专题10+变力做功模型-高中物理系列模型之过程模型+版含解析

1、专题10变力做功模型模型界定由于/二肌0£9只适用于恒力所做功，故在本模型中主要归纳各种情况下变力做功的判定及计算.模型破解1变力做功情况的的判定(i)可利用功能关系来判定：力对物体做正功时物体的能量增加，力对物体做负功时物体的能量减少.有对应形式的势能的变力(弹簧弹力、点电荷间静电力等)做功时，对应形式的势能增大时该力做负功，否则变力做正功.(ii)可利用力的方向与瞬时速度方向的夹角来判定：力与物体的瞬时速度方向之间的夹角始终保持为锐角(角度可以变化)时，力对物体做正功；力与物体的瞬时速度方向之间的夹角始终保持为直角时力不对物体做功；力与物体的瞬时速度方向之间的夹角始终保持为钝角时

2、力对物体做负功.(iii)可利用力的方向与位移方向的夹角来判定：当力的方向不变时，可由力与位移的方向间夹角来判定.例1.如图所示，把AB小球由图中位置同时由静止释放(绳开始时拉直)，则在小球向左下摆动时，下列说法正确的是A绳OA对A球做正功B绳AB对B球不做功C绳AB对A球做负功D绳AB对B球做正功【解析】在小球下摆过程中，由于B距O点较远，转动较慢，位置落后于A球.从运动角度来看，A球绕O点转动，B球一方面随A球转动，同时还相对于A球向后转动，如图所示.则A球的瞬时速度时刻与绳OA垂直，与绳AB之间夹角为钝角；而B球相对A球的速度？渺方向与绳AB垂直，其对地的瞬时速度方向与绳AB之间夹角为锐

3、角.故可知绳OA对A球不做功，绳AB对A球做负功、对B球做正功，AB错误CD正确.O例1普图例2.如图所示，一根质量可以忽略不计的刚性轻杆，一端O为固定转轴，杆可在竖直平面内无摩擦的转动，杆的中心点及另一端各固定一个小球A和B。已知两球质量相同，现用外力使杆静止在水平方向，然后撤去外力，杆将摆下，从开始运动到杆处于竖直方向的过程中A重力对A球的冲量等于重力对B球的冲量B杆的弹力对A球做正功，对B球做负功C杆的弹力对A球做负功，对B球做正功D杆的弹力对A球和B球均不做功【答案】ACr解析】恒力的冲量等于力与作用时间的乘积,，可知a正确.与绳不同，杆的弹力不一定沿着杆，故需从功能关系的角度来判定杆

4、的强力做功情况.由于杆是刚性的轻杆，故两球在转动中用速度相等，因为。巳是。A的二佶，则E球的瞬时速度总是A的二倍.又因为杆可在竖直平面内无摩擦转动，可知系统在转动过程中机械的场设杆总长为2L,A球到达最低点时的速度为一则有闻+2僧©=；族+；啾工町可得V=VT,可失0A球在最恁奈时制能Eh=*=等小于其减少的重力势能，即其中机械能减少，则杆的弹力对A球做负功，同理可知杆的弹力对B球做负功，BD错误C正确.模型演穗1.在2008北京奥运会上，俄罗斯著名撑杆跳运动员伊辛巴耶娃以5.05m的成绩第24次打破世界纪录。图为她在比赛中的几个画面。下列说法中正确的是A.运动员过最高点时的速度为零

5、；B.撑杆恢复形变时，弹性势能完全转化为动能；C.运动员要成功跃过横杆，其重心必须高于横杆；D.运动员在上升过程中对杆先做正功后做负功。【答案】D【解析】运动员在最高点时竖直方向上的速度为零水平速度不为零3错误择杆恢复形变的过程中运动员的重力势能一直增加:苴能量来源也是撑杆的弹性势能下错误.运动员越过横杆时采用的是背跃式到达最高点F寸的重心位置可以低于横杆,C错误运动员在撑杆触地后先使杆发生形变再使其恢复形变;杆的弹性势能是先熠大后演小的n外力对杆是先做正功再做负功的D正确.2.如图所示，质量均为m的ab两球固定在轻杆的两端，杆可绕O点在竖直平面内无摩擦的转动，已知两球距O点的距离L1>

