b5向量在轴上的射影的应用

1、本文为自本人珍藏版权所有仅供参考向量在轴上的射影的应用四川省汶川县威州中学校邓炜新教材分别在高一、高二介绍了向量的有关概念（高一平面，高二空间），这对使用代数方法解决几何问题，提供了一个非常好的工具。课本中（高中第二册（下B）对向量在轴上的射影，只提出了概念，在应用方面，除了在证明三余弦定理时使用过它以外，其它应用几乎没有涉及。本文就它在求距离等方面的应用问题进行了探索。使各种距离有了统一的求法。对于正射影，课文中是这样加以定义的：（P33）已知向量AB和轴l,是l上与l同方向的单位向量（如图）。作点A在l上的射影A,作点B在l上的射影B/,则./A/B/叫做向量AB在轴l上或e方向上的正射影

2、，简称射影。课文中还给出了如下公式：（一）求点到平面的距离:先求平面ABC的法向量a的单位向量离，这样就避免了寻找垂足这一难点问题。E(4,2,0),F(a不与z轴垂直，故可设a=（x,y,1）,=(2,-4,2),BE=(0,2,0)。T设a，平面GEF则显然如图，点P为平面ABC外一点，设向量a，平面ABC则显然斜线段PA（或PRPC确定的向量PA（或PBPC）T在a上的射影的绝对值就是点P到平面ABC的距离。利用这一事实，我们可以将点P到平面ABC的距离问题，转化为,fe,它的绝对值即是点P到平面ABC的距【例1】已正方形ABCM边长为4,EF分别是边ABAD的中点，G5直于ABC所在的

3、平面，且GC=2求点B到平面EFG的距离。解：建立如图所示的直角坐标系C-xyz,则B（4,0,0）,G（0,0,2）,则由a，平面GEFa，GE=aGE=4x-2y-2=0?T-*T同理有：a-GF=aGF=2x-4y-2-0解之得：x=l,y=_1。故a1_1J；,和它同方向的单位向量为3333,1再(,一，3卜显然，BE在e上的射影的绝对值即点B到平面GEF的距离do点B到平面GEF的距离是：d=BEe=(0,_2,0)*(1,1,3)=21111例2如图，ABC是正三角形，AA、CC者B垂直于平面ABC且AAi=CC=AB=a)的距离。E为CC的中点，求点C到平面ABECxyz,则有解

4、：建立如图所示的直角坐标系B,-a,0，A(0,2一a,a),E0,QC(0,0,0)CE=10,0,卜5T设a，平面A1BE,则显然a不与z轴垂直，故可设fa=(x,y,1),则由a，平面ABna_LAB=aA1B=.3a同理有:LC，3aaa_EBx-一y22亘=02解之得：x1y=一。故a=21,1,1,和它同方向的单位向量为2=-7=(V312)。2.2T显然，CE在e上的射影的绝对值即点C到平面ABE的距离do点B到平面ABE的距离是：d=CE,e,0,2,21231,2fe,然后分别在直线和平面上任找二、求直线到与它平行的平面的距离、两平行平面之间的距离:利用上面求到平面的距离的思

5、路，很自然地有了下面两种结论:1、如图，要求直线l到与它平行的平面a的距离，只需求出平面的单位法向量点A和B,则AB在上e的射影的绝对值就是直线到平面的距离d,由射影计算公式立即可得:Td=ABe2、类似地，要求两平行平面a、P之间的距离，我们只要分别在这两个平面内任取一点AB,求出AB在平面ot(或平面P)的法向量a上的射影，利用上述公式，立即得出两个平行平面口、P之间的距离。【例3】在棱长为1的正方体ABCD-ABiCiD中,(xwl)求证：(1)MN/平面BBCCo(2)求MN平面BBGC的距离。证明：(1)如图，:AiB=AC,1.AiM=AN,MN分别为有向直线AiB和AC上的点，且

