第21练关于平面向量数量积运算的三类经典题型

1、11第21练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型题型分析 高考展望平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有选择题、填空题，也在 解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查体验高考1.（2015山东）已知菱形 ABCD的边长为a, /ABC=60° ,则B DC D等于（）D.2aA. 3a2 B. -3a2 C.3a2 244答案 D解析如图所示,由题意，得 BC=a, CD = a, Z BCD = 120 .BD2=B

2、C2+CD22BC CD cos 120 =a2+a2-2a ax ； j= 3a2, .BD= V3a. BD CD = |BDHCD|cos 30 = V3a2x = 2a22 22.(2015重庆)若非零向量 a,b满足|a|=U-|b|,且(a-b)±(3a+2b),则a与b的夹角为()3A. B. C.3T D.兀 424答案 A解析由(a-b)±(3a+ 2功得(a- b) (3a + 2b) = 0,即 3a2 ab-2b2= 0.又 v |a|=乎同，设a,3b= 0,即 3|a|2|a| |b| cos 0-2b2=0,-1 |b|2 -|b|2 cos

3、0- 2|b|2=0, 33 cos 0=乎.又0W g 兀,3 .(2015陕西)对任意向量a, b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a b|< |a|b|B.|ab|w |R|b|C.(a+ b)2= |a+ b|2D.(a+ b)(a- b)=a2- b2答案 B解析 对于A,由|ab|=|a|b|cos a, b|w |a|b恒成立；对于 B,当a, b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.4 .(2016 课标全国乙)设向量 a=(m, 1), b= (1, 2),且 |a+b|2= |a|2+|b|2,则 m =.答案 2解析由 |a+b|2=

4、|a |2+ |b|2,得 ab,所以 mX1+1X2=0,得 m = - 2.5 .(2016上海)在平面直角坐标系中，已知 A(1 , 0), B(0, 1), P是曲线y = 1-x2上一个动点，则BPbA的取值范围是 .答案 0, 1+平解析由题意知y="/1 x2表示以原点为圆心，半径为1的上半圆 设P(cos % sin力，氏0,兀BA=(1, 1), BP = (cos a, sin a+ 1),所以 BP BA= cos a+ sin a+ 1 =2sin( 1+1 e 0, 1+ 亚BP BA的范围为0, 1+啦.高考必会题型题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (

5、1)(2015四川)设四边形ABCD为平行四边形，岫46, |AD|=4,若点M, N满足bM= 3MC, DN=2lNC,则 AM NM 等于()A.20 B.15 C.9 D.6、. ,f1 .-一 一(2)(2015福建)已知ABAC, |AB|=；, |AC|=t,若点P是 ABC所在平面内的一点， 且AP =-AB- + 4AC,则PBpC的最大值等于()|AB| |AC|A.13 B.15 C.19 D.21答案(1)C (2)A解析 (i)AM = AB+3AD, nM = cM 谛=1AD+1AB, .1.am nM = 14AB+3aD)工(4AB 4434121 f2f21

6、22-3AD)=48(16AB -9AD ) = 48(16X 69X4 )=9,故选 C.(2)建立如图所示坐标系，则B5 0 C(0, t), AB= t, 0) AC=(0, t),京="十岑=勺，0 产4(0, t)=(1, 4),P(1, 4), PBPC=11, - 4;!(-1, t-4)AB| |AC|= 17- +4t 产 17 2、4t =13,故选 A.点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a, b的数量积a b与代数中a, b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“ ？.(2

7、)向量的数量积运算需要注意的问题：ab= 0时得不到a= 0或b= 0,根据平面向量数量积的性质有 |a|2=a2,但 |a b|< |a| |b|.变式训练 1 在 ABC 中，ADXAB, BC=2 欣 BD, |AD|= 1,则 aC aD 等于()A.2 .3 B. 3 C."23D."33答案 A解析在 ABC 中，BC=2V3 BD ,所以 AC AD = (AB+BC) AD = (AB+2* BD) AD,又因为BD = AD-AB,所以 AC AD = (1 2V3)AB+ 2V3 AD AD=(1 2檎AB AD + 2m AD AD=(i -2峋

8、AB aD + 2/ Ad2,因为 AD± AB,所以 AD，AB,所以 AD AB=0,所以 AC AD = (12姆)*0+2m* 1 = 2#,故选 A.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2 (1)设a, b为非零向量，|b|=2|a|,两组向量x 1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1 y+x2 y2+x3 丫3+ y4的所有可能取值中的最小值为 4|a|2,则 a与b的夹角为()2兀 兀 兀A.万 B.3 C.6 D.0(2)已知向量a, b满足|a|=2|b|w0,且关于x的函数f(x) = - 2x3+ 3|a|x2+6a b

