1987年高考数学试题文理科

1、一九八七年(理科)一.(本题满分 2 24 4 分)本题共有 8 8 个小题， 每小题都给出代号为 A,B,C,A,B,C,D D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。选对的得 3 3 分，不选、选错或者选出的代号超过一个的(不论是否都写在圆括号内)， 一律得。分。(1)设S,T是两个非空集合，且ST,TS,X=ST,那么SX等于(D)22(2)设椭圆方程为、+与=l(ab0),令c=、：a2-b2,那么它的ab准线方程为(C)2.22.2(A)y=-(B)y=(C)x=(D)x=cccc(3)设a,b是满足ab|a-b|(B)|a+b|a-b|(C)

2、|a-b|a|-|b|(D)|a-b|0恒成立，求a的取值范围aa14a解：由题意得：人2a2令z=1og2，贝U(3)式变为z(log28z)(2z)0,a1化简为z(6z)0,解得zz0(4)式变为10g28-zA0,即z3,综合(4),(5)得z0,即10g2-2a-0,a1由此，-2a-1(6)解(1),(6)彳#a取值范围：0a1.a1六 .(本题满分12分，共2个小题)设复数z1和z2满足关系式2巨2+Az1+Az2=0， 其中A为不等于0的复数。证明：证：(1)；|z1+A|z2+A|=|z1+A|z2+A|=|(z1+A)|(z2+A)|=|z1z2Az1Az2AA|=|AA|

3、=|A|2|=|A|2(2)A:0,由此得z1 A:0,z2-A=0,z1A(乙A)(z2A)z1z2Az2Az1AA_|A|2z2A-aA)。A)-ZA|2-匕A|2_|乙+A|z2+A|_|乙+A|=zAZ+Af.2+A|z2二A.七 .(本题满分12分，共3个小题)0,4(a1)八log2Q(2log2a2a、24(a1).)-4lOg210g22；04a2(1)(1)|z1+A|z2+A|=|A|2;(2)z1+Az1+Az2+Az2+A设数列为总2,，an,的前n项的和S与a、的关系是Sn=4an+1-二，其中b是与n无关的常数，且b#-1。(1b)(1)求a、和a、_1的关系式；(

4、2)写出用n和b表示an的表达式；(3)当0bc1时，求极限limSn.n斛：(1)an=Sn-Snj=-b(an-an)-.in1n0：b：1时,limb=0,lim=0二一二1b所以当0b1时,limSn=1.nj二=_b(an-an1)由此解得anb)+(1b)banJn(n-2)22)a1=S1=-ba11b(1b)n11,-a11b(n-2)anb1(1+b)n(1b)n1an.2bb2(1-b)n11b1|Mbb3ban4-nT(1b)nbb2+(1b)n1由此推得an将（2）代入（3）得anbb2b3(1b)n1n1(1b)n1n4一(3)bb2bn(1b)n1n1b-b=y2,

5、由（3）得y1-y2&由此解得y1,y2,由（1）解得x1,x2,所以-可取得最小值勺.相应的V+y2=J2,，4M点纵坐标y0=y1*y2=-22二M点坐标为（5,、2）或（勺,-上）4242九.（附加题，本题满分10分，共2个小题，每小题5分，不计入总分）（1）求极限lim-1-（2）设y=xln（1+x2）,求y （2）y=ln（1x2）S.1x一九八七年（文科）考生注意：这份试卷共八道大题，满分120分一.（本题满分 2424 分）本题共有 8 8 个小题，每小题都给出代号为 A,B,C,DA,B,C,D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆

6、括号内。 选对的得3 3分，不选、选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），律得。分。（1）设S,T是两个非空集合，且ST,TS,X=ST,那么S=X等于22(2)设椭圆方程为:+冬=1仁/0),令c2=a2.b2,那么它的ab准线方程为(C)2.22.2(A)y=-(B)y=(C)x=-(D)x=-cccc(3)设log3410g4810g8m=log416,那么m等于(B)(A)9(B)9(C)18(D)272(4)复数$访40口一8$40口的辐角为(D)(A)400(B)1400(C)2200(D)3100(5)二次函数y=f(x)的图象如图所示，那么此函数为(C)3c(A

