上海中考数学压轴题专题复习——圆与相似的综合

1、上海中考数学压轴题专题复习一一圆与相似的综合一、相似1,已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a>0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴正半轴相交于点C,过点A作AD，x轴，垂足为D.味F(1)若/AOB=60,AB/x轴，AB=2,求a的值；(2)若/AOB=90，点A的横坐标为-4,AC=4BC求点B的坐标;(3)延长AD、BO相交于点E,求证：DE=CO，OA=OB, /AOB=60； .AOB是等边三角形， .AB=2,AB±OC, .AC=BC=1,/BOC=30,°jl.OC=IG,.A(-1,0),把A(-1,N3)代入抛物线y=ax2(a&

2、gt;0)中得：a=里;(2)解：如图2,过B作BEXx轴于E,过A作AGBE,交BE延长线于点G,交y轴于F,.CF/BG,.笈布,.AC=4BC,Af=4,.AF=4FG,.A的横坐标为B的横坐标为.A(-4,16a)/AOB=90；-4,1,B(1,a), /AOD+/BOE=90； /AOD+ZDAO=90；/BOE=/DAO, /ADO=ZOEB=90； .ADOAOEB,由4/%16a2=4,1a=±-,.a>0,B(1,工)；(3)解：如图3,设AC=nBC由(2)同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍,则设B(m,amCO=*""=am2n,

3、.DE=CQ【解析】【分析】(1)抛物线y=ax2关于y轴对称，根据AB/x轴，得出A与B是对称点，可知AC=BC=1由/AOB=60,可证得4AOB是等边三角形，利用解直角三角形求出OC的长，就可得出点A的坐标，利用待定系数法就可求出a的值。(2)过B作BEXx轴于E,过A作AG±BE,交BE延长线于点G,交y轴于F,根据平行线分线段成比例证出AF=4FG根据点A的横坐标为-4,求出点B的横坐标为1,则A(-16a),B(1,a),再根据已知证明/BOE=/DAO,ZADO=ZOEB,就可证明ADOsoeb,得出对应边成比例，建立关于a的方程求解，再根据点B在第一象限，),则A-m

4、n,am2n2),1 .AD=am2n2,过B作BHx轴于F,2 .DE/BF,.,.BOFAEOD,OBOFBbOEODDE,?OB也瓯I.宛ntnDE,/1=一麻口，DE=am2n,OB1BE7*11,?1.OC/AE,.,.BCOABAE,确定点B的坐标即可。(3)根据(2)可知A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B(m,am2),则A(-mn,am2n2),得出AD的长，再证明BOQEOD,BC8BAE,得对应边成比例，证得CO=am2n,就可证得DE=CO2.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,对角线AC,BD交于点0.点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm

5、/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长，交BC于点E,过点Q作QF/AC,交BD于点F.设运动时间为t(s)(0vtv6),解答下列问题：atpnBEC(1)当t为何值时，AOP是等腰三角形？(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使S五边形S五边形oecqeSaacd=9:16?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使OD平分/COP?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：二

6、.在矩形ABCD中，Ab=6cm,BC=8cm,.AC=10,当AP=PO=t,如图1,过P作PMXAO,.AM=AO=-,/PMA=ZADC=90；/PAM=ZCAD,.APMAADC,.AP=t=当AP=AO=t=5,25当t为*或5时，4AOP是等腰三角形(2)解：作EHLAC于H,QMLAC于M,DNLAC于N,交QF于G,Az±_£J圉2E在APO与ACEO中， /PAO=ZECOAO=OC,/AOP=/COE.AOPACOE, .CE=AP=t .CEHAABC,囤.区24 .DN=4r=51.QM/DN,.CQMACDN,.QM=S,2424-4t4dDG=$