6、L2今在水平位置由静止释放，则在a下降过程中，杆对b球的作用力：A.方向沿BO,不做功B.方向沿BO,做正功C.方向与BO成一定夹角，做正功D.方向与BO成一定夹角，做负功【答案】C【解析】在B球上升过程中，b球的重力势能和动能均增大，即b球的机械能增大，只能是杆对b球做了正功.而b球绕O点沿圆弧运动，速度方向与杆垂直，则杆对b球的弹力一定不沿BO方向，否则杆对b球不做功，故C正确.2.变力做功多少的定性比较由"二Fko&二FQCQ08）二（FCOS期可知，定性比较某些特定阶段中变力所做功时，可比较相同大小的力方向上的位移，也可比较相同位移上的分力.例3.如图所示，固定的光滑

7、竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升.若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为Wi、W2,滑块经BC两点时的动能分别为EkB、Re,图中AB=BC贝U一定（）例3题图.=.i'A.Wi>W2B.Wi<W2：下e.EkB>Eke却D.EkB<Ekcl卡【答案】A【解析】（解一）由图甲可分析出，从A到B过程中绳端移动的距离Ai大于从B移到C过程中，绳端移动的距离A2.'希据W尸FAi,W2=FA2,可知Wi>W2.例3答图甲例3答圄乙(解二)如图乙.拉力F对绳所

8、做功与绳对环所做功相同.由于拉力F大小不变，可知绳对环的拉力大小不变.将绳对环的拉力沿水平方向与竖直方向分解，则有用二曲osNMgB,%=(Fco"CBO)BC,由于ab=bc可知/町0,故Wi>W2.因F在竖直方向上的分力逐渐减小，虽在A点处力F的竖直分力大于环的重力，但在从B到C的过程中力F在竖直方向上的分力是否小于重力及在什么位置小于重力都是未知的，故不能判定BC处的速度大小也即动能大小.从功能的角度来看，从A到B与从B到C的过程中，重力做的负功相等，但力F做的正功却是减少的，从A到B合力做功为正值，但不能判定从B到C的过程中合力做功情况，故不能判定BC两点处动能的大小.

9、答案只有A项.3.变力做功的定量计算(i)方向不变的变力做功可用其平均值计算如图1,当力与物体发生的位移成线性关系时，力对位移的平均值等于此过程中力的最大值与力的最小值的算术平均值(注意力对位移的平均与力对时间的平均值间的差别)0XX例4.要把长为/的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为,已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为ko问此钉子全部进入木板需要打击几次？【解析】在把钉子打入木板的过程申，钉子把得到的能量用来克服阻力做功)而阻力与钉子迸入木板的深度成正比，钉子在整个过程中受到的平均阻力为：l0小万Idt-二一22钉子克服阻力做的功为：设全过程共打击n次，则给

10、予钉子的总能量：10%=nE-二H2版n=丁丁所以；.(ii)力的大小不变且力的方向与物体运动方向间的夹角8恒定时，力做功可由用二fScosg求解，式中s是物体通过的路程，g是力与瞬时速度间的夹角.例5.以初速度vo竖直向上抛出一质量为m的小物体。假定物块所受白空气阻力f大小不变。已知重力加速度为g,则物体上升的最大高度和返回到原抛出点的速率分别为Ap-2g(l+)vJ7A、幽g和I幽g+.2g(l+空)C、理和"幽g+，/【答案】A【解析】：上升的过程中由动能定理得2gQ+)voJ77B、掰g和“桂.2g(i+)VJ77D、理和"幽g+/,1弋f一伽gh+阚=_泓v,2g

