从双线性映射谈起

1、从双线性映射谈起龙岩学院周金森梁俊平刘宏锦定义1设V、U与MB是域F的线性空间，A是VMU到W的一个映射，如果对于豆，,豆2亡V,P,P1,P2wU,任意k,lwF,有(1) Ak：1l二2，P)二k之:1,，LlA：2,(2) .士i-,k1l2)；-k-：,：1l：，2则称A是VmU到W的双线性映射；(i)若W=F则称A为VmU上的双线性函数；(ii)若W=FV=U则称A为V上的双线性函数；(iii) 若W=FV=U且A(%P)=A(p,a),则称A为V的一个对称双线性函数；记A(%口)=q(口)，称q为V上的二次函数；(iv) 若W=F=R/=UA(a,P)=A(P,a)，且A(o(,o

2、()印当且仅当s=0时A(5口)=0,则称A为正定的实对称双线性函数，或称A为V上一个实内积，A(a,P)常记为(a,P卜一、考虑V上的双线性函数与矩阵之间的一一对应关系V中取一个基%/",%,V中向量5P在此基下的坐标分别为X=(X1,X2,|l,Xn),Y=(y1,丫2，川,yn),则nnnA(C(,P)=A2Xi«i,Zyj%lidjTa11令A=a21©n1a12a22IIIan2HIa1nHIa2nIIIIIIHIannj称A是双线性函数A在此基%,4,III,%下的度量矩阵，它是由A及基唯一决定，A骐，P)=X'AY,反之,任给一个域F的一个n

3、级矩阵，可以定义V上的一个双线性函数，满足AM,%)=aij。命题1(1)V上的双线性函数A在V的不同基下的度量矩阵是合同的。(2)V上的对称双线性函数A在V的一个基下的度量矩阵是对称阵。(3) 实内积A在V的一个基下的度量矩阵是正定阵。命题2设A是特征不为2的域F的n维线性空间V上的对称双线性函数，则V中存在一个基，使得A在此基下的度量矩阵是对角阵。命题3任一对称阵都合同于对角阵。(矩阵语言)因为矩阵的合同关系是一个等价关系，下面从等价关系进一步考虑命题4(1)在复数域上，n级对称阵按合同关系分成n+1类，秩为r的代,，住10),、一表元为r,秩是完全等价不变量。<00；，一，n1n2

4、,一(2)在实数域上，n级对称阵按合同关系分成2>类,秩为r且正惯性指数为P的代表元为Erj，秩，正惯性指数，负惯性指数,符号差是等价不变量，不是完全等价不变量，但四个量中任取两个量是完全等价不变量。注1在丘维声高等代数学习指导书中给出惯性定理中唯一性的三种证在实数域上，我们考虑一个特殊的类就是正定阵命题5n级对称阵A是正定阵二-0=XRn1,X'AX0u正惯性指数=n二A合同于EU存在可逆阵P,使得A=PPukA是正定阵(k>0)uA是正定阵wA的伴随矩阵是正定阵uA的所有特征值全大于0匕A的所有顺序主子式全大于0uA的所有主子式全大于0u存在主对角线上的元素全是1的上三

5、角阵B,使得A=BDB其中D是正定的对角阵二存在主对角线上的元素全是正的上三角阵C,使得A=CC-绿0-i二A的绝对值最大的元素必在主对角线上。注2利用必要性可以很快地判断某些矩阵不是正定阵。注3A的特征多项式一一,一一k_i.n-A=b句九十b2八川+(_1)bk九一+I1十(_1)bn中的bk就是A的所有k阶主子式的和，其中b1=a11+a22+HI+ann,0=A,而且b1=兀+入2+111+九n,bn=入。2111Xn,斯(i=1,2,III,n)是A的所有特征值。二、考虑对称双线性函数与二次型(二次函数)的关系命题6设V是特征不为2的域F的一个线性空间，q是V上一个二次函数，则存在V

