平面向量基本定理及坐标表示

1、.平面向量根本定理及坐标表示1.平面向量根本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法假设向量的起点是坐标原点，那么终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么(x2x1，y2y1)，|.3.平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1

2、)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“或“×)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(×)(2)在ABC中，向量，的夹角为ABC.(×)(3)假设a，b不共线，且1a1b2a2b，那么12，12.()(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.()(5)假设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么ab的充要条件可表示成.(×)(6)向量a(1sin ，1)，b(，1sin )，假设ab，那么等于45°.(×)2.点A(6,2)

3、，B(1,14)，那么与共线的单位向量为_.答案(，)或(，)解析因为点A(6,2)，B(1,14)，所以(5,12)，|13，与共线的单位向量为±±(5,12)±(，).3.A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|2，且AOC，设 (R)，那么的值为_.答案解析过C作CEx轴于点E(图略).由AOC，知OECE2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.4.在ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，那么向量的坐标为_.答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5).5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，那么_.答

4、案解析，()，.题型一平面向量根本定理的应用例1在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又t，试求t的值.思维启迪根据题意可选择，为一组基底，将，线性表示出来，通过t键立关于t的方程组，从而求出t的值.解，32，即22，2，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如下图.A，M，Q三点共线，设x(1x)(x1)，而，(1).又，由t可得，(1)t()，解得t.思维升华平面向量根本定理说明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的“唯一性可建立方程组求解.如图，在ABC中，P是BN上的一点，假设m，那么

5、实数m的值为_.答案解析设|y，|x，那么，×y×x得，令，得yx，代入得m.题型二平面向量的坐标运算例2A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(1)求23；(2)设3，2，求及M、N点的坐标.思维启迪(1)直接计算、的坐标，然后运算；(2)根据向量的坐标相等列方程求点M，N的坐标.解(1)A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(21,32)(3,5)，(22,31)(4,2)，(32,21)(1,1)，23(3,5)2(4,2)3(1,1)(383,543)(14,6).(2)3，2，2323，由A、B、C、D点坐标可得(3,2)(1，

6、2)(2,4).2(1,1)3(2,4)(4,10).设M(xM，yM)，N(xN，yN).又3，3()，(xM，yM)(3,2)3(1，2)(3,2)(6，12).xM3，yM10，M(3，10).又2，即2，(xN，yN)(3,2)2(1,1)，xN1，yN0，N(1,0).思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法那么进展.假设有向线段两端点的坐标，那么应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法那么.A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量的坐标

7、.解由得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42).(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20).M(0,20).又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2).(9，18).题型三向量共线的坐标表示例3(1)梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，那么点D的坐标为_.(2)向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，假设(ac)b，那么k_.思维启迪(1)根据向量共线列式求相关点的

8、坐标；(2)根据向量共线求参数.答案(1)(2,4)(2)5解析(1)在梯形ABCD中，DC2AB，2.设点D的坐标为(x，y)，那么(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得，故点D的坐标为(2,4).(2)依题意得ac(3,1)(k,7)(3k，6)，又(ac)b，故，k5.思维升华(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：假设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么ab的充要条件是x1y2x2y10；假设ab(a0)，那么ba.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的

9、坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(1)向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4).假设为实数，(ab)c，那么_.(2)向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，假设点A、B、C能构成三角形，那么实数m满足的条件是_.答案(1)(2)m解析(1)a(1,2)，b(1,0)，ab(1,2)(1,0)(1，2)，由于(ab)c，且c(3,4)，4(1)60，解得.(2)因为(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3,1)，(m1，m).由于点A、B、C能构成三角形，所以与不共线，而当与共线时，有，解得m，故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是m.方法与技巧1.平面

10、向量根本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法那么，将向量进展分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法那么是运算的关键.2.平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件假设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么ab的充要条件是ab，这与x1y2x2y10在本质上是没有差异的，只是形式上不同.(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进展判定.失误与防X1.要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向一样、相反两种情况.2.假设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么ab的充要条件不能表

11、示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.一、填空题1.(2021·XX改编)假设向量(2,3)，(4,7)，那么_.答案(2，4)解析由于(2,3)，(4,7)，所以(2,3)(4，7)(2，4).2.在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，假设(4,3)，(1,5)，那么_.答案(6,21)解析33(2)63(6,30)(12,9)(6,21).3.假设三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab0)共线，那么的值为_.答案解析(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.4.如图，在OAB中，P为线

12、段AB上的一点，xy，且2，那么x_，y_.答案解析由题意知，又2，所以()，所以x，y.5.A(3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30°，那么实数的值为_.答案1解析由题意知(3,0)，(0, )，那么(3， )，由AOC30°知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，tan 150°，即，1.6.向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，那么实数x的值为_.答案解析因为a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)

13、，又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.7.(2021·)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.假设12(1，2为实数)，那么12的值为_.答案解析如图，()，那么1，2，12.8.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，那么角C_.答案60°解析因为pq，那么(ac)(ca)b(ba)0，所以a2b2c2ab，结合余弦定理知，cos C，又0°<C<180°，C60°.二、解答题9.A(1,1)、B(3，1)、C(a，b).(

14、1)假设A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)假设2，求点C的坐标.解(1)由得(2，2)，(a1，b1).A、B、C三点共线，2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)，解得，点C的坐标为(5，3).10.如图，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线.(1)设，将用，表示；(2)设x，y，证明：是定值.(1)解()(1).(2)证明一方面，由(1)，得(1)(1)xy；另一方面，G是OAB的重心，×().而，不共线，由，得解得3(定值).备用题1.设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，那么a的

15、坐标为_.答案(4，2)解析a与b方向相反，可设ab(<0)，a(2,1)(2，).由|a|2，解得2，故a(4，2).2.设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，假设A、B、C三点共线，那么的最小值是_.答案8解析据得，又(a1,1)，(b1,2)，2(a1)(b1)0，2ab1，442 8，当且仅当，即a，b时取等号，的最小值是8.3.ABC中，点D在BC边上，且2，rs，那么rs的值是_.答案0解析，.又rs，r，s，rs0.4.A(7,1)、B(1,4)，直线yax与线段AB交于C，且2，那么实数a_.答案2解析设C(x，y)，那么(x7，

16、y1)，(1x,4y)，2，解得.C(3,3).又C在直线yax上，3a·3，a2.5.设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设 (R)， (R)，且2，那么称A3，A4调和分割A1，A2.点C(c,0)，D(d,0)(c，dR)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，那么下面说法正确的选项是_.(填序号)C可能是线段AB的中点；D可能是线段AB的中点；C，D可能同时在线段AB上；C，D不可能同时在线段AB的延长线上.答案解析依题意，假设C，D调和分割点A，B，那么有，且2.假设C是线段AB的中点，那么有，此时.又2，所以0，不可能成立.因此不对，同理不对.当C，D同时在线段AB上时，由，知0<<1,0<<1，此时>2，与条件2矛盾，因此不对.假设C，D同时在线段AB的延长线上，那么时，>1，时，>1，此时<2，与2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上.6.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如下图，点C在以O为圆心的圆弧上运动.假设xy，其中x，yR，求xy的最大值.解以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图，那么A(1,0)，B(，)，设AOC(0，)，那么C(cos ，sin )，由xy，得，所以xcos sin ，ysin ，所