11、(Id)一,.h，求返回抛出点的速度由全程使用动能定理重力做功为零/加cosl8Cf=1涉/苗41220，解得六，只有阻力做功，且阻力始系冬典速度反向，故有心”，A正确.(iii)利用力对空间变化的对称性有些情况下，物体在变力作用下的某一运动过程中,变力随空间位置变化时具有对称性，如图2,在某一点x=a的两侧的任意对称点上，若总有耳一？口二月一片，即在对称点处作用力与差值相等，则在这个过程中变力的平均值等于Fr,可用公式取工4霏00求解.例6.如图，一匚"形绝缘导轨竖直放置，处在水平向右的匀强电场中。左边的半圆弧与水平杆ab、cd相切于a、c两点，两水平杆的高度差为h,杆长为4L,。

12、为ad、bc连线的交点，虚线MN、MN的位置如图，其中aM=MM'CN=NN'L,Mb=N'd=2L。一质量为m,带电量为-q的小球穿在杆上。虚线MN左边的导轨光滑，虚线MN右边的导轨与小球之间的动摩擦因数为。已知：在。处没有固定点电荷+Q的时候，将带电小球自N点由静止释放后，小球刚好可到达a点。现在O处固定点电荷+Q,并将带电小球自d点以初速度v0向左瞬间推出。结果小球可沿杆运动到b点。(静电力恒量为k,重力加速度为X-q的电场力始终小于小球的重力)求：g,在运动过程中+Q(1)匀强电场的电场强度E;(2)运动过程中小球所受摩擦力的最大值fm和小球经过M点时的加速度大

13、小a;(3)使小球能够运动到b点的初速度Vo的最小值。mgh(4kQg雪丝+咯案一1”；帆3一【解析】(1)从n到a由动能定理有：qEL-想冰二。可得(2)经分析可知：小球经过M点时，球与轨道之间的弹力最大，所受的滑动摩擦力最大="（纯+在m'点处由牛顿第二定律有q£+Q1m故小球经过M点时的加速度大小为:根据对称性可知，在“轨道上距M点与处轨道上距乂点相同距离的位置上，小球所受+Q的静电力大小相等方向对称，对轨道的压力与重力的差值相同，则摩擦力的大小与加g的差值相同，故在由d到b的过程中小球克服摩擦力做的功为：TT=晒x6£=而电场力做的功力零-WV?二

14、阳出+的由动能定理知小球的初速度vo的最小值应满足：2'可得=«2gh+12弘L(iv)变力的功率恒定时可由0=Pt求解.(v)变力的功率也变化时可由平均功率/二川求解当功率随时间线性变化时2.例7.一电动小车沿如图所示的路径运动，小车从A点由静止出发，沿粗糙的水平直轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆形轨道，运动一周后又从B点离开圆轨道进入水平光滑轨道BC段，在C与平面D间是一蓄水池.已知小车质量m=0.1kg、L=10m、R=0.32m、h=1.25m、s=1.50m,在AB段所受阻力为0.3N.小车只在AB路段可以施加牵引力，牵引力的功率为P=1.5W,其他路段

15、电动机关闭.问：要使小车能够顺利通过圆形轨道的最高点且能落在右侧平台D上，小车电动机至少工作多长时间？(g取10m/s2)【答案】2.53s【解析】设车刚好越过圆轨道最高点，设最高点速度为V2,最低点速度为vi2在最高点由牛顿第二定律得mg=.由机械能守恒定律得-mv，=-mv22+mg(2R)解得vi="上广=4m/s小车在离开C点后做平抛运动由h=2gt2得t=0.5sx=vit=2mx>s,所以小车能够越过蓄水池小车的功率不变，根据F二5v知，随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用步二风求电动机所做功.设电动机工作时间为to,在AB段由动能定理得Pto-fL=-mvi2解