7、5=亍.FQ/AC,.DFQADOC,；3I524-4tPX5X-f+-6-/+5)r-S五边形OECQf=SOEC+S四边形OCQf=匕门,口.S与t的函数关系式为(3)解：存在，/，3-tr+-t寺12GjfI.Saacd=2X6X8=24S五边形OECQFSACD=(舍去)，):24=9:16,解得t=2,t=0,(不合题意,gt=I;时，S五边形S五边形oecqeSaacd=9:16(4)解：如图3,过D作DMAC于M,DNAC于N,图3/POD=/COD,24.DM=DN=5,L/.ON=OM=、加？一威=,.OP?DM=3PD,55T.OP=b,185'rPM=,.时二，重

8、：凶,门1852242(8-t)-(-,t)*)，甘5,解得：t1环合题意，舍去)，t2.88当t=2.88时，OD平分/COP.【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可得：AB=CD=6BC=AD=8,所以AC=10;而P、Q两点分别从A点和D点同时出发且以相同的速度为1cm/s运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，所以点P不可能运动到点D;所以4AOP是等腰三角形分两种情况讨论：当AP=PO=t时，过P作PMLAO,易证CQMsCDN,可得比例式即可求解；当AP=AO=t=5时，4AOP是等腰三角形；(2)作EHI±AC于H,QMAC于M,DNAC于N,交QF于G,可将五边

9、形转化成一个三角形和一个直角梯形，则五边形OECQF的面积S=三角形OCE的面积+直角梯形OCQF的面积；1(3)因为三角形ACD的面积=_AD*CD=24,再将(2)中的结论代入已知条件S五边形S五边形OECQFSacc=9:16中，可得关于t的方程，若有解且符合题意，则存在，反之，不存在；(4)假设存在。由题意，过D作DM，AC于M,DNAC于N,根据角平分线的性质可得/7DM=DN,由面积法可得；三角形ODP的面积=-OP*DM=：PD上CD=3PD,所以可得OP?DM=3PD,则用含t的代数式可将OP和PM表示出来，在直角三角形PDM中，用勾股定理可得关于t的方程，解这个方程即可求解。

10、3.如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,/ABC=/DEF=90°,/EDF=30°【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Qaa(1)【探究一】在旋转过程中，CE1-1如图2,当EA时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.CE=2 如图3,当EA时eP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.CEffi 根据你对(1)、(2)的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为，其中皿的取值范围是(直接写出结论，不必证明)CE-2(2)【探究二】若好且AC

11、=30cm,连续PQ,设EPQ的面积为S(cm2),在旋转过程中：S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由随着S取不同的值，对应4EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取彳1范围.CE=【答案】(1)解：当EA时，PE=QE即E为AC中点，理由如下：连接BE,3 ABC是等腰直角三角形，BE=CE/PBE=ZC=45；又/PEB吆BEQ=90,/CEQ吆BEQ=90,/PEB=/CEQ,在PEB和4QEC中，ZPEB=BE=CE/晦«,4 .PEBAQEC(ASA),5 .PE=QE.;EP:EQ=EA:EC=1：2理由如下：作EMLAB,EN

12、7;BC,/EMP=ZENQ=90；又/PEN+ZMEP=ZPEN+/NEQ=90,/MEP=ZNEQ,6 .MEPANEQ,7 .EP:EQ=ME:NE,又/EMA=/ENC=90,/A=/C,8 .MEAANEC,9 .ME:NE=EA:ECCE_=2EA10 .EP:EQ=EA:EC=1:2.;EP：EQ=1:m；0Vme2+.(2)解：存在.由【探究一】中(2)知当M时，EP:EQ=EAEC=1:2;/设EQ=x,则EP=-x,.AB=BC=15羽,CE -EA,AC=30,.AE=10,CE=20在等腰RtCNE中， .NE=10当x=10U，：时，Smin=50（cm2）；当EQ=

13、EF时，S取得最大， AC=DE=30,/DEF=90,°/EDF=30,°在RtDEF中，身1. tan30=°,EF=30X'=10,此时4EPQ面积最大，.Smax=75（cm2）；由（1）知CN=NE=5-,BC=15k;-,.BN=10五,在RtBNE中，BE=5限, 当x=BE=5寸质时，S=62.5cm2, 当50<S<625这样的三角形有2个；当S=50或62.5<SW75寸，这样的三角形有1个.【解析】【解答】（1）作EM,AB,ENXBC, /B=/PEQ=90,° /EPB吆EQB=180,°又/

