向量解三角形练习

1、向量、解三角形练习一、选择题1 .在 ABC中，a = 80, b=100, A=45,则此三角形解的情况是 （A. 一解B.两解C. 一解或两解D.无解2 r-解析: bsinA=100X 看=50280,bsinAab,此三角形有两解.2 .已知锐角 ABC的面积为3配，BC = 4, CA=3,则角C的大小为A. 75B, 60C. 45D, 30解析3小=万义 4X 3sinC, sinC= ，.ABC为锐角三角形，C = 60,故选B.x的取值3 .在 ABC中，已知a = x, b = 2, B = 60,如果 ABC有两解，则 范围是（C ）B. x2C. 2xD.2x解析欲使

2、ABC有两解，须asin60 ba.即乎X2vx,2x1 4 AD = aAB + .AC. o o5.设四边形ABCD为平行四边形，曲|=6, |AD| = 4,若点M, N满足疝I = 3流，DN= 2NC,则AlCl NM = ()A.20 B. 15 C.9 D.6解析CAiCl =苑+(附，前=品尿=1附+加翁 Niti =(4AB+ 3A6) (4AB-3Afe)=(16AB2-9Ab2) =(16X 62- 9X 42)=9,选 C.6.在 ABC中，B = 60, b?=ac,则此三角形一定是 (B )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D,钝角三角形解析由余弦定理，

3、得b2=a2+c2-ac,又b2 = ac,* a2+c22ac=0, 即(a2=0, /. a=c,VB = 6O, a A=C=60.故AABC是等边三角形.7.已知锐角 ABC的面积为3娟，BC = 4, CA=3,则角C的大小为(B )A. 75B. 6010.在数列an中,ai1 + an,则 a2 012 =()C. 450D. 300一1_3解析3y/3= 2X4X3sinC, .SinC= 2，.ABC为锐角三角形，.二C = 60,故选B.8.甲船在湖中B岛的正南A处，AB=3km,甲船以8km/h的速度向正北方向 航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东600

4、方向驶去，则行驶15min 时，两船的距离是（B ）解析：a= 2, an+1 =1 + an1anA.币kmC. 719km解析由题意知AM = 8XB. V13kmD. -10-3/3km15=2, BN=12X15=3, MB = AB AM = 32=1, 6060. 一 1 一 1 &= 3, a3 = 2, a4= 3, %= 2.该数列是周期数列，周期T= 4.又 2 012=503X4, a2 012 a4=3.13,所以 MN = Vt3km.11.已知ABAC, AB|=T，AC|=t,若点P是AABC所在平面内的一点，且AP=1 t|AB|JL东+4AC|AC|A.13则

5、PB PC的最大值等于（）B.15C.19D.2111.A1-、，9.等差数歹U an中，已知a?+ a5=4, an=33,则n为（）3建立如图所示坐标系，则B6，0）, C（0, t），AB=6A. 50 B . 49小 、AB 4ACAC=(0, t), AP=+=t- |A B| |A C|，!，4工(0, t) = (1, 4), . .P(1,C. 48 D . 474), PB - PC= 3,1,17- - + 4t尸 17-t 4t = 13,故选所以由余弦定理得 MN2= MB2+ BN2 2MB BNcos120 = 1+ 9-2X 1 X3X (-2) =答案：DA.1

6、2.如图所示，在地面上共线的三点 A, B, C处测得一建筑物的仰角分别为 3045 , 60 ,且AB=BC=60m则建筑物的高度为()A.15mB.20mC.25mD.30m1_ 【解析】选D.设建筑物的高度为h,由题干图知，PA=2h PB=5h, PC= 3 h,所以在 PBAffizPBC中，分别由余弦定理，得6。2 + 21 - 4小cos/pba=2 x 60 X %/2左，602 + 2h2 -却2cos/ pbc=2 x 60 x v 2h .因为/ PBA+Z PBC=180 ,所以 cos / PBA+co支 PBC=0.由，解得h=30曲m或h=-30曲m（舍去），即建

7、筑物的高度为30、%m.二、填空题13 .(2014新课标全国I, 15)已知A, B, C为圆。上的三点，若AO=：(AB+AC), 则丽与AC的夹角为.13.90 由AO=：(AB + AC)可知。为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径 所对的圆周角为直角，所以/ BAC = 90 ,所以AB与AC的夹角为90.14 若向量 a=(sin a, cos a- 2sina),b=(1,2),且 a/b,则 tana=.【答案】-41【解析】解：/. isina - cosa+2sina=O? RP cosa=4sina,.sim 1. tana=-cosa 4故答案为：1.415 .若