16、得to=2.53s(vi)变力的压强一定时可由牙二求解在涉及液体或气体的等压过程中，可由二PW求解变化的压力所做的功，式中P是压强，A7是液体或气体的体积变化量.例8.成年人正常心跳每分钟约75次，一次血液循环中左心室的血压(可看作心脏压送血液的压强)的平均值为1.37X14pa,左、右心室收缩时射出的血量约为70mL,右心室对肺动脉的压力约为左心室的1/5,据此估算心脏工作的平均功率。【答案】1.44W【解析】每次心跳过程中j左心室推动血涌做功%出0137*104*70*1丁)女59抹10-叮由于右心室对肺动脉的压力约为左心室的13且左、右心室收缩时射出的血量相同，故每次心跳过程中右心室推动

17、血液做功则一次心跳过程中心脏做的总功n|ni.i5j&=ff=0,8s每次心跳过程的平均时间15尸=2对1,44即故心脏工作的平均功率为(vii)变力与位移的关系图象已知时，可利用图线与位移轴所围的面积求解力与位移的关系图象F-工中图线与位移轴所围面积等于力在该段位移内所做的功例9.如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆.则小物块运动到xo处时的动能为，诙"6",第57JYUOI例9颗图1A.0B.2FmX0-2C.4FmXoD.4Xo【答案】c【解析】根据动能

18、定理，小物块运动到X0处时的动能为这段时间内力F所做的功，物块在变力作用下运动，不能直接用功的公式来计算，但此题可用根据图象求面积”11的方法来解决.力F所做的功的大小等于半圆的面积”大小.即Ek=W=2s圆=2x0九tFm2.=4FmXO,C选项正确.(viii)变化的电场力做功可利用电势差求解例10.如图所示，A、BO、C为在同一竖直平面内的四点，其中A、BO沿同一竖直线，B、C同在以O为圆心的圆周（用虚线表示）上，沿AC方向固定有一光滑绝缘细杆L,在。点固定放置一带负电的小球.现有两个质量和电荷量都相同的带正电的小球a、b,先将小球a穿在细杆上，让其从A点由静止开始沿杆下滑，后使b从A点

19、由静止开始沿竖直方向下落.各带电小球均可视为点电荷，则下列说法中正确的是例1。题图A.从A点到C点，小球a做匀加速运动B.小球a在C点的动能大于小球b在B点的动能C.从A点到C点，小球a的机械能先增加后减小，但机械能与电势能之和不变D.小球a从A点到C点的过程中电场力做的功大于小球b从A点到B点的过程中电场力做的功【答案】BCE解析】：小球a从A点向C点运动的过程中与固定在。点的负电荷之间存在静电引拉此引力的大小与）向不断变化使小球受到的合力在变化,小球的运动应是一变加速运动上错误由于点电荷的等势面是以点E荷为球心的球面,即BC两点在同一等势面上,又因为两球完全相同贝小球a在C处的电势能与小球

20、b在B夕电势能相同和小琼占在C点时重力势胡小,由能量守恒知小球c在C,点时动能大E正确负电荷的电场中I场源电荷越近电势越低二正电荷在电势祗低处电势能越小.在小球从A点运动到C点过程中二只有电场力与力做功;故电势能与机械能之和不变;小球的电势能先减小后增大则其机械能先增大后减小4正确在于B两点电势相同，则AB间电势差与AC间电势差相等，两球电荷相同，则电场力做功相同，D错误.（ix）某些特殊情况下变力所做的功可通过转换求恒力所做功例11.如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为a,当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为份已知图中的高

21、度是h,滑轮的质量、绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力T对物体所做的功。例U题图【答案I抽©锁户J【解析】拉力T在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意可知，但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功.而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=FSCOS”直接计算，于是问题转化为求恒力做功。由图可知，在绳与水平面的夹角由a变到3的过程中，拉力F的作用点的位移为：(11)=S邑=h；Isindsin所以绳对物体做功：(11)的二啊二"取<sinOfsinj3)Xx)一般情况下变力

