人教版八年级数学下册平行四边形讲义第10讲中位线及矩形

1、第10讲中位线、矩形第一部分知识梳理知识点一：三角形中位线三角形的中位线的定义：连结三角形两边蚂做三角形的中位线.三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.知识点二：基本概念1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、基本性质：(1)角：矩形的四个内角都是直角；(2)边：矩形的对边平行且相等；(3)对角线：矩形的对角线相等且互相平分；(4)对称性：矩形是轴对称图形，中心对称图形，旋转对称图形；(5)面积：S=lo知识点三：矩形的判定方法(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形；(4)对角

2、线相等且互相平分的是矩形。知识点四：直角三角形中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。第二部分考点精讲精练考点1、中位线例1、如图，D,E,F分别为4ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为:例2、如图，在DABCD中，AC、BD相交于点。，点E是AB的中点，。已3cm,则AD的长是cm.例3、如图，已知四边形ABCLfr,R吩别是BGCD的点，E、吩别是AP、RP勺中点，当点PftCDk从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是()A、线段EF勺长逐渐增大C、线段EF勺长不变B、线段EF勺长逐渐减小D、线段EF勺长与点P（例1）（例2）（例3）例4、如图，四边形ABCD中，一组

3、对边AB=DC=4另一组对边AABC对角线BD与边DC互相垂直，M、N、H分别是AD、BGBD的中点，且/ABD=30求：（1）MH的长；（2）MN的长。例5、已知：如图，E为DABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC,连结AE分别交BGBD于点F、G,连结AC交BD于O,连结OF.求证：AB=2OF.举一反三：1、如图，已知4ABC的周长为1,连结4ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2019个三角形的周长为02、如图所示，在4ABC中，AC=6cm,BC=8cm1AB=10cm,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，求DEF的

4、面积.3、如图：已知D、EF分别是4ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分.4、如图所示，已知在DABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，求证：MN/BC.5、如图，已知四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是ARCDAC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上.求证：EF和GH互相平分.6、如图所示，在ABCD中，EF/AB且交BC于点E,交AD于点F,连接AE,BF?交于点1M,连接CF,DE父于点N,求证：MN/AD且MN=AD.2考点2、矩形的性质例1、若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线（）A、互相垂直B、相等G互相平分D、互相垂直且相

5、等例2、如图所示，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分/ADC交AC于E,BC于F,/BDF=15,WJ/COF=例3、如图，矩形ABiCQi的面积为4,顺次连结各边中点得到四边形A2B2C。2,再顺次连结四边形A2BCQ2四边中点得到四边形A3B3cp3,依此类推，求四边形AnBnCnDn的面积是（例2）（例3）例4、如图，已知矩形ABCD,一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N,则M+N不可能是（）A.3600B.5400C.720D.6300例5、如图，ABCD是矩形纸片，翻折/B、/D,使BC、AD恰好落在AC上。设F、H分别是B、D落在AC上的

6、两点，E、G分别是折痕CEAG与AB、CD的交点。（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm,BO3cm,求线段EF的长举一反三：1、如图，矩形ABCD中，E点在BC上，且AE平分/BAC若BE=4,AC=15,WJAEC面积为（）A、15B、30C、45D、602、矩形的两边长分别为10cm和15cm,其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（）A、6cm和9cmB、5cm和10cmC4cm和11cmD、7cm和8cm3、矩形ABCD的两对角线AC与BD相交于。点，/AOB=2ZBOC若对角线AC的长为18cm,则AD=cm。4、如图，四边形ABCD是矩形，4PBC

7、和4QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内.求证：（1）/PBA=ZPCQ=30;（2）PA=PQ考点3、矩形判定例1、已知：如图，在4ABC中，/BAC=90,DE、DF是4ABC的中位线，连接ERAD,求证：EF=AD例2、设凸四边形ABCD的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等.试判断这个四边形是什么四边形？例3、如图，在4ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.(1)试判断线段BD与CD的大小关系；(2)如果AB=AC试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；例4、如图，DABCD中

