几种常见的曲面及其方程

1、几种常见的曲面及其几种常见的曲面及其方程方程二次曲面二次曲面曲线曲线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节第四节曲面及其方程曲面及其方程 即动点为 定点为 ，( , , ),M x y z0000(,)Mxyz由两点间距离公式得特别,当M在原点时,球面方程为定值为 RxyzoM0M表示上(下)球面 .222000()()()xxyyzzR2222000()()()xxyyzzR2222xyzR机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、几种常见的曲面及其方程一、几种常见的曲面及其方程1.球面球面222zRxy 例例1 1 方程方程222420 xyzxz 表示怎样的曲面表示怎样的曲面. . 解

2、解 通过配方，把原方程写成通过配方，把原方程写成222(2)(1)5.xyz对比（对比（1 1）式知，它表示球心在点（）式知，它表示球心在点（2,0,-12,0,-1）, ,半径为半径为的球面的球面. .5xyz三、柱面三、柱面引例引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程解解: :在 xoy 面上，表示圆C, 222xyR沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间过此点作柱面柱面. .对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面圆柱面oC在圆C上任取一点 1( , ,0),Mx ylM1M( , , )M x y z点其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页

3、返回 结束 222xyR222xyR222xyRxyzxyzol定义定义3.3.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线l 形成的轨迹叫做柱面柱面. 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.22221xyabz 轴的平面平面.0 xy表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线准线, l叫做母线母线.xyzoo机动 目录 上页 下页 返回 结束 22yx2l一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 y

4、oz 面上的曲线 l2. 母线( , )0F x y 方程表示( , )0G y z 方程表示( , )0H z x 方程表示3l机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz1lxxyyzz定义定义2.2. 一条平面曲线3.3.旋转曲面旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴 . .例如例如 : :机动 目录 上页 下页 返回 结束 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为( , , ) ,M x y z当绕 z 轴旋转时,11(,)0f y z111(0,),My zC若点给定 yoz 面上曲线 C: 1

5、11(0,)My z( , , )M x y z2211,zzxyy则有22(, )0fxyz则有该点转到( , )0f y z ozyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？:( , )0Cf y z oyxz22(,)0fyxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2 将将面上的椭圆面上的椭圆z分别绕分别绕y轴和轴和轴旋转，求所形成的旋转曲面方程。轴旋转，求所形成的旋转曲面方程。解解 绕绕 轴旋转而成的旋转曲面方程为轴旋转而成的旋转曲面方程为z即即即即绕绕 轴旋转而成的旋转曲面方程为轴旋转而成的旋转曲面方程为yxyOzaab2222

6、21yxzab222221xyzab22221yzab2222221xyzbab2222221xyzaabyoz 例例3 3 求求面上的抛物线面上的抛物线绕绕x x轴轴旋转所形成的旋转抛物面（图旋转所形成的旋转抛物面（图7-287-28）的方程。）的方程。 解解 方程方程中的中的x x 不变，不变， 换成换成便得到旋转抛物线的方程为便得到旋转抛物线的方程为 例例4 4 求求面上的直线面上的直线绕绕z z轴轴旋转一周而成的圆锥面的方程。旋转一周而成的圆锥面的方程。 解解 所求圆锥面的方程为所求圆锥面的方程为即即xyOzxoy22yzyoz22()xa yz2(0)xaya2xay(0)zky k

7、22zkxy 2222()zkxy二、二次曲面二、二次曲面三元二次方程三元二次方程 适当选取选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面的图形通常为二次曲面. 222AxByCzDxyEyxFzx0GxHyIzJ(二次项系数不全为二次项系数不全为 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyx1. 椭球面2222221 ( , ,)xyza b cabc为正数(1)范围：,xaybzc(2)与坐标面的交线：椭圆2222

8、1,0 xyabz22221,0yzbcx222210 xzacy机动 目录 上页 下页 返回 结束 黄黄绿绿红红2222221xyzabc与11()zzzc的交线为椭圆：1zz(4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样11()yyyb的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:2222222222111()()abccxyczcz( , ,a b c为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 z11()xxxa2222xyzpq2.椭圆抛物面( p , q 同号)zyx特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、曲线三、曲线1.1.曲线方程曲

9、线方程空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线, ,其一般方程为方程组其一般方程为方程组2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如, ,方程组方程组表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线 C.C. xzy1oC2机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , , )0( , , )0F x y zG x y z221236xyxz又如又如, ,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C.C. yxzao机动 目录 上页 下页 返回 结束 222220zaxyxyax zyxo空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程将曲线将曲线C C上的动点坐标上的动点

10、坐标x, y, zx, y, z表示成参表示成参数数t t 的函数的函数: :( )( )( )xx tyy tzz t称它为空间曲线的称它为空间曲线的 参数方程参数方程. .例如例如, ,圆柱螺旋线圆柱螺旋线,vt b令2hb的参数方程为的参数方程为上升高度上升高度, 称为螺距螺距 .M机动 目录 上页 下页 返回 结束 cossinxatyatzvtcossinxayazb2当时，例例5 5 设一动点设一动点M M 在圆柱面在圆柱面上以角速度上以角速度绕绕z z 轴旋转，同时又以线速轴旋转，同时又以线速度度沿平行于沿平行于z z 轴的正方轴的正方向上升向上升( ( 都是常数都是常数) )则

11、点则点M M的几何轨迹叫做螺旋线的几何轨迹叫做螺旋线（图（图7-347-34），试图建立其参数方程。），试图建立其参数方程。解解 取时间取时间t t 为参数，设为参数，设t=0t=0时动点在时动点在处，处，动点在点动点在点处，过点处，过点M M 作作xoyxoy 面的垂线，则面的垂线，则垂足的坐标为垂足的坐标为由于由于是动点在时间是动点在时间t t内转过的角度，而线段内转过的角度，而线段的长的长是时间是时间t t内动内动点上升的高度，所以经过时间点上升的高度，所以经过时间t t，得，得222xyav,v( ,0,0)A a( , , )M x y z( , ,0)Mx yAOMMMMM,AOM

12、tMMvt coscos,sinsin,.xaAOMatyaAOMatzMMvt从而从而因此螺旋线的参数方程为因此螺旋线的参数方程为cos,sin,.xatyatzvt2.2.空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为( , )0H x y 消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程( , )00H x yz( , )00R y zx( , )00T x zyzyxCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , , )0( , , )0F x y zG x y zzyxC1o例如,在xoy 面上的投影曲线方程为222200 xyyz2222221:(1)(1)1xyzCxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 6 求曲线