6、AiM=xAiB,AN=xACAM,=xAiB,AN=xACMN=MA1A1AAN=xBA：AiAxAC二(x-iBBixBCMN/平面BBGCMN0平面BBiCiC=MN/平面BB1cle(2)建立如图所示的直角坐标系Dxyz,易得A(i,0,i),B(i,i,0)AM=xAB=M(i,x,ix),，BM=(0,xi,ix)。而平面BBCiC的单位法向量为j=(0,i,0),故MN到平面tBBCC的距离即BM在j上的射影的绝对值，故所求距离为:rtd=BMj=i【例4】如图，ABCD-AiBiGD是棱长为a的正方体，MNP、QR、S分别是所在棱的中点。(i)求证：平面PMM/平面QRS(2)

7、求平面PMNW平面QRS司的距离。解答：a号,、,a,0i,Ma,0,io易得AiC=(一a,a,a)222)(i)略；(2)建立如图所示的直角坐标系D-xyz,则Ai(a,0,a),C(0,a,0),R1a2为平面MP港口QRS勺法向量，和它同方向的的单位向量是,ie=7(一i,i,i),两平行平面PM港口QRSI司的距离即向量-3aaRM=一,一a,|在e上的射影的绝对值。即:22过直线a引平面ot与b平行，则问题转化为求直线a和与它平行的平面口之间的距离。在直线a和b上分别引向量a和b1,利用求直线与平面间的距离方法。得到下面的结论:首先求出平面口垂的单位法向量(即与a和b垂直的单位向量

8、T、一，.，、，e),然后在直线a和b上任取两点A和B,求出AB在e上的射影，它的绝对值即是两条异面直线a与b的距离。【例5】如图，在长方体AC中，AB=a,BC=b,求异面直线AC与BD之间的距离。解：建立如图所示的直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),B(b,a,0),C(0,a,0),Ai(b,0,c),DB=(b,a,0),AC=(b,a,c)。CB=(b,0,0)设a_LDB,a_LA1C,则显然a与AC和DB的公垂线平行，面B、C分别位于两条异面直线?TAiC和DB上，故CB在a上的射影的绝对值即两异面直线AC和DB间的距离。显然,fa不与z轴垂直，故可设=(x,y,1),由a_

9、LDB和a_LA1c可得:bx+ay=0bx+ayc=0解之得:cx=2bT故有a=cy=丁2acc一、一,1I,和匕同2b2a方向的单位向量为:e二,(一ac,bc,2ab),所求距离为:a2c2b2c24a2b之一3abc，a2c2b2c24a2b2【例6】如图，设ABC是边长为442的正三角形，PC1平面ABCPC=2E、D分别为BGAB的中点，求PE和CD的距离。解：建立如图所示的直角坐标系Cxyz，则P(0,0,2),E(0,2、0),如右图，可求得CD=2J6,DH6,CH=312,dQ6,3V2,0),故有:PE=(0,22,-2),CD=(46,342,0)o设a_LPE,且3

10、_LCD,它的坐标为a=(x,y,z),则显然有2$2y-2z=0M6x+3T2y=0解之得：a=(-13y,y,V2y),它的一个单位向量为又由前面的解法知：CP=(0,0,2贬上的射影的绝对值就是两条异面直线PE和CD间的距离，即d=CPZ2、33此外，利用向量在轴上的射影，我们还可以解决以下问题：求点到直线的距离：即先求这一点到直线上任意一点的向量在这条直线上的射影，再使用勾股定理即可解；求两条平行线间的距离：即先在这两条直线各任取两点，求出由这两点所确定的向量在其中一条直线上的射影,最后使用勾股定理求解；求直线和平面间的夹角：即先使用向量求出直线上任意一点到平面的距离，再使用直角三角形中的正弦之定义,即可解决直线与平面的夹角问题，还可以得到相关公式，即向量TAB与平面口的夹角满足:,(e为平面0的单位法向量)求二面角的大小：只需求出二面角的两个半平面的单位法向