7、)y=x4(B)y=4-x(C)y=-(4-x)4(6)在区间(g,0)上为增函数的是(B)(A)y-log(-x)2(C)y-(x1)2(7)已知平面上一点为（0,n）（m0）,而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为（m,0）,那么新坐标系的原点O在原坐标系中的坐标为（A）(A)(-m,m)(B)(m,-m)(C)(m,n)(D)(-m,-m), ,-JT-JT. .(8)要得到函数y=sin(2x-g)的图象，只需将函数y=sin2x的图象(图略)(D)(D)(A)X(B)T(C)*(D)S（B）一1-x（D）y=1x2P在原坐标系中的坐标(D)y=3(2-x2)4(C)向左平行移动-(D)

8、向右平行移动-66二.(本题满分28分)本题共7小题，每一个小题满分4分。只要求写出结果(1)求函数y=sin22x的周期。答-222(2)已知方程一L=i表示双曲线，求入的范围。21答入-1或入-2.(注：写出一半给2分。)(3)若(1+x)n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，求n.答8(注：若给出8同时给出-5得2分)(4)求极限lim1+4+与+十穹nnnnn答2(5)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数。求这种五位数的个数。答72(6)求函数y=log2(1+2x3x2)的定义域答-1xAABC=PA，2VB-PAC=(Lh)32同理，VC-PA=

9、Lh,ED=1Lh21 BD=1Lh-BD6CD6三棱锥P-ABC的体积1.,3,、，1.,3=Isint(一一sintcost)(一sintcost)2222=I0=0四.(本题满分12分)在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为2,1+兑i,求第三个顶点所表示的复数。22解：设第三个顶点所表示的复数为z那么根据题意，z-2和z-(1+型i)的模相等，辐角差为三(或-三)，因而22331.3二二1,3132z-2;z-(-i)(cosisin)=(一i)z-(-i)223322221.311.3.321-(-i)z=2-2i(i)2224222V=1LhBD+1LhCD=1Lh

10、(BD+CD=1LhBC=1L2h.若E,D不是分别在线段AP,BC上，结论仍成立（此话不说，也不扣分）六 .（本题满分12分）设对所有实数x,不等式a一，、，八2.2a,2.4(a+1).(a+1).(21og2)-41og21og2-0一.一(3)a1a4a令z=1og2-2a-，贝U(3)式变为z2(log28z)(2z)0,a1化简为z(6-z)0,解得zAz0,即z3,综合(4),(5)得z0,即10g2二a-父0,a1解（1）,（6）得a取值范围：0a0恒成立，求a的取值范围。(1)214(a1)c12a,(a1)xlog22xlog2log22-aa14a解：由题意得：an0,a

11、+1,4(a+1)八10g20由此,包1,上式当n1时对k=0也成立。(2)若limSn=1,即lim(kan+1)=1,n一j二二limkan-j二二_kn=lim(Sn-1)=0,即limk=0,一：n一产(k-1)n.lim(f：k-1)n=0,二白1,解得k1:二ABCD勺面积。解得C（ xc),D(xC=(1-v1-4b)-b,2YC=-(1-1-4b);L2|CD|=,(xc-XD)2(ycXDYD)两点坐标为1(1-1-4b)-b,21yD(1.1-4b).2yD)2-2-8b|AD|JxD-yD4L|4-b|.、.2、2|4-b|-|CD|AD|,2-8b(3).2二(4-b)2=(V272-8b)2,即b2+8b+12=0,解二：二C,D两点在抛物线上，可设C(s2,s),D(t,t),又A,B在直线y=x+4上，AB与y轴成450角,四边形ABC的正方形，对角线AC与边AB也成450角，.AC/y轴，同理BD