8、，AE、BF、CGDH分别是各内角的平分线，E、F、GH为它们的交点，求证：四边形EFGH的矩形。例5、如图，在RtzXABC中，/C=90,E、。是边AC,AB上的中点，BF/AC,连接EO交BE于F.(1)求证：AOEzXBOF;(2)求证：四边形BCEF是矩形.举一反三：1、在四边形ABCD中，AD/BC,/B=/C,要使四边形ABCD为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以2、已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H,求证：四边形EFGH矩形。3、如图，在矩形ABCD中，AB=20cm)BC=4cm动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，动点Q从

9、点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动.点P和点Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设动点的运动时间为ts,(1)当t=1秒时,四边形APQD的面积是多少？(2)当t为何值时，四边形APQD是矩形？4、如图，在4ABC中，AB=AC,D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形5、在DABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.(1)求证：/XBECDFA;(2)连接AC,当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.考点4:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半第4页例1、如图，BE和AD是4ABC

10、的高，F是AB的中点，则图中的三角形一定是等腰三角形的有()A2个B、3个G4个D、5个例2、如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、F分别是BCDE的中点。求证：MNXDE例3、过货!形ABCD对对角线AC的中点。作EFAC分别交AB、DC于E、F,点G为AE的中点，若/AOG=30_1一求证：OG=DC3例4、如图，四边形ABCD中，/DAB=/DCB=9。，点M、N分别是BDAC的中点。MN、AC的位置关系如何？证明你的猜想。例5、如图，已知：4ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BEDGCEG是垂足.求证：(1)G是CE的中点；(2)/B=2/BCE举一反三：1、在ABC中，

11、/ACB=90:CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有,与/A相等的角有,若/A=35,那么/ECB=2、如图，在RtAABC中，/ACB=90,点D是斜边AB的中点，DE，AC,垂足为E,若BC=4CD=2J5,贝UBE的长为()A、2.5B、3.5C、2、2D、423、如图，M是RtAABC斜边AB上的中点，D是边BC延长线上一点，/B=2/D,AB=16cm,求线段CD的长.4、如图，在RtAABC中，CD是斜边上的中线，CE是高.已知AB=10cm,DE=2.5cm(1)求：/BDC的度数；(2)求4BCD的面积.5、如图所示；过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延长线于点E

12、,F是AE的中点,连接FGFD=求证：/FDA=/FCB第三部分课堂小测1、矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是()A、对角相等B、对角线相等G对边相等D、对角线互相平分2、如图，ABC中，/C=90,D在CB上，E为AB之中点，AD、CE相交于F,且AD=DB.若/B=20,则/DFE=()A40B、50G60D、703、如图，AABC中，AB=AC=10BC=8AD平分/BAC交BC于点D,点E为AC的中点，连接DE,则ACDE的周长为()A、20B12G14D、134、在矩形ABCD中，对角线交于。点，AB=0.6,BC=0.8，那么4AOB的面积为;周长为.5、已知，矩形的一条边上

13、的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24cm,则矩形的面积为cm2。6、如图所示，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，则四边形EFGH平行四边形吗？为什么？7、如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在点。处，B。交AD于E,AD=8,AB=4,BE=5求ABED的面积。8、如图所示，A,B两点被池塘隔开，在A,B外选一点C,连接AC和BC,?并分别找出AC和BC的中点M,N,如果测得MN=20m,那么A,B两点间的距离是多少？9、如图,ADBC,AB=DC乙BDC=ZBAC=90,BC=2AD=4CM,用BC中点问：(1)求4ADE周长

14、(2) 4ADE是什么三角形砒明理由.(3)线段AC与DE有什么关系？10、如图在4ABC中，D、E分别为ARAC上的点，且BD=CEM、N分别是BE、CD的中点.过MN的直线交AB于P,交AC于Q,线段AP、AQ相等吗？为什么？第四部分提而既1、如图所示，在CABCD中,AB=2AD,/A=60,E,F分别为AB,CD的中点，EF=1cm那么对角线BD的长度是多少？你是怎样得到的？2、如图所示，在4ABC中，E为AB的中点，CD平分/ACBADLCD于点D.?1试说明：(1)DE/BC;(2)DE=1(BC-A。.23、如图，ZXABC中，/B=2/C,AD为BC边上的高，点E为BC的中点.

