第二章向量组和向量空间

1、第二章 向量组和向量空间教学安排说明章节题目：2.1 n维向量及其线性运算； 2.2向量组的线性相关性； 2.3向量组的秩学时分配：共 6 学时。 2.1 n维向量及其线性运算2 学时 2.2 向量组的线性相关性2 学时 2.3 向量组的秩2 学时本章教学目的与要求：目的：使学生掌握向量的线性运算及线性相关性的判定，为下一章理解线性方程组解的结构打基础。要求：1、理解n 维向量的概念和运算。2、深刻理解向量的线性组合、向量组线性相关与线性无关的概念（本章的难点） 。3、深刻理解向量组的极大无关组和向量组秩的概念。会求向量组的秩和极大无关组（本章的难点）。4、掌握向量组线性相关性的判定课堂教学方

2、案课程名称：2.1 n维向量及其线性运算授课时数：2学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握向量的定义及其线性运算满足的规律，掌握向量内积、火角、正交等概念教学重点、难点：重点是向量内积、夹角、正交等概念教学内容 2.1 n维向量及其线性运算一、n维向量的概念定义1所谓一个n维向量就是由n个数组成的有序数组（ai,a2, ,an）（1）ai称为向量（1）的第i分量.通常用小写希腊字母为P,Y,来代表向量.向量通常是写成一行：*一 =（4道2,，an）.有时也可以写成一列：Tb2.+M 1为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同分量全为零的向量（

3、0,0，0）称为零向量，记为0全体n维实向量的集合记作Rn1 1 线性方程组an、+42X2 + H|+anXn =b1,J a2iXi +a22X2 +|+a2nXn = b2,IIIIIIHIIIIIIHHIIIIIIamiX +am2X2 +川 + amnXn = bm中的每一个方程都可以用一个n+1维向量（七问2,|”,七力）表示2 2、例3见教材二、向量的线性运算如果n维向量丁 u（a1，a2, ,an） ； =（“心,h）的对应分量都相等，即ai =6 （i =1,2, ,n）.就称这两个向量是相等的，记作 :二，3 .向量的加法定义2已知向量a =（40,，an） ,P =出14

4、,，bn）,向量、（ai 匕色 b2, ,an bn）称为向量二二（a1,a2, ,an） , - - （b1, b2 , ,bn）的和，记为 =I，：4 .数乘向量定义3设k为数，向量（ka1, ka2，kan）称为向量口 = （a1,a2，an）与数k的数量乘积，记为k：向量（-a1,-a2,，-an）称为向量口 =（a1，a2,，an）的负向量，记为一汽.5 .向量的减法已知向量 =（a1，a2,，an） , P =（片,，bn）,定义向量=二 -1= (a1 - bl, a2 - b2| | ,an - bi )称为向量;二(ai,a2,自)J：=(心,h)的减法，记为 =：二6 .向

5、量的转置称(ahazMhan)为向量a = a2的转置，记作口,或aT * *an /显然向量的运算满足以下运算规律交换律：.： = ：:.(2)结合律：；(：+7)=(：，口) .(3)二 0 二二.(4)二(-二)=0.(5)k(、 P) =k。：: k： ,(6)(k l)： = k,二 l 二 ,(7)k(l : ) =(kl)： ,(8)1- - - .(9)(6)(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6) (9)或由定义不难推出：0：=0,(10)(T)：- -：,(11)k0=0.(12)如果k #0 ,汽#0，那么(13)k： :0.补充例题例1 .计算 1 (2, 0,

6、-1) + (-1,-1, 2) +- (0, 1, -1);32(ii) 5 (0, 1, -1) -3 (1, 1, 2) + (1, -3, 1).3例2.证明：如果a (2, 1, 3) + b (0,1,2) + c (1, -1, 4) = (0, 0, 0), 那么 a = b = c = 0.三、向量的内积定义4 在Rn中，设向量S=(a1,a2|,| % )B；=b(b2|lh ”称)实数abi +a2b2 +| + anbn为向量cc,P的内积，记作k,P】向量的内积具有以下性质：1) ,?= ?,;2) Ika, P = k L, P ；3) 口 + Pj= b,】+P,

