232双曲线的简单几何性质

1、双曲线的简单几何性质【课时目标】1.掌握双曲线的简单几何性质2了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3掌握直线与双曲线的位置关系.知识1 双曲线的几何性质标准方程2 27-詁1(a>0, b>0)寺-等1(a>0, b>0)图形z性 质焦占八'、八、焦距范围对称性顶点轴长实轴长一，虚轴长一离心率渐近线2直线与双曲线一般地，设直线 I: y= kx + m (m丰0)2 2双曲线 C: a 詁=1(a>0, b>0)把代入得(b2 a2k2)x2 2a2mkx a2m2 a2=0.当b2 a2k2= 0，即k =型时，直线I与双曲线的渐近线平行，直线与双曲

2、线C相交于a文档来自于网络搜索(2)当 b2 a2k2 0，即 k 工 £时，a2 、2 2 2, 2 2 2 2, 2X= ( 2a mk) 4(b a k )( a m a b ) >(?直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线相交；= 0?直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线相切； <?直线与双曲线公共点，此时称直线与双曲线相离.作业设计、选择题1. 以下曲线中离心率为"26的是()2 2 2 2a?y = ib.丁; = i文档来自于网络搜索2 2 2 2x y x yC. = ID.4 10 = 1文档来自于网络搜索2 22 .双曲线和y = 1的

3、渐近线方程是(2542A. y = igXB. y=425c - y= ±25xD - y =3. 双曲线与椭圆4x2 + y2 = 1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y= 2x，那么双曲线的方程为()文档来自于网络搜索A. 2x2-4y2= 1B. 2x2-4y2= 2C 2y2 - 4x2= 1D . 2y2 4x2= 32 24. 设双曲线 令-y2 = l(a>0, b>0)的虚轴长为2,焦距为2 3,那么双曲线的渐近线方程为a b()文档来自于网络搜索A . y =±. 2xB . y= i2x 迈 1C . y= ±xD . y = &#

4、177;x5. 直线l过点0.2, 0)且与双曲线x2-y2= 2仅有一个公共点，那么这样的直线有()文档来自于网络搜索A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条2 26. 双曲线a -寺=1 (a>0, b>0)的左、右焦点分别为 Fi、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,那么此双曲线的离心率 e的最大值为()文档来自于网络搜索4 57二、填空题7.两个正数a、A.3B5C. 2D7题号123456答案2 2b的等差中项是2 一个等比中项是6，且a>b，那么双曲线a-苗1离心率 e=.文档来自于网络搜索& 在厶ABC中，a, b, c分别是

5、/ A，/ B，/ C的对边，且 a= 10, c-b= 6,那么顶点A运动的轨迹方程是.文档来自于网络搜索2 29 .与双曲线 管-16 = 1有共同的渐近线，并且经过点(一3 , 2,3)的双曲线方程为.文档来自于网络搜索三、解答题10 .根据以下条件，求双曲线的标准方程.n3.(1)经过点 芍，3，且一条渐近线为 4x + 3y= 0;文档来自于网络搜索(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为211.设双曲线x2-牙=1上两点A、B, AB中点M(1,2)，求直线AB的方程.文档来自于 网络搜索能力提升12 .设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为 B ,如果直

6、线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()文档来自于网络搜索A. .2B. .3,3 + 1,5+ 1c_2 d.213 .设双曲线 C:亏一y2= 1 (a>0)与直线I: x+ y = 1相交于两个不同的点 A、B.文档来自a于网络搜索(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;* % (2)假设设直线【与丫轴的交点为P.且= iPB.求a* 12的值.2 21. 双曲线X?-y?= 1 (a>0, b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±,a b0)，实轴长为2a,虚轴长为2b;其上任一点 P(x, y)的横坐标均满足|x|>

7、; a.文档来自于网络 搜索2. 双曲线的离心率 e= C的取值范围是(1, +)，其中c2= a2+ b2,且b = 'e2 1，离心aa 丿率e越大，双曲线的开口越大可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围.文档来自于网络搜索2 2 2 23. 双曲线X2 y2= 1 (a>0, b>0)的渐近线方程为y = ±x，也可记为X2右=0;与双曲线a baa b2 2 22X2 y?= 1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为2 £=入(入工0).文档来自于网络搜索a ba b双曲线的简单几何性质知识梳理",2 2 C .e =