14、EPB吆EPM=180,/EQB=ZEPM, .MEPANEQ, .EP:EQ=ME:NE,又/EMA=/ENC=90,/A=/C, .MEAANEC, .ME:NE=EA:ECCE, .EP:EQ=EA:EC=1：mEP与EQ满足的数量关系式为EP:EQ=1:m,，0<mw2皿（当m>2+同时，EF与BC不会相交）.【分析】【探究一】根据已知条件得E为AC中点，连接BE,根据等腰直角三角形的性质可BE=CE/PBE土C=45,由同角的余角相等得/PEB=/CEQ,由全等三角形的判定ASA可得PEg4QEC,再由全等三角形的性质得PE=QE.作EMAB,EN±BC,由相似

15、三角形的判定分别证MEPsNEQ,MEAsNEC,再由相似三角形的性质得EP:EQ=ME:NE=EA:EC从而求得答案.作EMAB,EN±BC,由相似三角形的判定分别证MEPsNEQ,MEAsNEC,再由相似三角形的性质得EP:EQ=ME:NE=EA:EC从而求得答案.I【探究二】设EQ=x,根据【探究一】(2)中的结论可知则EP=jx,根据三角形面积公式得出S的函数关系式，再根据当EQ,BC时，EQ与EN重合时，面积取最小；当EQ=EF时，S取得最大；代入数值计算即可得出答案.根据(1)中数据求得当EQ与BE重合时，4EPQ的面积，再来分情况讨论即可.135y=a(x-)2B(-2

16、)4.已知顶点为M抛物线-经过点/，点/.(1)求抛物线的解析式；(2)如图1,直线AB与x轴相交于点M,y轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在直线AB上有一点P,若/OPM=/MAF,求APOE的面积；图1(3)如图2,点Q是折线A-B-C上一点，过点Q作QN/y轴，过点E作EN/x轴，直线QN与直线EN相交于点N,连接QE,将QEN沿QE翻折得到4QEN1,若点Ni落在x轴上，请直接写出Q点的坐标.E(0,-1)，F(0,-)，M(-,0)，解得：a=1,(2)解：设直线AB解析式为：y=kx+b,代入点A、B的坐标得:直线AB的解析式为：y=-2x-1,/OPM=ZMAF,当OP/A

17、F时，AOPEAFAE3【答案】(1)解：把点/代入.OE=1,FE=&tt,-2t-1)抛物线的解析式为:解得:.OP=设点P.OP=化简得阈FA=(15t+2)(3t+2)=0,i1二1解得"J,SaopE=-OE/,2121当t=-/3时，Saope=EX1Y=15,综上，APOE的面积为心或J.(3)Q(-，泛).【解析】【解答】(3)解：由(2)知直线AB的解析式为：y=-2x-1,E(0,-1),设Q(m,-2m-1)N(n,0),1. N(m,-1)QEN沿QE翻折得到QEN.NNi中点坐标为(？，2),EN=ENi,.NNi中点一定在直线AB上,Ni(-2-m

18、,0),.EN2=ENi2,1m2=(-工-m)2+1,解得：m=-,.Q(，【分析】(1)用待定系数法将点B点坐标代入二次函数解析式即可得出b的二兀一次方程(2)设直线AB解析式为：y=kx+b,代入点A、B的坐标得一个关于k和组，解之即可得直线AB解析式，根据题意得E(0,-1),F(0,-J)据相似三角形的判定和性质得OP=JFA=1一'，设点P(t,-2t-1),根据两点间的距离公式即可求得t值，再由三角形面积公式POE的面积.(3)由(2)知直线AB的解析式为：y=-2x-1,E(0,-1),设Q(m,-2m-1),Ni(n,卜一刃0),从而得N(m,-1),根据翻折的性质知

