，探求总结求圆的标准方程的方法作业点评、总结、反思反馈练习，会求圆

6、的标准方程（二）教学情景1.生活实物设计意图：利用多媒体展示生活中到处存在着圆，让学生感知学习圆的必要性。同时通过实物的展示，提高学生学习的兴趣，激发学习的欲望。同时也展示了圆的特性、圆的对称美！师生活动：教师-展示图案学生-感知、交流、体会生活中圆的存在且有用、美观！2、提出赵州桥圆拱问题，引入课题。问题：赵州桥，建于隋炀帝大业年间（595-605年），是著名匠师李春建造。是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔石拱桥。距今已1400年。这是世界造桥史的一个创造。也是中国桥梁史上的骄傲，体现了中国古代劳动人民的智慧和力量！同时赵州桥也经历多次的修缮，要修缮赵州桥的圆拱，必须要确定出圆拱所属圆的大

7、小和中心，你能确定它们吗？设计意图：介绍赵州桥的历史，增加学生的文人意识，提高学生的民族自豪感。以赵州桥为背景引出本节课要研究的内容，体现在我们的生活中到处存在着数学，数学来源于生活。同时也说明要研究圆的必要性。师生活动：教师-用电脑显示赵州桥简短画面，让学生了解中国古代劳动人民的勤劳和智慧，然后提出问题而不解答，引入课题。学生-感知赵州桥的历史，增强自豪感。同时明确问题，要研究圆拱必须先探索圆的特性、圆的方程。3、复习回顾初中学习的圆的知识与上一章研究直线与方程的方法设计意图：通过对初中所学知识的回顾，加深对所学知识的理解，同时又为学习本节课知识奠定良好的学习基础。师生活动：教师设问，学生回

8、答。设问1:什么是圆？（为了帮助学生回顾，利用多媒体展示圆的形成过程）学生回答：在一个平面内，线段CP绕它固定的一个端点C旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆设问2:圆有什么特征呢？学生思考、交流回答：(1)圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径r);(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.设问3:上一章我们是用什么方法研究直线与方程的？学生-我们用代数的方法去研究几何，用坐标来表示点，用二元一次方程来表示直线，即解析几何的研究方法。4、探究圆的标准方程。设计意图：在平面直角坐标系中，从圆的两个要素出发，借助类比的思想，探索动点的横坐标x与纵坐标y之间的关系规律。师生活动：教师

9、-设问1:在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？学生-圆心和半径设问2:如图，在直角坐标系下，设圆心A(x,y),半径是r,那么圆上的动点M(x,y)满足什么样的关系式呢？教师-指导学生独立思考，鼓励学生在学习过程中敢于提出不同的见解。MyxAOr学生-亲自体验、积极主动的探索并得出结论。教师根据学生的见解板书圆的标准方程推倒过程。设M(x,y)是圆上任意一点，则圆的集合为P=M|MA|=r由两点的距离公式得：byax22)0(两边平方得：222)0(byax教师-提出：点M在圆上，点M的坐标满足上述方程；反之，如果点M的坐标(x,y)是方程的解，那么点M(x,y)是否在圆上呢？学生-若点M的

10、坐标满足方程，以上每步可逆，这说明点M到点A的距离等于r,即点M在以A为圆心，r为半径的圆上。教师-点评：借助坐标系：把圆和方程联系起来；挖掘形成圆所包含的等量关系；等量关系数学化；等价变形化简代数方程教师(板书)：我们称是圆心为A(a,b),半径长为r的圆的方程，并把222)0(by”它叫做圆的标准方程.教师-从数学形式上引导学生去得到圆的标准方程的形式特征.学生-思考、交流、分析得出：(1)有两个变量x,y,形式都是与某个实数差的平方，是二元二次方程；(2)两个变量的系数都是1(3)方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数教师-强调已知圆心和半径可以写出圆的标准方程；知道圆的标准方程同

11、样可以求出圆心和半径。同时要求圆的标准方程只需确定a、b、r三个参量，这样就需要三个独立的条件。5、巩固练习(1)圆心为，半径长等于5的圆的方程为()3,2(AA、B、25)302(22yx25)302(22yxC、D、5)3。2(22yx5)3()2(22yx(2)圆C:的圆心坐标为,半径r=2)2(22yx(3)已知圆，判断点是否在圆上？点25)3()2(22yx)7,5(IM)1、5(2M呢？那点呢？),(000yxM设计意图：通过练习让学生更好得理解圆的标准方程的特性。练习1巩固已知圆心半径直接求圆的标准方程；练习2是体现逆向思维，已知标准方程求圆心与半径，同时这里的半径是学生易错的地

