2018年中考复习专题相似三角形一线三等角

1、一线三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。典型例题【例1】如图，等边ABC,边长为6,D是BC上动点，/EDI=60(1)求证：BDEE3ACFD(2)当B摩1,FC=3时，求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得/B=ZC=ZE再用外角可证/BE®/CDF可心BDE

2、WCFDK似排出相似比便可求得线段BE的长度/解：(1).ABC等边三对，eD£60°二./B=/C=/E%60F/ED6/EDl+ZFDG/a/BED./BED:/FDC.'.BDEE3cf'd(2) .BDEe4tCfD- .BD=1BFC=3,dCd=5cBE5Bt=3点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。【例2】如图，等腰ABC中，AB=ACD是BC中点，/EDF=/B,求证：BDBDFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D成为了BC的中点，所以BDEWCFDf似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD=CD的条件可证彳

3、#BDEF口DFEt目似解:.AB=AQ/EDF=/B/B=ZC=ZEDF /EDG/EDI+ZFDG/BED,.ZBED=/FDCBDEE3ACFDBECD=DE又.BD=CDDFBEDE口BEBD一=即=一BDDFDEDF./EDF=/B.BDEE3ADFED是底边中点则有三对相点评：三等角型相似中若点D是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点似三角形，BDECFDf似后若得BD=匹加上BD=CD可证彳#CFDWDFEf似CFDF【例3】如图，在ABC中，AB=AC=5cm,BG8,点P为BC边上一动点(不与点B、C重合)，过点P作射线PgAC于点M,使/APM/B;(1)求证

4、：ABPPCM(2)设BP=x,CM=y.求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域.(3)当APM等腰三角形时，求PB的长.【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。对APMABFPC附目关的结论进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与解：(1).ABAC,/APM/B，/APM/B=/C/APB/APM/MPC/母/BAPBAP=/MPC .ABWAPCM(2).BP=x,CMy,CP=8-xABBPPCMC(3)当AP=PM时PMPC=PGAB=5PAABBP=3当AP=AM寸 /APM/B=/CPAM/BACW点P与点B重合P不与点B、C重合，舍去当MP=AMB寸

5、 /MAP/MPA MAPAABC.PMPC5即8-x -=即PAAB85.BP=398点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件进行转化，三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至AB可口PCW简化运算。【例4】（1）在AABC中，AB=AC=5,BC=8,点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持.APQ二，ABC.若点P在线段CB上（如图10）,且BP=6,求线段CQ的长;若BP=x,CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；P不与点C、点B重合），（2）正方形ABCD的边长为5（如图12）,点P、Q分别在直线CB、D

6、C上（点且保才I,APQ=90.当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）思底点可角不以本例与前几例的区别在于与等腰三角等的角的在线段上动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。解：（1）ZAPQ+/CPQ=/B+/BAP,/APQ=/ABC,又AB=AC,2B=/C.CQ2.12CQCP（2）若点P在线段CB上，由（1）知CQ=CP又.CQ=y,AB=5,故所求的函数关系式为yyx1x5BP8-xAB即y-x25(0:二x:

7、二8).若点P在线段CB的延长线上，如图11.又ZABP=180°-ZABC,8x.5A备用图-=-，CQ=.(2)当点P在线段BC上,当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上,BP53-5当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上,535BP二2点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”O动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。强化训练：1.如图，在ABC,AB=AC=8,BC=10,D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，

8、且/ADE=/C.求证：AB炉ADCIE(2)如果BD=x,AE=y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域;当点D是BC的中点时，试说明AD既什么三角形，并说明理由.2.(2)已知：如图，在AB在边AC上，且.DEF：；三.求证：FCmEBDAB=AC=5,BC=6,点D在边AB上，DE_LAB,点E在边BC上.又点F点D在线段AB上运动时，是否有可能使Sace=4S在bd.C如果有由.3.如可能，那么求出BD的长.如果不可能请说明理图，在AB8,ABAG5,BG6,P是BC第3页BPC8x(x0).5上一点，且BP=2,将一个大小与/B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，

9、使角的两边始终分别与ABAC相交，交点为HE。(1)求证BPDhACEP(2)是否存在这样的位置，PDb直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。4.如图，在ABO43,AB=AC=5,BG6,P是BC上的一个动点(与RC不重合)，PE±AB与E,PHBC交ACMF,设PC=x,记PE=y1,PF=y2(1)分别求y1、y2关于x的函数关系式(2)4PEF能为直角三角形吗？若能，求出CP的长，若不能，请说明理由。5.如图，在ABO,AB=AC=5,BG6,P是BC上的一个动点(与RC不重合)，PE±AB与E,PFLBC交ACMF,设(1)写出图(2)求y与(3)

10、若6.已知在PC=x,4PEF的面积为y中点，连结DE,APC中的相似三角形不必证明;x的函数关系式，并写出PEF为等腰三角形，求Ix的取值范围；PC的长。形ABC中AB=BC=4,AC=6,D是AC的E是BC上的动点(不与B、。重合)，过点D作射线DF,使/EDF=/A,射线DF交射线EB于1交射线AB于点H.(1)求证：ACEDsAADH;设EC=x,BF=y.用含x的代数式表示BH;AFPCC求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域.7.已知在梯形ABCD3,AD/BCA氏BC,且AD=5,AB=DC=2.(1)如图8,P为AD上的一点，满足/BPC=/A.求证；ABWDPC求AP的长.