19、NNi中点坐标为(二，2)且在直处件"-日-日"3线AB上，将此中点坐标代入直线AB斛析式可得n=-=-m,即Ni(-m,0),再根据翻折的性质和两点间的距离公式得m2=(-1-m)2+1,解之即可得Q点坐标.5.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点P是边AB上的一动点，连结DP(1)若将4DAP沿DP折叠，点A落在矩形的对角线上点A'处，试求AP的长；(2)点P运动到某一时刻，过点P作直线PE交BC于点E,将DAP与PBE分另I沿DP与PE折叠，点A与点B分别落在点A,B'处，若P,A',B'三点恰好在同一直线上，且AR'

20、2,试求此时AP的长；(3)当点P运动到边AB的中点处时，过点P作直线PG交BC于点G,将4DAP与4PBG分别沿DP与PG折叠，点A与点B重合于点F处，连结CF,请求出CF的长.【答案】(1)解：当点A落在对角线BD上时，设AP=PA'=x,Si在RtADB中，AB=4,AD=3,.BD=、声*/=5,.AB=DA'=3,BA=2,3在RtBPA中，(4-x)2=x2+22,解得x=一iJ.AP=.当点A落在对角线AC上时,由翻折性质可知：PD±AC,则有DA'ABC,|ADABAD*BC1yM3也二.A=B(,AP=/1'=/=，.AP的长为泛或&

21、#39;J(2)解：如图3中，设AP=x,则PB=4-x,图3根据折叠的性质可知：PA=PA'=x,PB=PB=4-'A=B2,.4xx=2,x=1,PA=1;如图4中，x,四4x,设AP=x,贝UPB=4-x,根据折叠的性质可知：PA=PA'=x,PB=PB=4-A'君2,.x-(4x)=2,.x=3,PA=3;综上所述，PA的长为1或3（3）解:如图5中，作FHI±CD由H.由翻折的性质可知；AD=DF=3.BG=BF,G、F、D共线，设BG=FG=x,在RtAGCD中，（x+3）2=42+（3-x）2,解得x=J,DG=DF+FG=3,CG=BC

22、-BG=,FH36361'J,CH=413=/.FH/CG,.（石15.FH=DH=I152*fJ在RtCFH中，CF=J1313【解析】【分析】（1）分两种情形：当点A落在对角线BD上时，设AP=PA=x构建方程即可解决问题；当点A落在对角线AC上时，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；（3）如图5中，作FHI±CD由H.想办法求出FH、CH即可解决问题6.如图1,在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,点B,与y轴交于点C,过点C作CD±y轴交抛物线于点D,过点B作B已x轴，交DC延

23、长线于点E,连接BD,交y轴于点F,直线BD的解析式为y=-x+2.（1）写出点E的坐标；抛物线的解析式.（2）如图2,点P在线段EB上从点E向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时，点Q在线段BD上从点B向点D以个单位长度/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，当t为何值时，4PQB为直角三角形?(3)如图3,过点B的直线BG交抛物线于点G,且tan/ABG=|j,点M为直线BG上方抛物线上一点，过点M作MH±BG,垂足为H,若HF=MF,请直接写出满足条件的点M的坐标.【答案】(1)解：将点D(-3,5)点B(2,0)代入y=ax2+bx+5y=-Jx2-x+5

24、I3b=解得2，抛物线解析式为:(2)解：由已知/QBE=45,PE=t,PB=5-t,QB=7二t当/QPB=90时，4PaB为直角三角形./QBE=45°.QB=.PB%-t=-(5-t)J解得t=上当/PQB=90时，APQB为直角三角形.BPQsBDEBQ?BD=BP?BE5(5-t)=t?5里5一3一一时，APQB为直角三角形(3)点M坐标为(-4,3)或(0,5).【解析】【解答】(3)由已知tan/ABG=,且直线GB过B点/则直线GB解析式为：y=-x-1延长MF交直线BG于点K佗1.HF=MF/FMH=ZFHM.MHBG时/FMH+ZMKH=90°/FHK