7、;4)卜尸】20,当且仅有a =0时fc(, a =0定义5非负实数】称为向量a的长度，记作|a|显然向量的长度满足非负性、齐次性和三角形法则。向量的长度一般是正数, 只有零向量的长度才是零。长度为1的向量叫做单位向量.如果4#0 ,向量就是个单位向量用向量a的长度去除向量a ,得到一个与a成比例的单位向量，通常称为把a单位化.两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量与P成比例就是说有一数k命题1设向量久邛e Rn,则有fo,p |a|JP|,且等号成立当且仅当两向量 对应分量成比例定义6非零向量a,F的夹角 规定为-/ , - I.arccos 02),如果其中存在一个向量是其余m-1个向

8、量的线性组合，则称向量组 ,立2,Gm线性相关定理1向量组%,口2，0fm (m2)线性相关的充分必要条件是存在不全为零的数 k1,k2,lll,km ,使kr 1 k2 2 HI * m =0如果当且仅当k1,k2,|,km=0时上式成立,则称向量组 %产2,%线性无关。定义10设向量组%p213m (m2),如果存在不全为零的数k1,k2M|,km , 使I： 1k2： 2 IM * m =0那么称向量组%户2，口m (m2)线性相关，否则称线性无关。从定义可以看出，单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组。1。2线性相关就表示%

9、=ks或者U2 = ku 1(这两个式子不一定能同时成立).在P为实数域，并且是三维时，就表示向量出与七共线.三个向量 02,5线性相关的几何意义就是它们共面.并且如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定 不能包含两个成比例的向量.不难看出，由n维单位向量鸟，运,，鼎组成的向量组是线性无关的.例 9 判断必=(2, -1,3 )02, = (4, -2,5 ),% =(2, -1,4 )是否线性相关?例 10 %，=(1,0,0=(0,1,0),%=(0,0,1 )是否线性相关?命题3若向量,%Mm的部

10、分组豆1P2,|,%(Sm)线性相关二%尸2,惘,线性相关。反之，%,%MIPm线性无关二口1,2,川Ps线性无关。证：因为%,%,八线性相关，则存在不全为零的k1,k2川,ks,使K： 1 k2： 2 川大 s=0 =则%,%,IH,Qm线性相关。命题4记a1ja = : Pj +, jkr 1 III ks： s 0： S1 HI 0： m=0+=*,( j =1,，m)arjlar 4 j J若%,%,4线性无关= B/2，/线性无关。反之，若Pj/”,0m线性 相关二%,%,用Pm线性相关。即如果向量组线性无关，那么在每一个向量上添一 个分量所得到的n+1维的向量组也线性无关.记 A=

11、342 川 % B 尸 P(iP,Pm,髭然 r(A)Er(B),因为%，出川m线性无关,知r(A)=m,因而r(B) 3m.2因为B只有m列，所以r(B) Mm.由1。和20知r(B) =m,知3凡JHPm 线性无关。定理2设向量组%P21Mm线性无关，jRllam下线性相关二P可由 %,%川lm表示，且表示法唯一。证：记 A = (%Q2, IM,am),B =3i,U2Ml4m,P),显然 r(A)Wr(B).1。因为必产2#lm线性无关，知r(A) = m2因为叫 P/MPm, P线性相关，知r(B) m+1因此r(B) = m,知，Ax = 31,%,M,Sm)x=b有解且唯一。二B