22、所做的功可由功能原理或动能定理求解例12.如图所示，一根"1"形状的轻支架上固定着两个小球AB,支架可以绕转轴O在竖直平面内无摩擦的自由转动，已知mA=2kg,mB=1kg,AC=BC=OC=1m在A球上施加一个力F,使装置静止，B与转轴O在同一水平线上.则撤去力F,当A球摆动到最低点时，杆对A球做多少功？(取g=10m/s2)0cB例12题图【答案】17.07J【解析】A球到达最低点时，如图所示.B例12言图对AB两球根据机械能守恒得:其中AB两球具有相同的角速度，故.二一一二匕-+二：一士'二一.二"；s%+现二士加不:对A球由动能定理得：一2：即A球

23、克服杆的作用力做功17.07J.模型演穗3 .如图所示，演员正在进行杂技表演。由图可估算出他将一只鸡蛋抛出的过程中对鸡蛋所做的功最接近于A.0.3JB.3JC.30JD.300J【解析】：一只鸡蛋的底量约为504由图可以看出鸡蛋抛出后上升的高期为0.5叽忽略鸡蛋在最高点的动能,由功能关系如演员对鸡蛋所做功等于其增加的机械能用,二亚=mgh餐0.25J教A正确.4 .一质量为1kg的质点静止于光滑水平面上，从t=0时起，第1秒内受到2N的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1N的外力作用。下列判断正确的是A.02s内外力的平均功率是WW5B.第2秒内外力所做的功是JJC.第2秒末外力的瞬时功率最大

24、4D.第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是5【答案】D【解析】由动量定理求出1s末、2s末速度分别为：vi=2m/s、V2=3m/s故由动能定理可知合1212-mv-?nv力在第1s及前2s内做功分别为W1=21=2J、W2=22=4.5J,前2s内的平尸=叫="郎=2.25次均功率为22,A错误；第2s内合力做功为W2Wi=2.5J,B错误。由P=Fv知1s末、2s末功率分别为：4w、3w,C错误。第1秒内与第2秒动能增=2J-wp?-2.5J加量分别为：2、22，比值：4:5,D正确。5.如图所示，一质量为m的物体放在水平地面上，上端用一根原长为L、劲度系数为k的轻弹簧相连.

25、现用手拉弹簧的上端P缓慢向上移动.当P点位移为H时，物体离开地面一段距离h,则在此过程中A.拉弹簧的力对弹簧做功为mgH（喻B.拉弹簧的力对弹簧做功为mgh+2k豌尸C.物体增加的重力势能为mgH-kmg(H-h)D.弹簧增加的弹性势能为，其大小始终与弹簧弹力相等【解析】：缓慢拉动过程中在物体离开地面之前拉力是一变力工=»一力=些即与位移成正比，其最小值为0,最大值等于物体重力，此过程P点通过的位移上W,=Fx=叶”=-缁祖-力）拉力所做功为122或忆双=叱邂箜=咽八另_w2k2k，由功能原理知弹簧增加的弹性势能4一评】.此后物体与弹簧一起上升h高度，弹簧的长度不再变化，拉力恒等于物

26、体重力，此过程中拉力做功等于W.-mgh=冽虱H-x）=mgH-（冽物体增加的重力势能尢，故整个过程中拉力做功版=K+阳=1喈3+幼F=r+r=mgH-迪乙1 22或盛，可见只有C正确.6.如图所示，水池中水深为h,水面面积足够大.水面上漂浮一块质量为m的正方形木块，已知其边长为a,漂浮时恰好有一半浸没于水中.现在木块的上表面正中心施加一竖直向下的力F,使木块缓慢地被压入到水底，求此过程中力F所做功.练6图3<2,【答案】二【解析】X解法一）由于水面面积足够大,可将木块压入水中引起的水深变化忽略.在木块完全没入水面之前;力F大4增终等于增加的浮力即F=pga2xXX式中X极的位移由于F广