25、+ZFHM=90°/FKH=ZFHKHF=KF，F为MK中点口s设点M坐标为（x,-x2-上x+5）,.F（0,2），点K坐标为（-x,一x2+一x-1）把K点坐标代入y=?x-1解得xi=0,x2=-4,把x=0代入y=-x2,x+5,解得y=5,把x=-4代入y=-x2-x+5解得y=3则点M坐标为（-4,3）或（0,5）【分析】（1）由待定系数法求点坐标及函数关系式；（2）根据题意，4DEB为等腰直角三角形，通过分类讨论/PQB=90或/QPB=90的情况求出满足条件t值；（3）延长MF交GB于K,由/MHK=90,HF=MF可推得HF=FK即F为MK中点，设出M坐标，利用中点

26、坐标性质，表示K点坐标，代入GB解析式，可求得点M坐标.7.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=5cm,BC=6cm,点E.F.G分别从A.B.C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1.5cm/s,当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动.在运动过程中，4EBF关于直线EF的对称图形是AEB'设点E.F.G运动的时间为t（单位：s）.(1)当t等于多少s时，四边形EBFB为正方形;(2)若以点E、BF为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似，求(3)是否存在实数t,使得点B&

27、#39;与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在,t的值；请说明理由.【答案】(1)解：若四边形EBFB为正方形，贝UBE=BF,BE=5-t,BF=3t,即：5t=3t,解得t=1.25;故答案为：1.25(2)解：分两种情况，讨论如下：若EBM"CG所毋5-/JZ|则有元一花,即6子一L5t,解得：t=1.4;若EBFGCF,阳势5-/贵则有花一元，即上5,一6击,解得：t=-7-F而(不合题意，舍去)或t=-7+IV花.当t=1.4s或t=(-7+V应)s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,点的三角形相似.C,G为顶(3)解：假设存在实数t,使得点B'与点O重合.

28、如图，过点。作OMLBC于点M,则在RtOFM中，OF=BF=3t,FM=二BC-BF=3-3t,OM=2.5,由勾股定理得：OM2+FM2=OF2,即：2.52+(33t)2=(3t)261解得：t=:上；过点。作ON，AB于点N,则在RtOEN中，OE=BE=5-t,EN=BEBN=5t2.5=2.5-t,ON=3,由勾股定理得：ON2+EN2=OE2,即：32+(2.5t)2=(5t)2兆解得：t=互.613g.三m,，不存在实数t,使得点B与点O重合【解析】【分析】(1)利用正方形的性质，得到BE=BF,列一元一次方程求解即可；(2)4EBF与4FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐

29、一分析计算；(3)本问为存在型问题.假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在8.已知在ABC中，AB=AC,AD,BC,垂足为点D,以AD为对角线作正方形AEDF,DE交AB于点M,DF交AC于点N,连结EF,EF分别交AB、AD、AC于点G、点。、点H.(1)求证：EG=HF;四(2)当/BAC=60时，求NC的值；HF三(3)设HE“AAEH和四边形EDNH的面积分别为S和金,求号的最大值.【答案】(1)解：在正方形AEDF中，OE=OFEF±AD, .ADXBC, .EF/BC,，/AGH=/B,/AHG=/C,而AB=AC,/B=/C,/AGH=Z

30、AHG,.AG=AH, .OG=OH, .OE-OG=OF-OH.EG=FH(2)解：当/BAC=60时，AABC为正三角形,ADXEF,ZOAH=30,设OH=a,则OA=OE=OF='Ja,EH=(d士J)a,HF=(-j|)a, .AE/FN,.AEI-MANFH,AHEH.5T.NH-FH-/, .EF/BC,.AOHAADC,OHOA/.DCADN, CD=2a,易证HNFsCND,(3)解：设EH=2m,贝UFH=2km,OA=-EF=(k+1)m,Si=(k+1)m2,由(2)得，AAEHANFH,SAHNF=k2Si=k2(k+1)m2,而Sedf=OA2=(k+1)2