12、可由产2川,只 表示，且表示法唯一。口定理：设补充知识：j =1,2,| ,n ),则向量口可由向量组% ,口2,用,线性表示的充要条件是：以巴,二21119n为列向量的矩阵与以%P2JII,%, P为列向量的矩阵有相同的秩。定理：向量组1P2M,其中a,a2j%=:j=12 川，n,*amj则四,0(2,111,4线性相关的充要条件是：以 巴,口2,III,“为列向量的矩阵的秩小于向 量的个数n。定理：m个n维向量组成的向量组“1，%，惘，%,当nm时=四*2，Hhm线 性相关。证：记，沏=(%MI,1am),因为 nm= r(Anxm)Mnm,则% 2, 川4 m 线性 相关。具体判断一个

13、向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题向量组叫，。2,川巴线性相关匕齐次线性方程组 2l+X/2 + |+Xn%=0有非零 解。或者说齐次线性方程组X%+X2%+用+%=0只有零解=”,外川Qn线性 无关。推论 设n个向量叫=(a1j ,a2j J|,anj )( j =1,2,川,n),向量组%,%,|,%线性 相关的充要条件是：all a12 III a1na21a22川a2n-.=0+k1+Pkan1an2IIIann注：这里把叫内2”,%应理解为列向量。补充例题例 1 向量组 g =(1, -2,0,3 ), o2 =(2,5,-1,0 ), % =(3,4,1,2

14、 )是否线性相关.例2判断向量% =(1,-2,3)42 =(2,1,0),% =(1,-7,9)是否线性相关。例3证明：若向量组%,口2P3线性无关，则向量组2%+口2,口2+分3,4口3+31也 线性无关.课后作业：P61 1 , 2, 3, 4课堂教学方案课程名称：2.3向量组的秩授课时数：2学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：理解向量组的秩的概念，掌握有关定理及推论教学重点、难点：极大无关组的判定教学内容定义11:设两个向量组1,2,IH,t （1）4邛2,，Ps （2）如果向量组（1）中的每个 名都可以由向量组（2）线性表示，那么称向量组%P2,用,巴可由日1邛

15、2,，氏线性表示。如果向量组（2）中的每个向量Pi也可以 由向量组（1）线性表示，那么向量组（1）与（2）称为等价。例如：% =（1,2,3） , 口2 =（1,0,2）与向量组 A= （3,4,8）,氏=（2,2,5）, 3= （0,2,1）等价。因为% =-日2, 52=202,1；向量组的等价关系具有如下性质：1）反身性：每一个向量组都与它自身等价；2）对称性：如果向量组（1）与向量组（2）等价，那么向量组（2）也与向 量组（1）等价；3）传递性：如果向量组（1）与向量组（2）等价，而向量组（2）又与向量 组工, HIM等价，那么向量组（1）与向量？172,用。也等价。定义12 n维向量

16、组% p2,，as的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.例11 n个n维单位向量就是Rn的一个极大无关组.例 12 R3 的向量组% =(1,0,0),a 2 =(0,1,0)户3 =(1,1,0),在这里 %,5线性无关，而汽3 =口1 +32 ,所以 口 1,口 2 是一个极大线性无关组.另一方面，j,口3 ,豆2,汽3也都是向量组 1,2,3 的极大线性无

17、关组.上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组一般不是唯一的.定理3：设402Mlim与1,邑,川，团是两个向量组.如果向量组日1,久,川，凡可以经3,0f2, I,%线性表出，且Sm,那么向量组P1,P2,lll,Ps必线性相关.推论1如果向量组 白，EMI,久可以经向量组 巴,。2,用,gm线性表出，且总,以川，久线性无关，那么sm.推论2任意n +1个n维向量必线性相关推论3两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 .因此，极大线性无关组所 含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有定义13向量组%

18、产2,，色的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等 价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩.含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向 量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关 组.规定这样的向量组的秩为零.例13,矩阵1 i 3 r0 214 A =0 0 0 5e 0 0 0， 的行向量组是：1 = (1,1,3,1)2 =。2,-1,4),： 3 =(0,0,0,5),二 4 =(0,0,0,0)它的秩是3.它的列向量组是(1,0,0,0) ；2 =(1,2,0,0)=(3,一1,0,0)= (1,