9、x+5在R上单调递减，则向量a, b的夹角的取值范围是()一 叫 一 叫 f 兀-2 Tt 1A.0，6Bf 3 c© 6 F，U答案(1)B (2)D解析(1)设a与b的夹角为为由于xi, y(i=1, 2, 3, 4)均由2个a和2个b排列而成，4记S= Z (xi y),则S有以下三种情况： i=1S=2a2+2b2;S=4a b;S=|a|2+2a b+ |b|2.|b|=2|a|, 中 S=10|a|2,中 S= 81a12cos 为中 S= 5|a|2+4|a|2cos a易知最小，即 8|a|2cos 0= 4|a2,. cos 0=，兀 一 I又 0W 兀，0=-,故

10、选 B. 3(2)设向量 a, b 的夹角为 0,因为 f(x)= - 2x3 + 3|a|x2 + 6abx+5,所以 f (x) = -6x2+6|a|x+ 6ab,又函数f(x)在R上单调递减，所以f (x)<0在R上恒成立，所以A= 36|a|24X(1 21 26)x(6ab)w0,解得 a b< 4同，因为 a b= |a|b| cos。，且|a|=2|b|w0,所以 |a|b|cos 0= 2|a| cosg -1|a|2,解得cos -1,因为 长0,兀所以向量a, b的夹角9的取值范围是 拿 "故选D.点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足

11、结合律.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于。且两向量不能共线时，两向量的夹角为钝角.变式训练2若非零向量a, b满足|a|=|b|, (2a+b) b=0,则a与b的夹角为()A.30B.60 ° C.120 ° D.150答案 C解析设a与b的夹角为6,292由题意得 |a|= |b|, (2a + b) b=0,可得 2a b+ b = 2|a| |b|cos 0+b =2|a| |a|cos 9+ |a| = 0,解 1得 cos 9=-因为 o v 180 ,所以 9= 120 ,故选 C.题型三利用数量

12、积求向量的模例3 (1)已知向量a, b的夹角为45°,且|a|=1, |2a划=通，则|b| =.(2)已知直角梯形 ABCD中，AD / BC, Z ADC = 90°, AD = 2, BC = 1,点P是腰DC上的动点，则|该+3附的最小值为 .答案 (1)3姆 (2)5解析 由|2ab|= 回,贝U |2a-b|2=io,及4a2-4a b+ b2= 10,又向量a, b的夹角为45 °,且同=1,所以 4X 1-4X1 x|b|cos |b|2=10,即 |b一2/|b|6= 0,解得 |b|=3&.方法一 以点D为原点，分别以DA、DC所在直

13、线为x、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设DC = a, DP = x. D(0, 0), A(2, 0), C(0, a), B(1, a), P(0, x), PA= (2, - x), PB=(1, a-x),l-PA + 3PB=(5, 3a-4x), 99|FA+3PB| =25+(3a-4x) >25,.I京+3晶|的最小值为5.方法二 设凉= xK(0vxv 1), PC = (1-x)DC, S<=DA-DP= DA-xDC,一 一 一一 1 一PB= PC+CB = (1 x)DC+DA,2 f 5 ff，PA +3PB = DA+ (3 4x)DC,|pA+

14、3pB|2=25DA2+2X5X (3 4x)DA DC + (3 4x)2DC2 = 25+(3-4x)2DC2>25,，|京+3晶|的最小值为5.点评(1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a= (x, y),求向量a的模只需利用公式|a|= x2 + y2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：同=时.变式训练3 已知向量a, b, c满足|a|=4, |b|= 2寸2, a与b的夹角为j, (ca) (c a)= 1, 则|c a|的最

15、大值为()A./2+1 B.乎+1 C啦j 1 D.V2+ 1答案 D解析 在平面直角坐标系中，取 B(2j2, 0), A(242, 2也)，则OA=a, OB= b,设c=OC = (x, y),贝U(c-a) (c-b)=(x-2V2, y-272) (x- 2V2, y) = (x- 22)2+y(y-2J2) = - 1,即(x 2<2)2 + (y 42)2= 1 ,所以点 C(x, y)在以D(242, m)为圆心，1为半径的圆上，|c- a| = (x- 2亚 2+ (y 2啦 2,最大值为|AD|+1 =亚+1.故选D.高考题型精练1 .已知空间四边形 ABCD的每条边