31、m2,(k+1)m2,S2=S1EDF-Sahnf=(k+1)2m2-k2(k+1)m2=(-k2+k+1)3'=-l+k+1,L三g当k=3时,S/最大=?.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的判定与性质，正方形的性质易证AAGH为等腰三角形，通过主线合一”可得OG=OH,即可得证；（2）由等边三角形的性质可设OH=a,则OA=OE=OF=、Ga,则EH=（P4/）a,HF=（以1）a,根据相似三角形判定易证AEHsNFH,AOHsADC,AHNFACND,然后通过相似三角形的对应边成比整理即可得解；(3)设EH=2m,则FH=2km,0A=_EF=(k+1)m,分别得到S、S&#

32、187;AHNF和S>AEDF关于k,m的表达式，再根据及=SEDF-S»AHNF得到发的表达式，进而得到号,关于k的表达式，通过配方法即可得解、圆的综合9.如图，在锐角4ABC中，AC是最短边.以AC为直径的O0,交BC于D,过O作0E/(1)BC,交0D于E,连接AD>AE、CE求证：/ACE之DCE;若/B=45,/BAE=15,求/EA0的度数;(2)(3)4也3【解析】【分析】(1)易证/0EG/0CE,/0EG/ECQ从而可知Z0CE=ZECD,即/ACE=/DCE；(2)延长AE交BC于点G,易证ZAGC=ZB+ZBAG=60°,由于0E/BC,所

33、以ZAE0=ZAGC=60:所以ZEA0=ZAE0=60-SVC0E1SVCDF2(3)易证,由于,所以SVCAE2SVC0E3SVCD=1,由圆周角定理可知SVCAE3/AEO/FDO90；从而可证明CDQ4CEA【详解】(1)0C=0E,Z0EC=Z0CE利用三角形相似的性质即可求出答案.0E/BC,./OEG/ECD，/0CE=/ECD(2)延长AE交BC于点G.即/ACDCE/AGC是4ABG的外角，ZAGC=ZB+ZBAG=60:.0E/BC,/AE0=ZAGC=60:1-0A=0E,/EA0=ZAE0=60SVC0E1(3):。是AC中点，-SVCAE2SVCDFSVCOE【点睛】

34、SVCDF1=SVCAE3.AC是直径，/AEO/FDO90:./AC曰/FCD,ACDFACEACF=23,.CF=3CA=43.CA333本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识.10.如图，在VABC中，ACB90°，BAC的平分线AD交BC于点D,过点D作DEAD交AB于点E,以AE为直径作eO.1求证：BC是eO的切线；2若AC3,BC4,求tanEDB的值.【解析】【分析】1连接OD,如图，先证明OD/AC,再利用ACBC得至|JODBC,然后根据切线的判定定理得到结

35、论；2先利用勾股定理计算出AB5,设eO的半径为r,则OAODr,OB5r,15再证明VBDOsVBCA,利用相似比得到r：35r：5,解得r一，接着利用勾8531股定理计算BD金，则CD-,利用正切定理得tan1-,然后证明【详解】1证明：连接OD,如图,QAD平分BAC,12,QOAOD,23,13,OD/AC,QACBC,ODBC,BC是eO的切线;2解：在RtVACB中，ABJ32425,设eO的半径为r,则OAODQOD/AC,VBDOsVBCA,OD:ACBO：ba,15即r：35r：5,解得r一8OD15OB258，在rwodb中，bdJob2OD25,2CDBCBD-,2在Rt

36、VACD中，工彳tan13CD31,AC32QAE为直径，ADE900，EDBADC90°，Q1ADC90°，1tanEDB2【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时连圆心和直线与圆的公共点”或过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形.11.如图，在。0中，直径AB，弦CD于点E,连接AC,BC,点F是BA延长线上的一点，且/FCA=/B.(1)求证：CF是。的切线;(2)若AE=4,tanZACD=1,求AB和FC的长.40【答案】(1)见解析；(2)AB=20,CF一3