12、方；练习3是为下面探索点与圆的位置关系作铺垫。师生活动：教师-展示题目，引导学生解答，并做相应的点评。学生-独立思考、交流讨论，得出结论。同时得出判断点与圆位置关系在特殊情况下的判断，做好铺垫。教师-在练习的基础上，引导学生探索出，当圆心在原点时圆的方程-222ryx6、探索点与圆的位置关系问题：如何判断点是否在圆上？点P在圆外和圆内的条件是什么？)，00yxP222)0Thyax设计意图：通过对点与圆的位置关系的判定，提高学生对圆的标准方程的理解，同时让学生形成判定的方法与结论。师生活动：教师-提出问题，引导学生解答，同时做适当的分析，帮助学生完成探究学生-通过教师的指导，探索得到结论：设点

13、P到圆心的距离为d,圆的半径为r,则(1)点P在圆上22020)0(,rrbyaKd(2)点P在圆外22020)0(,rrbyaxd(3)点P在圆内22020)。(，r-rbycixd7、解决课前所提出的问题问题:赵州桥也经历多次的修缮，要修缮赵州桥的圆拱，必须要确定出圆拱所属圆的大小和中心。假设已知圆拱上的三个点的坐标分别是),8,2(C),3,7(B),1,5虱你能求圆拱所在的圆的标准方程吗？设计意图：体验求圆的标准方程的方法-待定系数法，培养学生的解题思路。同时，也让学生体验所学的数学知识能够解决生活实际问题，体现数学源于生活也服务于生活。另外，通过寻找问题的其他解法，探索求圆的标准方程

14、的其他方法。师生活动：教师-利用多媒体出示问题，引导学生解决，鼓励做得快学生尝试一题多解。并让学生讲述解题过程，教师板书学生-认真思考，仔细计算，做出解答，并讲述解答过程。解：设所求圆的方程是.222)()(b”ix所以由题意得：222222222)802。3。701()5(rbarbarba532rba所以圆拱所在的圆的标准方程为：25)302(22yx师生-结合解法，总结待定系数法的思想，让学生体验待定系数法就是指利用已知条件确定一个解析式或某一数学表达式中的待定参数的值，从而得到预期结果的方法。共同总结出待定系数法的解题步骤：(1)设：设圆的方程；(2)歹I：根据条件列出方程组；(3)求

15、：求出a、b、r,写出标准方程。教师-提出问题，问题还有没有其他解法？师生-学生思考、小组讨论交流。如果学生讨论没有进展，教师可作提示：联系平面几何知识，把A、B、C三点连接起来就为一个三角行，问题就转化为求三角形的外接圆，而三角形外接圆的圆心是ABC三边垂直平分线的交点。学生-在教师的启发和点拨下，学生可以利用两条直线的交点求出圆心坐标，利用两点的距离公式求出半径，从而得到圆的标准方程。教师-板书，简单写出过程，指出这是利用圆的几何性质和线段垂直平分线性质解决问题，此方法为数形结合法。8 、问题2:已知圆心为C圆经过点)，22(B)I,I(A,和且圆心在直线上，求圆心C的圆的标准方程。C01

16、:yxi设计意图：进一步巩固并熟练掌握求圆的标准方程的常用的方法师生活动：教师-提出问题学生-审题，理解题意，独立思考后交流教师-让学生板演，进行点评。本题可能的思路：(1)利用待定系数法；(2)数形结合方法(同教科书130页)等。师生-共同总结解题方法与步骤。9 、课堂练习：教科书131页，练习1、2、3、4设计意图：巩固求圆的标准方程，同时应用圆的标准方程解决具体问题，进一步理解、掌握求圆的标准方程的基本方法。师生活动：学生-认真做练习，对答案，学生点评，向老师提问。教师-下到学生中去，及时纠正学生的错误。10 、小结（1）圆心为C（a,b）,半径为r的圆的标准方程为222）。（山日.1工

17、当圆心在原点时，圆的标准方程为：222t州推导圆的标准方程的方法与步骤？（3）点与圆的位置关系？（4）如何求圆的标准方程？必须具备三个独立的条件（5）如何利用圆的标准方程解决实际问题？设计意图：通过步步设问，帮助学生自主总结本节课的知识，整体去把握所学习的内容，提高学生自己获取知识的能力以及归纳概括的能力。师生活动：学生小结并互相补充，师生共同整理完善。11 、问题延伸，课外作业（一）若P（xo,yo）在圆（x-a）2+（y-b）2=r2上时，求过P点的圆的切线方程。作业：教科书130页，习题4.1A组第2、3、4题设计意图：让学生更好的巩固本节课所学习的内容。六、教学反思本节课首先通过生活中

18、的事例及创设赵州桥问题，为学生创造一种思维情景，激发学生学习的求知欲。其次，在学生探究的过程中，通过师生、生生交流及时了解学生的学习状况，吸收教学的反馈信息，激励学生努力学习；第三,通过小结中学生的自评、互评，让内部动机和外界刺激协调作用，促进其数学素养不断提高.设计思想：在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。设计理念：设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。设计思路：本节课的设计与教材的呈现方式有所不同，教材只是教学的蓝本，教师在理解教材编写意图的基础上，应发挥主观能动作用，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学有利于认知结构与知识结构的有机结合，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程。鉴于此，本节在给出圆的标准方程的过程中，运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想，使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。为了突破难点，设计三个例题。第一、二个例