11、(2)如果点P在AD边上移动(点P与点AD不重合)，且满足/BPE=/A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q那么当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x,CQ=v,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE=1时，写出AP的长(不必写出解题过程).8.已知：如A直单梯形ABCDDAD/BC,(2)求卬与x的函数关系式并写出定义域;C/B=901且FEMAB=8,AD=12,=/AMB,设4一一_tanC=f,AM/DCE、F分别是线3（3）若点E在边AD上移动时，在FM为等腰三角形，求x的值;当BPAD于点M岚F在线敕/CD的延长线上时，设BF=x,9.已矢（1）女（2）女BC

12、边上移动么,BC丽，AD/PWBC上的/:,A氏BC,且BC=6,AB=DG4,点E是AB的中点.BP=2,求证：BE%CPD（点P与点B、C不重合），且满足/EPF=ZC,PF交直线CD于点F,同时交直线DF=SDMF9M二SBEP时，求BP的长.4:y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当A10.如图，在梯般ABCDK交边AB于点E,射线DBCAB=CD=BG4,八咫边CDT点F,连结(1)(2)P（第25题图）解：（1）ABAC：/B=ZC指出ADAD=2.点扁为边BC的中EF.所有与,BEM1似的三角形，并加以证明；设/BE=x,CF=y<求y关于x鞅函数解析式,E答案

13、:1.AE2.3.并写/定义域;以M为顶点作/EMF/B,射线ME./AD©ZADE-/CD巨/CE(2)FAB炉DCE.=BDAB(3)AB=AC,D是BC的中点，AD，二DE.AD既直角三角形解：(1);AB=AC./B=ZC/BED/DEF：/C+/EFC90又/DEFFCEoEBD55BD=x,BE=-x,EC=6-x33（备用图）BAB/CDE.AB5DCEBC/DAE+/ADE=90BbZBAD./CD=/B./BED：/EFCS_C6-5xFCEoAEBD.=(空)2若S&CE=4S&bd()2SbedBDx=4xJ115366-x=>3.BD不存

14、在311解：(1)ABAC./B=ZC./DPCZDPE-ZEPCZBZBDP./EPC=/BDP.ABDDCE(2)/DPE/B¥90若/PDE=90,在RtMB而RtPDE中BH.-.cosZABHtcosZDPE：-BH-ABPDPE=3一5PDPEBDPC212PC=4BD=一5若/PED=90在RtAABhffnRtAPDE43BH.cos/ABHcos/PED：11ABPEPD=35PDPEBDPC20-PC=4BD=>5(舍去)3一，一12综上所述，BD的长为5一44.解：(1)y1=-(6-x)(2)/FPE:/B090424x55、y2若/PFE=90,在Rt

15、MBHF口RtPFE中BHcos/AB件cos/FPE=ABPFV2x175PEyi424x55若/PE=90,在RtABHF口RtPFE中BH.cos/ABHcos/FPE=ABPF5.解：(1)PE改EPC4(2).PC=x.PF=-xPE4，PE=(6x),5EH4-=EP=525(6-x)即y-32x27564x(0:二x<3)25F(3)当PE=PF时,EP笠PEBPG=BE=x,6-x5当PE=EF时,12PHPF=2x,23cos/EPhtcosB,42-x3108当FE=PF时,4(6-x)5x二43一.12,八、_PM=-EP=(6-x),cos/FPMcosB,252

16、(6-x)5=2HMGP108一.9综上所述，PC的长分别为x-94346.解：(1)AB=BC,/A=/C/CDE+/EDF=/A+/H又/EDF=/A,/CDE=/H小CEDMDH一CECD(2)ACEDsADH，=ADAH.D是AC的中点，AC=6,.AD=CD=3,又CE=x,AB=4x39当H点在线段AB的延长线上时，；=4；h，BH=9一4x39当H点在线段AB上时，一=，.-BH=434-BHx过点D作DG/AB交BC于点GRH当H点在线段AB的延长线上时，工匚GD及GF9-4x218-8x八9Q:二x:二一9-2x当H点在线段AB上时，BHBF=，GDGF4-9x28x-189

17、y=-_x：49-2x47.解：(1)证明：:/ABP=18Q°一/A一/APBZDPC=18Q/BPC-ZAPBAABIDPC解：设AP=x,则DP=5-x,由aABMADPC得ABPDAPDC/BPG=/A,ZABfP=ZDPC.在梯形ABC珅，AD/BCAB=CDZA=/DAPPDDQ解得xi=1,x2=4,则AP的长为1或4.AB（2）解：类似（1），易得AB%DPQ里23一2,1<x<4.22AP=2或AP=3-J5.8.证明：（1）过点M作MG_LAD交AD于GAD/BC,AB/MG.AG=BM=6AD=12AG=GD.MGMADGM.-AM=DM(2)FEM

18、=/AMBZAMB=/AFEMEMsAEFMAMEMEMFM12二一x1QEFM6”x+1Q定义域为：Q<x<125=/MAE+/AEFa/FEMEM#FM，若AEFM为等腰三角形，则EF=EMEF=FM当EF=EM,12-x=1Q/.x=2当EF=FM时./FME=NFEM=NMAE.AE=EM-12-x=；82(x-6)2119.证明：（1）二.在梯形ABC丽，AD/BCAB=DC/B=ZC八八EBBPBE=2,BP=2,CP=4,CD=4,.=CPCD(2);/EPF=/B+/BEP=/EPF,.BEACPD+/FPC又/EPF=/C=/B,./BEP=/FPC-EBBP.BE%CPF=CPCF6-xy4当点F在线段CD的延长线上时t/FDM/C=ZB,BEP=NFPC=NFMD,BE%DMF一122又y=/X+3x4,x3x+8=0,AV0,此万程无实数根,9故当点F在线段CD的延长线上时，不存在点P使S&MF=-SEP当点F在线段CD上时，同理BEPoDMFf=-SAep,DF