6、的唯一的对称双线性函数A,使得AW，u)=q(a),弋aEV。三、双线性函数空间域F的线性空间V上的所有线性函数构成的集合，定义加法、纯量乘法，可以构成域F的一个线性空间，称为V上的线性函数空间(或对偶空间)，记作V*。依此类推，我们把域F的线性空间V上的所有双线性函数构成的集合T2(V),定义加法、纯量乘法，易证T2(V)对于函数的加法、纯量乘法构成域F的一个线性空间，称T2(V)为V的双线性函数空间。由于双线性函数与它在V的一个基下的度量矩阵是一一对应关系，且保持线性运算，因此两个线性空间同构T2(V卢Mn(F),从而dimT2(V)=n2。为了构造V上的双线性函数，想法是给了V上的两个线

7、性函数g,h,令A(%P)=g(«)h(P),Vet,P=V,容易验证A(a,P)是V上的双线性函数，把它记成g®h,即(g®h)(a,P)=g(ot)h(P),Va,PVV,把g®h称为线性函数g与h的张量积。命题7V的一个基%,%,它的对偶基为fi，f2，llt,fn，则(1)fl:fl，fl=f2,ll|,fi二小2二012二f2,",f2二fn,fn二31n=fz'IIHn二3是TJV)的一个基；(2)设双线性函数A在基%,三)“，%下的度量矩阵为向设，则双线性函数A在T2(V)的一个基L二51:f2,HI,f1二52二f1f2

8、;f2,川,f2二JMfn二Un二手21n:3下的坐标为(aii,a12,|J,ain,a21,a22,|11,a2n,HI,an1,an2,|,ann)°四、考虑VmU上的所有双线性函数构成的线性空间P(V,U)命题8设V的一个基%,%,Ik册，它的对偶基为fi，f23|，fn，U的一个基Pl,PzJIl'Pm,它的对偶基为gi，g2,lll'gm,则nm个双线性函数gi®hj,i=1,2,|H，n,j=1,2,|,m是P(V,U)的一个基。命题9dimpV,U=dimVdimU五、线性空间的张量积及泛性(同调代数中一个重要性质)定义2设V、U与MB是域F

9、的线性空间，A是VmU至IW的一个双线性映射，A具有这样的性质：从VmU到域F上任意一个线性空间M的任一个双线性映射7,存在W1M的唯一的线性映射中,使得七=9A(即存在交换图)，那么W就称为V与U的一个张量积。注4定义2中的性质称为张量积的特征性质，在同调代数中常称为泛性。命题10VxUiJP(V*,U*)的双线性映射仁(u,P)6Ct®P,口WV,PWU,具有张量积的特征性质。注5命题10说明了两个线性空间的张量积存在。命题11设M是域F上的一个线性空间，询是VmU到M的双线性映射，它也具有张量积的特征性质，则有线性空间同构M三P(V,U)。注6命题11说明了两个线性空间的张量积

10、在同构的意义下是唯一的，我们用V®U表小V与U的张量积，它就是线性空间p(V,u),而且比原来的两个空间都“大”。命题12设%,4wV,p,P1,p2wV,V®V2中的元素具有如下性质：(1) (%十%)®P=%®P十%®P,a®匹+P2)=a®冏+a®P2(2) k：-二-二二kB)=k1工£F')，kF(3)设4,|1,一是V的一个基,，,lk”m是V的一个基，那么4®1,i=1,2,|,n,j=1,2,1nLm是V®V2勺一个基，因而V®V2的维数为nm,即di

11、mV®V=dimVdimV2。r(4)V®V中的元素可表示成有限和的形式，即£%®艮，%wV,RwV2，i1i=1,2,|,r,但表示法不唯注7(1)a®曰于日®"(因为双线性映射未必具有对称性)；(2) 0®P=o(。0=0,说明双线性映射不是单射；(3)表示法不唯一，说明双线性映射不是满射。命题13设V，V2,V3是域F上的有限维线性空间，则有同构映射甲1:(V®V2V3TV®M®V3),使巴(a®P)®n="®(P®7);有同构映射中2：V®MtV®V，使七(a®P)=P®a,其中aWV，pw2,7V。注8命题13说明在同构的意义下，张量积满足结合律，交换律。六、进一步推广1、由双线性映射推广到多重线性映射、多重线性函数，例如