16、和对角线的长都为 1,点E、F分别是AB、AD的中点,则eF dC等于()a.4A C乎 D4答案 D解析 由题四边形ABCD的边和对角线的长都为 1,点E、F分别是AB、AD的中点，则EF1 -11平行于 BD,则 EF DC = -BD DC = -x 1 X 1 X cos 120 =-.2 .（2016课标全国丙）已知向量BA= g 当），BC=偿，；），则/ ABC等于（）A.30B.45C.60D.120 °答案 A解析 |猷|= 1, |B|= 1,八 BA BC y/3cosZ ABC =f 2|BA| |BC|又 < 0 < Z ABC <180

17、, ./ ABC=30 .3 .（2015湖南）已知点A, B, C在圆x?+y2=1上运动，且ABLBC.若点P的坐标为（2, 0）,则丽十丽十命|的最大值为（）A.6 B.7 C.8 D.9答案 B解析由A, B, C在圆x2+ y2= 1上，且ABXBC, .AC为圆的直径，故玄+P&=2p6=（4, 0）,设 B（x, y）,o o-）则 x +y =1 且 xC 1 , 1, PB = （x-2, y）,所以 FA+PB+PC=（x6, y）.故|球+ 殖+ 无|= 12x+ 37, - 1 < x< 1,当x=- 1时有最大值相=7,故选B.4.已知三点A(-1

18、 , 1)、B(3, 1)、C(1 , 4),则向量BC在向量BA方向上的投影为A.D.2限13答案 A解析BC = (- 2, 3), BA= (-4, - 2),向量 靛在向量 戢方向上的投影为BC BA|BA|,故选A.-2X(4"3X(2)=乖d4(+(2155 .（2015安徽） ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a, b满足m = 2a, AC=2a+b,则下列结论正确的是（）A.|b|= 1 B.a±b C.a b= 1 D.（4a+ b）±BC答案 D解析 在 AABC 中，由壶=/m=2a+b 2a=b，得 |b|=2.又|a|= 1,所以

19、a b= |a|b|cos 120 = - 1,所以(4a+ b) BC=(4a+b) b= 4a b+|b|2= 4X(-1)+4=O,所以(4a+b),就，故选D.6 .已知i, j为互相垂直的单位向量，a=i-2j, b= i+九 且a, b的夹角为锐角，则实数 入的取值范围是()1 1A.(-8, -)B.(-, +8)2 21C.(-2, -) U (；, +°° )D.(-oo, - 2)U (-2,-)oo/答案 D解析 a, b的夹角为锐角，a b= 1 x 1 + (2) Z>0 且 1 x(2) 1 x 入wo,1/(一* -2)U(-2,-),故

20、选 D.7 .已知向量a, b,其中|a|=/3, |b|=2,且(a+b)，a,则向量a和b的夹角是 .答案6解析(a+ b)±a,(a+ b) a= a2+ a b= 3 + V5x 2cos <a, b> = 0,cos <a, b> =- 2，又 0w a, b> < u,，a和b的夹角为丫68 .(2016浙江)已知向量a, b, |a|= 1, |b|=2.若对任意单位向量 e,均有|a e|十|b eg,则a b的最大值是.答案12解析由已知可得，垂刁a e|十 |b e|> |a e+ b e|= |(a+ b) e|,由于上

21、式对任意单位向量e都成立.引a+b|成立. -6>(a+b)2=a2+b2+2a b= 12 + 22+2a b.1即 6>5+2ab,a b<9 .如图，在 ABC 中，点 O 为 BC 的中点，若 AB=1, AC=3,aB, AC> = 60°,则 |OA|答案皆解析因为AB, AC= 60: f Y13所以 AB AC=|AB| |AC|cos 60 =1X 3x5 = 2，一 1 一 一又 AO = 2(AB+AC),所以 ao2=4(aB+ac)2=4(ab2+ 2 AB aC+AC2),即aO2 = 4(1 + 3+9)=,所以 |OA|=g3.

22、10 .已知点 O 是锐角 ABC 的外心，AB=8, AC=12, A = f,若aO=xAB +yAo,则 6x+ 9y 3答案 5解析 如图，设点O在AB, AC上的射影分别是点 D, E,它们分别为AB, AC的中点，连,、 .一一 _7f 7 f7f 7 f.、接 OD, OE.由数量积的几何意义，可得 AB AO= |AB| |AD|=32, AC AO = |AC| |AE |= 72,依题意有 AB aO = xAB2 + yAC AB= 64x+ 48y =32,即 4x+ 3y =2, aC aO=xAB aC+ yAo2=48x+ 144y=72,即 2x+6y = 3,将两式相加可得 6x+ 9y= 5.d= (8, 6),且 b/ d, (4a+d)±c.11 .设 a=(-1, 1), b= (x, 3), c=(5, y), (1)求b和c;(2)求c在a方向上的投影；求化和E使c=加