平面向量的概念及线性运算(学生)

1、第1讲 平面向量的概念及线性运算【2014年高考会这样考】1.考查平面向量的线性运算.2 考查平面向量的几何意义及其共线条件.【复习指导】本讲的复习，一是要重视基础知识， 对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练 掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区 别.KAORjIiZIZHUIDAaXUE - = = 01 考基自主导学基础梳理1 .向量的有关概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模.(2) 零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的. 单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任

2、一向量共线.相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算再a三角形法则a平行四边形法则(1) 交换律： a+ b= b+ a.(2) 结合律： (a+ b) + c = a + (b+ c)减法求a与b的相反向 量一b的和的运算 叫做a与b的差1a三角形法则a b = a+ (b)3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 定义：实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作入a, 它的长度与方向规定如下： I 入 a|= I 入 II a| ; 当入0时，入a与a的方向相同；当

3、 入<0时，入a与a的方向相反；当 入 =0 时，入 a= 0.(2) 运算律：设入，卩是两个实数，则入(卩a)=(入卩)a；(入+卩)a=入a +卩a； 入(a + b)=入a +入b.4 共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯个实数 入，使得b=入a.曆 < 陣一条规律一般地，首尾顺次相接的多.个向.量的和等于从第一个.向量起点指.向最后一个向.量. 终点的向量.两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“ a0”，否则入可能不存在，也可能有无数 个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的 区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三

4、点共线；另外，利用向量 平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.双基自测1.（人教A版教材习题改编）D是厶ABC勺边AB上的中点，贝U向量CD等于（）.1 1A. - BC+ 2弘B- BC- 2弘1 1c.bC- 2弘d.bC qBA2 判断下列四个命题：若 a/ b,则 a= b；若 | a| = | b|，则 a= b；若| a| = | b|，则 a/ b；若 a=b,则 | a| = |b| .正确的个数是（）A. 1 B . 2 C . 3 D . 43. 若O, E, F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （）a.EF=看OE b.OF-OEc.EF=-OF+

5、OE d.OF-OE解析Et> OF= OF- OE4. （2011 四川）如图，正六边形 ABCDE中, BA+ CD EF=（）.A. 0B.bEC.ADd.cF5. 设a与b是两个不共线向量，且向量a+入b与2a- b共线，则入=考向一平面向量的概念【例1】？下列命题中正确的是（）A. a与b共线，b与c共线，贝U a与c也共线B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C. 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D. 有相同起点的两个非零向量不平行方：；匸;请宀 解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于 透彻理解平面向量的概念，还应注意零

6、向量的特殊性，以及两个向量相等必须满 足：模相等；方向相同.【训练1】 给出下列命题： 若A, B, C, D是不共线的四点，贝U AB= DC是四边形ABCD为平行四边形的充要 条件； 若 a= b， b= c，贝q a= c； a= b的充要条件是| a| = | b|且a / b； 若a与b均为非零向量，则| a+ b|与| a| +1 b| 一定相等.其中正确命题的序号是.考向二平面向量的线性运算【例2】？如图,D, E, F分别是 ABC的边AB, BC, CA的中点，则（）.A. AD- Bfe+ CF= 0B. BD- CF+ DF= 0C. AD CE- CF= 0D. BD-

7、 ECE- FC> 0三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的 向量，和用平行四边形法则，差用三角形法则.【训练2】 在厶ABC中, AB= c, AC= b，若点D满足CD= 2DC则AD=B.C.3b-3cd. 3b+ 3c考向三 共线向量定理及其应用【例3】？设两个非零向量a与b不共线.若辰a + b, BC2a+ 8b, Cb= 3（a b）.求证：A, B, D三点共线； 试确定实数k，使ka + b和a+ kb共线.I爲宀 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线， 也可以由向量共线求参数.利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点.【

8、训练3】（2011 兰州模拟）已知a, b是不共线的向量，AB=入a+ b, AC= a+卩b（入，卩 F），那么A, B, C三点共线的充要条件是（）.A.入+卩=2 B .入一卩=1C. 入卩=一 1难点突破11有关平面向量中新定义问题解题策略从近两年课改区高考试题可以看出高考以选择题形式考查平面向量中新定义的问题，一般难度较大这类问题的特点是背景新颖，信息量大，通过它可考查学 生获取信息、分析并解决问题的能力. 解答这类问题，首先需要分析新定义的特 点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中， 这是破解新定义信息题难点的关键所在.【示例11 ? （2012 泰安十

9、校联考）定义平面向量之间的一种运算“。”如下：对任意的a= （m n），b= （p，q），令a©b= mq-np，下面说法错误的是（）.A. 若a与b共线，则a© b = 0B. a © b= b© aC. 对任意的 入 R,有(入a) ©b= X (a©b)2 2 2 2D. (a©b) + (a b) = | a| | b|"关键条件；i®b=网一g,选的是错误的"逐一验算 ： a® b = “町 np ? bO ci =/>?! tpn 只有当 mq 一 咒p = 0 时 * a b = b (L-故 E 错误命颤申苗楚文送算Kia誦''莎箕畐s天； 注意缈心仏真I【示例21 ? （2011 山东）设A,A, As, A是平面直角坐标系中两两不同的四点，若AA= X AA（