15、1求证：DE=AB.24、(1)如图1,四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且BE=EDP为对角线BD上一点，PF，BE于点F,PG，AD于点G.判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由.(2)如图2,当四边形ABCD变为平行四边形，其他条件不变，若/ABC=60,判断PRPG和AB的数量关系并说明理由.(3)如图3,当四边形ABCD商足/ABD=90,AB=3,BD=4,其它条件不变，判断PRPG和AB的数量关系并说明理由.第五部分课后诉1、如果矩形的一条对角线与一边的夹角为40那么两条对角线所夹锐角的度数为2、矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,AE_LBD于E,若OE：ED=1：

16、3AE=J3,MBD=.3、如图，在ABC中，/ABC=90,AB=8,BC=6若DE是4ABC的中位线，延长DE交ABC的外角/ACM的平分线于点F,则线段DF的长为()A、7B、8C、9D、104、如图，已知OP平分/AOB,/AOB=60,CP=ZCP/OA,PDOA于点D,PEIOB于点E.如果点M是OP的中点，则DM的长是()A、2B、2C3D、2-3(3) (4)5、已知AD是三角形ABC的中线，E是AD中点，F是BE的延长线与AC的交点。求证:AF=-FC26、如图，在等腰直角4ABC中，AB=BC，点E在AB上，DEAC,DE交AC于点D,M是EC的中点，求证：(1)ZXMBD

17、是等腰三角形；(2)将4DEA绕点A逆时针旋转，使点D落在AB上，如图(2)中的AMBD为等腰直角三角形”仍然成立吗？请说明理由.7、在等边4ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边4ADE(1)求/CAE的度数；(2)取AB边的中点F,连接CF、CE,试证明四边形AFCE矩形.8、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,延长OA至UN,ON=OB,再延长OC至M,使CM=AN,求证：四边形NDMB为矩形.9、如图所示，ABC中，点。是AC边上一个动点，过点O作直线MN/BC,设MN交/BCA的平分线于E,交/BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO=FO(2)当点。运

18、动到何处时，四边形AECF矩形？并证明你的结论.第10讲中位线、矩形参考答案第二部分考点精讲精练考点1、中位线例1、3例2、6例3、C例4、/BDC=9(T，VHQMN*HQ平分WMHN，NQ=QM.CfHG.MHQ=6由勾股定理：小木=”0山尺例5、举一反三:1、220164、5、6、考点2、矩形的性质例1、例2、750例3、例4、例5、举一反三:1、B2、B3、94、考点3、矩形判定例1、证明：:DE,DF是4ABC的中位线，DE/AB,DF/AC,四边形AEDF是平行四边形，又./BAC=90,平行四边形AEDF是矩形，EF=AD例2、例3、例4、例5、5、考点4:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例1、D例2、例3、例4、例5、举一反三：7、8、AB=40m9、10、第四部分提高晒1、解：连接DE.四边形ABCD是平行四边形，.AB/CD.1- 1,.DF=-CD,AE=-AB,22.DF/AE.一四边形ADFE是平行四边形.EF=AD=1cm,.AB=2AD,aAB=2cm.,.AB=2AD,.AB=2AE.AD=AE/1=/4. ./A=60,/1+/4+/A=180, ./1=/A=/4=60.ADE是等边三角形，.二DE=AE AE=BE.DE=BE./2=/3. /1=/2+/3,/1=60,./2=/3=30. ./ADB=/3