8、a n为等差数列，a 15=8,a60=20，则 a75=.16 .【思路点拨】直接解出首项和公差，从而求得a75,或利用a15,a 30,a 45,a 60,a 75成等差 数列直接求得.【解析】方法一:a n为等差数列，设公差为d,首项为 的那么：；：上,即画 + 14d = &Q + 59d = 20.解得:a1=.,d=.所以 a75=a1+74d王+74X =24. 1 z工n方法二：因为an为等差数列，所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列，设公差为d,则 a60-a i5=3d,所以 d=4,a75=aso+d=20+4=24.答案:2417 .如果等差数列an中

9、,a3+a4+8=12，那么 ai+a2+ - +az=【解析】选C.在等差数列an中,a3+a4+a5=12，由等差数列的性质可知 a3+a5=a4+a4,所 以a4=4.根据等差数列的性质可知 日+&+a7=7a=28，故选C.三、解答题17、数列 %满足叼=1(12- 2, %2 = 2-1 - an + 2.1 .设必=处计1 一品，证明屋是等差数列；2 .求门工，的通项公式.答案：1.证明：由+2 = 2即+i % 2,得，由“ = %计1 与得门十1 = bn +2 .又 -， 鼠是首项为L公差为2的等差数列.2.由 1 得鼠=1 + 2(门 - 1) = 2月 一 1,由鼠=口打

10、+1 -必得。+1 - 6 = 2 1.nri (+i 内)=(2 人i) 于是. 处+1 -=/，即出Hi = J + 切.又劭=，. M 的通项公式为明=/一 2H. - 2 .18.已知等差数列an满足:a3=7,a5+a7=26,a n的前n项和为S.(1)求 an 及 S. 令(=-1(n N),求数歹U bn的前n项和Tn.【解析】(1)设数列an的公差为d,则由题意得：；32四得tW an=2n+1,Sn=n2+2n. 由(1)知9=1=4n(n+1),bn=( ：),4n(n+lj b+1.一 .1 、 也.Tn = b1 + b2+bn=(1-.尸丁.19、已知向量力=(工

11、3)，币5 = (- 3. -1)，点.4 (一 1,-2).(1) .求线段的中点A7的坐标；(2) .若点M)满足港=人阮(工此，求:y与人的值.解答：1.设Ui) AJ = (4,3)= (1, 2)(1 + 2) = (4,3),J 1 + 1=4,( Xi = 3,I yi+2 = 3,解得1 ； = L.8(3J),同理可得。(一.一3).设线段心。的中点犯的坐标为(皿内2),则,_3 4_ 1_1-3_, , ,.2.血= 1)y) = (1,1 切，血=(-4,-3) -(3,1) = (-7,-4), f 1 = -7A,f A =. (A-ij) = A(-7,-4), .

12、 t 1-“ = -4入解得(20、已知向量口 = Mn仇。23口町，b= (L2).1 .若日与b方向相反,求Lan 0的值；2 .若闷=向，。 8 7r，求8的值.答案：1.因为Q与。方向相反，所以2疝4 化小一2如叫=0,即4shi = cosft,所以一4 .3 .因为同二同，所以内】3 + (。”2疝叫2 = 5，化简得cos 6 (cos 6 + sin ) = 0,即 coe 0 = 0 或tan 9 = -1.口/丘 0- 6=个又“ ” 限所以 2或 4 .21、在锐角AABC中,%3c分别为角4B,C所对的边,且俏a = 2csin A(1) .确定角c的大小；(2) .若

13、f= 7,且、坎T的面积为-F,m 4石的值.a 2 sin A sin A答案：1.由行。=2c Kin A及正弦定理得, 仆 sinsinAO, smC=l-cJ月6。是锐角三角形，；3gv7,C = Ib2.解法1:3由面积公式得1 一73 瓜-absm -=.,2 32 即 mb = 6由余弦定理得+ 6J 2ab cos = 7993 即0 i -ab = 7由变形得S +匕产=25，故I + b =解法2：前同解法1,联立、得(a2 -I- b2 - ab = 7( a2 + b2 = 131= G O j ab 6消去b并整理得r13/ + 36 =。解得层=4或=9(a = 2 ( a = 3所以1 =；或1匕=2故仃.+匕=5. p-i L,C22、在7BC中，角a,b,c的对边分别为J且 4 成(I)若5=在* 口 = %求e的值；(II)设，=5由小皿匚，求t的最大值.答案：2 c = 1；(2) 4.解析：B(I )因为,4成等差数列，L-=j+c因为a c =:，、-T B= 所以