8、 2 a.2 a12，应选B.文档来自于网络搜索2. A3. C由于椭圆4x2 + y2= 1的焦点坐标为那么双曲线的焦点坐标为文档来自于网络搜索y = V2x，得 b=V2，即a2= 2b21.标准方程2 2予古=1(a>0，b>0)2 202詁一1(a>0, b>0)图形1戈性 质焦占八'、八、F1( c,0), F2(c,0)F1(0, c) , F2(0 , c)焦距丁仆2|= 2c范围x>a或 x< a, y Ry> a 或 yw a, x R对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a,0), (a,0)(0， a), (0, a)轴长实

9、轴长互，虚轴长垫离心率ce=am)渐近线y= ±x ay= x2.(1) 一点(2)两个一个没有作业设计又由=a2 + b2,得a2= 2, b2= 4，又由于焦点在 y轴上，因此双曲线的方程为2y22-4x = 1应选 C.文档来自于网络搜索.文档来自于网络搜索5. C 点(.2, 0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.来自于网络搜索6. B |PF1| |PF2|= 2a，即 3|PF2= 2a,2a所以 |PF2|= 一>c- a，即 2a> 3c-3a,即 5a>

10、; 3c,3那么詐|.137.2解析a+ b= 5, ab = 6，解得a, b的值为2或3.又a>b,a= 3, b= 2.c=T3，从而e= = 3.文档来自于网络搜索賈a 32 28.9一 和=1(x>3)解析以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，那么2而|AB|AC|= 6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为屯-网络搜索2 2x V .9- -= 1944B( 5,0),2w= 1(x>3)-文档C(5,0)，文档来自于2 2解析所求双曲线与双曲线 春-6= i有相同的渐近线，可设所求双曲线的方程为 =入(入工0)点(一3,2.3)在双曲

11、线上， 文档来自于网络搜索 A 二一(型)-=1文档来自于网络搜索9164'2 2所求双曲线的方程为x- y = 1.9441510.解(1)因直线x=4与渐近线4x+ 3y = 0的交点坐标为2 2x y916，-5，而3<|- 5|,故双曲2 2线的焦点在x轴上，设其方程为a2-b2=1，一 2= 1由a b-|丘胃2孑=3，解得广9，故所求的双曲线方程为fb2= 16.92匕=1.文档来自于网络搜索设F1、F2为双曲线的两个焦点依题意，它的焦点在x轴上.因为 PF1 JPF2，且 |OP|= 6,4. C 由题意知，2b= 2,2c= 2 3,那么b= 1, c= . 3,

12、 a = .2;双曲线的渐近线方程为y所以 2c=|FiF2|= 2|0P|= 12,所以 c= 6.n又p与两顶点连线夹角为3,所以a= |0P| ta门才=2,3,所以b2 = c2 a2= 24.文档来自于网络搜索2 2故所求的双曲线方程为 令一24= 1.11.解方法一用韦达定理解决显然直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y 2= kx 1,y=即 y= kx+ 2 k,由 <J 2x -kx+ 2 k2 y_2文档来自于网络搜索得(2 k2)x2 2k(2 k)x k2 + 4k 6= 0,当 A>0 时，设 A(X1, y1), B(x2, y2),X1+ x2k2

13、k2 ,2 k'k= 1,满足 A>0,.直线AB的方程为y= x+ 1.方法二用点差法解决设 Ag, yj, Bg y2,2x2号=1,文档来自于网络搜索两式相减得(X1 x2)(x1 + X2)= 2(y1 y2)(y1 + y2).y1 y22(x1 + X2)x1* x2 , =',文档来自于网络搜索X1 X2y1 + y22 X 1 x 2'kAB = 2 x 2 = 1 ,直线 AB 的方程为 y= x+ 1,2代入x2= 1满足少o.直线AB的方程为y= x+ 1.12.2 2y=D 设双曲线方程为 令一占=1a>0 , b>0，如下图，

14、双曲线的一条渐近线方程为 a bX,文档来自于网络搜索而kBF = 一，一一 一= 1,整理得b2= ac.文档来自于网络搜索cac'c2 a2 ac= 0，两边同除以 a2，得 e2 e 1 = 0,1 +1 _ 5x+ y= 1有两个不同的解,解得e= 广或e=(舍去)，应选D.文档来自于网络搜索13.解(1)由双曲线C与直线I相交于两个不同的点得文档来自于网络搜索消去y并整理得(1 - a2)x2+ 2a2x 2a2 = 0,1 a 0,文档来自于网络搜索I = 4a4+ 8a2 1 a2 >0,解得一72<a<Q2且±1.e> 26且 eM2.文档来自于网络搜索又.a>0 , 0<a<2且 a 丰 1.双曲线的离心率e=°0<a<rJ2，且 aM 1,双