27、吨-L咫然木块完全没入水中时产，=.廿=2耳=2切9故卫-之；丽n甜且力F做功犷="鼻/=工外次/从木块完全1224没入水中到被压入到水底的过程中力F保持不变此过程中力F做功町二巴依一口）二皿甘（方一6则整个过程中力F做功为4（解法二）从能量守恒的角度考虑，整个过程中力F所做功应等于水增加的重力势能与木块减W*=g（A-）少的重力势能的差值.木块减少的重力势能2.当木块被压到池底时，木块所位置同体积的水上升，一半填补到木块原排开的那部分水的位置，一半平铺到水面上，由阿基米德定律知这部分水的质量为2m,取水底为重力势能零点，则可知这部分水增加的重力势能=峡后+冽月仇-2/m?-=ms,

28、(2h-)为F6646264,故力f所做功为7.如图所示，在光滑的水平板的中央有一光滑的小孔，一根不可伸长的轻绳穿过小孔.绳的两端分别拴有一小球C和一质量为m的物体B,在物体B的下端还悬挂有一质量为3m的物体A.使小球C在水平板上以小孔为圆心做匀速圆周运动，稳定时，圆周运动的半径为R.现剪断连接AB的绳子，稳定后，小球以2R的半径在水平面上做匀速圆周运动，则下列说法正确的A.剪断连接A、B的绳子后,B.剪断连接A、B的绳子后,C.剪断连接A、B的绳子后,D.剪断连接A、B的绳子前,【答案】DB和C组成的系统机械能增加小球C的机械能不变物体B对小球彳功为3mgR小球C的动能为2mgR【解析】：剪

29、断绳子前由牛顿第二定律有R，故小球C此时的动台匕目匕后上=2MgR2,D正确.剪断连接AB的绳子后，BC间绳上张力减小，小千C做离心运动物体B上升，但除重力外无其他外力对系统做功系统内沿绳中张力方向BC两物体的相对位移为零，即内力总功为零，故BC系统的机械能守恒臼的机械能增大则C的机械能减少，AB皆错误.由动能定理(或能量守恒)知物体B对小球做功等于小动能的变化量，在剪断绳后由牛顿第W113mg=m.=-mgRW=E'-E.=-mgR二定律有R，此时的动能22,故2,c错误.8.如图所示，将一个质量为m,长为a,宽为b的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？1掰g【答案】2t解

30、析】在人把物体竖立起来的过程中，人对物体的作用力的大小和方向均未知，无法应用犷=F7e5a求解。该过程中J物体要经历图4所示的状态,当矩形对角线竖直时，物体重心高度最大，重心变化为:M=:|Ja1可由功能原理可知“二A4+A耳最小，为:郎卦-幽虱氏-mg练9图9.如图所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为R,圆环上套有质量分别为m和2m的小球A、B（均可看作质点），且小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连，在小球B从最高点由静g）,下列说法正确的是止开始沿圆环下滑至最低点的过程中（已知重力加速度为A. A球增加的机械能等于B球减少的机械能B. A球增加的重力势能等于B球减少的重力势能C.A球的最大

31、速度为郑故A正确。此过程中B球B错误。因两球由一杆连接，则两球沿轨道运动时在任一时刻角速度相等,线速度也相等,速度同时达到最大。当B8DD.细杆对A球做的功为3【答案】AD【解析】由于轨道光滑，由两小球和轻杆组成的系统机械能守恒,减少的重力势能等于A球增加的重力势能与系统增加的动能之和,球运动到最低点时系统的重力势能最小、动能最大，由机械能守恒有：2MMg为扣+加&,可解得“,C错误。细杆对A球做的功1.3W=+AE*二一曜f附+掰即2K=一海gR等于a球增加的机械能：'2.-F一10.一根弹性细绳劲度系数为K,将其一端固定，另一端穿过一光滑小孔O系住一质量为m的滑块，滑块放在水平地面上。当细绳竖直时，小孔。到悬点的距离恰为弹性细绳原长，小孔O到正下方水平地面上P点的距离为h(h<mg/k滑块与水平地面间的动摩擦因数为u,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹性细绳始终在其弹性限度内。求：-1一练10图I=1(1)当滑块置于水平面能保持静止时，滑块到P点的最远距离；(2)如果滑块从P点向右匀