matlab牛顿插值法例题与程序

1、题目一：多项式插值某气象观测站在8:00(AM)开始每隔10分钟对天气作如下观测，用三次多项式插值函数(Newton)逼近如下曲线，插值节点数据如上表，并求出9点30分该地区的温度(x=10)。X12345678y、数学原理假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值(xg,y0),(Xn,yn),插值多项式有如下形式:Pn（X）0i（X-X0）2（X-X0）（XXi）n（X-X0）（XX）（XXn）（1）其中系数i（i=0,1,2n）为特定系数，可由插值样条Pn（Xi）yi（i=0,1,2n）确定。根据均差的定义，把x看成a,b上的一点，可得f（X）=f（X0）+fX0,X1（X-X0）fX,

2、X0=fX°,Xj+fX,X0,X1（X-X1）fX,X0,Xn-1=fX,X0,Xn+fX,X°,Xn（X-Xn）综合以上式子，把后一式代入前一式，可得到：f（X）=fX0+fX0,X1（X-X0）+fX0,X1,X2（X-X0）（X-X1）+fX,X。，-Xn（X-X0）-（X-Xn-1）+fX,X。，Xn,Xn1（X）=Nn（X）+Rn（X）其中Nn（X）=fX0+fX0,X1（X-X0）+fX0,X1,X2（X-X0）（X-X1）+fX,X0,Xn（X-X0）（X-Xn-1）Rn(x)=f(x)-Nn(xfx,Xo,xnl(x)（3）nl(x)=(x-xo)-(x-

3、xn)Newton插值的系数i(i=0,1,2n)可以用差商表示。一般有kfx0,xxk(k=0,1,2,n)（4）把(4)代入(1)得到满足插值条件Nn(x)f(x)(i=0,1,2,n)的n次Newton插值多项式Nn(x)=f(x°)+fx0,x1(x-x)+fx0,x，x2(x-x)(x-x2)+fx0,xxn(x-x1)(x-x2)(x-xn-1).其中插值余项为：fn1(),、Rn(x)f(x)-N(x)n1(x)n(n1)!n1介于x0,xxk之间。三、程序设计functiony,A,C,L=newdscg(X,Y,x,M)%y为对应x的值，A为差商表，C为多项式系数，

4、L为多项式%X为给定节点，Y为节点值,x为待求节点n=length(X);m=length(x);%n为X的长度fort=1:mz=x(t);A=zeros(n,n);A(:,1)=Y's=;p=;q1=;c1=;forj=2:nfori=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1)/(X(i)-X(i-j+1);endq1=abs(q1*(z-X(j-1);c1=c1*j;endC=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n);fork=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k);d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);endy(k

5、)=polyval(C,z);%俞出y值endL(k,:)=poly2sym(C);%输出多项式>>symsM,X=1,3,5,7;Y=,;x=10;>>y,A,C,L=newdscg(X,Y,x,M)y=A=000000C=-xA3/480-(19*xA2)/160+(697*x)/480+3387160四、结果分析和讨论对于不超过三次的插值多项式，x如果选取1,3,5,7这三个点能够得到较好的三次插值多项式L=aa2+。当x=10时，也即9点30分时的温度为度，结果分析知此值应是偏小的。对于选取不同的插值节点，能够得到不同的插值多项式，误差也不尽相同。五、完成题目的体会与收获对于牛顿插值法