正多边形和圆及圆的有关计算

1、正多边形和圆及圆的有关计算一、知识梳理：1正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。定理：把圆分成n (n>3)等分：(1) 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；(2) 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。正多边形的外接(或内切)圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半 径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。正n边形的每个中心角等于 360-n正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称

2、轴，每条对称轴都通过正 n边形的中心。若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。2、正多边形的有关计算正n边形的每个内角都等于(n -2)18°n定理：正n边形的半径和边心距把正 n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的 有关计算都归结为解直角三角形的计算。3、画正多边形(1) 用量角器等分圆(2)用尺规等分圆正三、正六、正八、正四及其倍数(正多边形)。正五边形的近似作法(等分圆心角)4、圆周长、弧长nR(1)圆周长C= 2 n R; (2)弧长L =1805、圆扇形，弓形的面积2(I

3、 )圆面积：S - R ;(2) 扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。n兀R2在半径为R的圆中，圆心角为 n°的扇形面积S扇形的计算公式为：S扇形二360注意：因为扇形的弧长 L二农。所以扇形的面积公式又可写为S扇形=1LR180 2(3) 弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。（4）圆柱和圆锥的侧面展开图 a、圆柱的侧面展开图圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD绕边

4、AB旋转一周得到的图jy A形是一个圆柱。（如图所示）AB叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD , C'D ',都叫圆柱的母线。圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。圆柱的两个底面是平行的。RAB=咼，AC=底面圆周长。C圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6 17,其中S 侧面=2 n Rh圆柱的轴截面是长方形一边长为h, 边长为2RR是圆柱底半径，h是圆柱的高。如图所示b、圆锥的侧面展开图圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。如图所示，把 Rt OAS绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。旋转轴SO叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA

5、、SA',都叫圆锥的母线，母线长都相等。圆锥的侧面展开图如所示是一个扇形SAB半径是母线长，AB是2 n R。（底面的周长），所以圆锥侧面积为 S侧面=n RL.二、典型例题：1如图，六边形 ABCDEF是正六边形，曲线 FK1K2K3K4K5K6K7边形的渐开线”其中 FK1,Kg,K2K3,K3K4,K4K5,K5K6,依次按点A, B, C, D, E, F循环，其弧长分别记为 "，"，13, 14, ", b, 当 AB = 1 时，12 011 等于（叫做正六的圆心201仁201仁一 2011-：A.B.C.二一D.2342oii 二2如图，一张

6、半径为1的圆形纸片在边长为 a（a3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片不能接触到的部分”的面积是（）2A. a -二B. (4-Ja2C. :D. 4-二6CT60 °此).D. 4 3如图，直径 时点B到了点B'则图中阴影部分的面积是（A. 3 二B. 6C. 5 二4.以数轴上的原点 0为圆心,3为半径的扇形中，圆心角 AOB =90】另一个扇形 是以点P为圆心,5为半径，圆心角 CPD 60 ,点P在数轴上表示实数 a,如图,AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转如果两个扇形的圆弧部分（AB和CD ）相交,那么实数a的取值范围是5已知一个半圆形工件，未搬动前如

7、图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面， 再将它沿地面平移50m，半圆的直径为 4m,则圆心O所经过的路线长是 m。（结果用n表示）6如图，在正方形 ABCD内有一折线段，其中 AE丄EF , EF丄FC ,并且AE=6, EF=8 , FC= 10,则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面j4 AiXi JiEll国2积为7如图，将边长为 a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线I上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当Ai第一次滚动到图2位置时，顶点Ai所经过的路径的长为.8如图3,自行车的链条每节长为2.5c

8、m，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm ,如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为 .60节9. 如图，已知O O的半径为2,弦AB丄半径OC,沿AB将弓形ACB翻折，使点C与圆心O重合，则月牙形（图中实线围成的部分）的面积是 .10. 如图，在扇形 OAB中，/ AOB= 90°，半径 OA= 6将扇形 OAB沿过点B的直线折叠，点 O恰好落在AB上点D处，折痕交OA于点C, 求整个阴影部分的周长和面积.;11. 阅读下列材料，然后解答问题.经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这

9、个圆的内接正四边形.如图，已知正四边形 ABCD的外接圆OO , OO的面积为S，正四边形 ABCD的面积为 S2 以圆心O为顶点作ZMON，使NMON =90° .将ZMON绕点O旋转，OM、ON分别 与OO相交于点E、F ,分别与正四边形 ABCD的边相交于点G、H .设由OE、of、Ef及正 四边形ABCD的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为 S .（1 ）当OM经过点A时（如图），则S Sp S2之间的关系为：S=（用含S、S的代数 式表示）；（2）当OM 1AB时（如图 ），点G为垂足，则（1 ）中的结论仍然成立吗？请说明理由；(3) 当乂MON旋转到任意位置时 (如图

10、 )，贝卩(1)中的结论仍然成立吗？请说明理由.三、巩固练习:1. 如图，在？ABCD中，AD = 2, AB= 4，/ A = 30°,以点 A为圆心，AD的长为半径画弧交 AB于点E,连结CE,则阴影部分的面积是 .乂_一2. 如图所示，A是半径为1的O O外一点，0A= 2, AB是O O的切线，.-B为切点，弦BC / OA,连结AC,阴影部分的面积为 . ae a3个扇形的圆心角为120 °半径为3,则这个扇形的面积为 4在半径为4的圆中，45。的圆心角所对的弧长等于.n5.已知圆锥的高是 30cm,母线长是50cm，则圆锥的侧面积是 cm2.6如果一个扇形的弧长

11、等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为BA形”的面积为7. 如图，RtAABC 中，/ ACB = 90°, AC= BC = 2 2，若把转一周，则所得几何体的体积为 .8. 如图， ABC是等腰直角三角形，/ ACB= 90°, AC = BC把 ABC绕点A按 顺时针方向旋转45。后得到厶AB ' C '，若AB= 2,则线段 上述旋转过程中所扫过部分 (阴影部分)的面积是Rt ABC绕边AB所在直线旋9如图，扇形 OAB，/ AOB = 90°,O P与OA、OB分别相切于点 F、E,并且与弧 AB相切于点C,则扇形OAB的面积

12、与O P的面积比是10.如图，O P内含于O O,O O的弦AB切O P于点C,且AB / OP. 若阴影部分的面积为 9 n，则弦AB的长为 .11.如图，在正方形 ABCD中，AB = 4, O为对角线BD的中点，分别以 OB、OD为直径作O O1、O O2.(1) 求O O1的半径；(2) 求图中阴影部分的面积.12. 已知：如图，在 Rt ABC中，/ C = 90°,/ BAC的角平分线 AD交BC边于D.(1)以AB边上一点O为圆心，过 A, D两点作O 0(不写作法，保留作图痕迹 线BC与O O的位置关系，并说明理由.(2)若 中的O O与AB边的另一个交点为 E, AB= 6, BD = 2 3, 求线段BD , BE与劣弧DE所围成的图形面积.(结果保留根号和n )13. 某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成.如图，在OOi和扇形 O2CD