37、【解析】分析：(1)连接OC,根据圆周角定理证明OC，CF即可；(2)通过正切值和圆周角定理，以及/FCA=/B求出CEBE的长，即可得到AB长，然后根据直径和半径的关系求出OE的长，再根据两角对应相等的两三角形相似(或射影定理)证明OCaCFE,即可根据相似三角形的应线段成比例求解详解：证明：连结OC.AB是。O的直径/ACB=90°/B+/BAC=90°-.OA=OCZBAC=ZOCA/B=/FCAZFCA+ZOCA=90即/OCF=90.C在。上.CF是。的切线c_AE1(2) /AE=4,tan/ACDEC2.CE=8 直径AB,弦CD于点EAdAc /FCA=/B

38、/B=ZACD=ZFCA /EOC4ECACE1 .tanZB=tanZACD=BE2.BE=16.AB=20，OE=AB+2-AE=6 .CE±AB /CEO4FCE=90°.-.OCEACFEOCOECFCE10=6CF-840CF3点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目12.如图AB是4ABC的外接圆。的直径，过点C作。O的切线CM,延长BC到点D,使CD=BC连接AD交CM于点E,若。OD半径为3,AE=5,(

39、1)求证：CMXAD;(2)求线段CE的长.6【答案】（1）见解析；（2）J5【解析】分析：（1）连接OC,根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD,然后根据平行线的判定与性质证得结论；（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可.CM切。O于点C,/OCE=90,°.AB是。的直径，/ACB=90,° .CD=BC.AC垂直平分BD,.AB=AD,/B=/D/B=/OCB/D=ZOCB .OC/AD /CED土OCE=90° CMXAD.(2)OA=OB,BC=CD.OC=1AD2.AD=6DE=AD-AE=1MffiACDE-AACECEDEAECE.C

40、E2=AEXDE.CE=.5点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间的关系是解题关键，是中档题.13.在eO中，AB为直径，C为eO上一点.图辞(I)如图，过点C作eO的切线，与AB的延长线相交于点P,若CAB28,求P的大小；(n)如图，D为弧AC的中点，连接OD交AC于点E,连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P,若CAB12,求P的大小.【答案】(1)ZP=34°；(2)ZP=27。【解析】【分析】(1)首先连接OC,由OA=OC,即可求得/A的度数，然后由圆周角定理，求得/POC的度数，继而求得答案；(2)因为D为弧AC的中点，OD为半

41、径，所以ODLAC,继而求得答案.【详解】(1)连接OC,.OA=OC,/A=/OCA=28；/POC=56°,.CP是。O的切线，/OCP=90°,/P=34°；(2)为弧AC的中点，OD为半径， ODXAC, /CAB=12；/AOE=78；/DCA=39； /P=/DCA/CAB,/P=27:图委【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.14.3一.如图，4ABC中，AC=BC=10,cosC=，点P是AC边上一动点(不与点A、C重合)，5以PA长为半径的OP与边AB的另一个交点为D,过点D作DE，CB于点E.(1)当

42、。P与边BC相切时，求OP的半径.(2)连接BP交DE于点F,设AP的长为x,PF的长为y,求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围.(3)在(2)的条件下，当以PE长为直径的OQ与。P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.【答案】(1)R40;(2)y5xVx28X80;(3)501075.93x20【解析】【分析】.3(1)设。P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP±BC,cosC=一，则54 HPR4sinC=,sinC=一,即可求斛；5 CP10R5EB(2)首先证明PD/BE,贝U-FPF42.5x收8x80y,即可求解;(3)证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=EP=BD,即：AB=DB+AD=AG+AD=H,圆的半径为R,4，5,即可求解.【详解】(1)设。P与边BC相切的切点为PD3一4连接HP,则HP±BC,cosC=-,则sinC=,55HPR440sinC=，斛仔.R,CP10R59.3(2)在4ABC中，AC=BC=10,cosC=-,5设AP=PD=x,/A=/ABC=3,过点B作BH,AC,则BH=ACsinC=8,同理可得：CH=6,HA=4,AB=4J5,贝U:tan/CAB=2,BP="82+(x4)2=xx28x80，2.5.尸2.5DA=x,贝UBD=4V5-x,55如下图所