解析几何专题含答案

1、1.2x【2017浙江，2】椭圆一913A.32.3.e1椭圆专题练习21的离心率是4C.【2017课标3,理10已知椭圆C:且以线段A1A2为直径的圆与直线【2016高考浙江理数】已知椭圆C1e2分别为C1,C2的离心率，则（）A.mn且ee21bxay2abC.（ab0）的左、右顶点分别为Ai,A2,0相切，则C的离心率为2x2-+y2=1(m1)与双曲线m2xQ：y2=1(n0)的焦点重合,nB.mn且e1e21C.m1D.mn且e1e2 b 0)的a b右焦点，直线by 一与椭圆交于B,C两点，且2BFC 90o,则该椭圆的离心率是.7.12017课标2 x 1,理20已知椭圆C: a

2、2-y2 = 1 (ab0),四点 Pi (1,1), P2 (0,1), P3 ( T b(1)P4 (1争中恰有三点在椭圆C上.求C的方程;(2)X28.12017课标II,理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C:一y1上，过M作x轴的垂2uur_uuujr线，垂足为N,点P满足NPV2NM。(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线xuuuuur3上，且OPPQ1。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦当1 a b 0的离心率为包, b22点F。2X9.12017山东，理21】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:a焦距为.(D求椭圆E的方程;(I)如图，动直线:yk1x亘交椭圆E于A,B两

3、点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率2M是线段OC延长线上一点，且MC|:|AB2:3,eM的半径为|MC,OS,OT是eM的两条切线，切点分别为S,T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线的斜2210.12017天津，理19】设椭圆t41(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为ab121一.已知A是抛物线y22Px(p0)的焦点，F到抛物线的准线的距离为一.22(I)求椭圆的方程和抛物线的方程；(II)设上两点P,Q关于轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与轴相交于点D.若APD的面积为,求直线AP的方程.22211.12017江苏，17如图，在平面直角坐标系xOy

4、中椭圆E:勺与1(ab0)的左、右焦ab点分别为Fi,F2,离心率为1,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，2过点Fi作直线PFi的垂线，过点F2作直线PF2的垂线.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线E的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.12.12016高考新课标1卷】(本小题满分12分)设圆x2y22x150的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程;(II)设点E的轨迹为曲线G,直线l交G于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积

5、的取值范围.13.12016高考山东理数】(本小题满分14分)2 y_ b21 ab0 ?的离心率是Y3,抛物线E： x2 2y22,_.一x平面直角坐标系xOy中，椭圆C：a的焦点F是C的一个顶点.(I)求椭圆C的方程;(II)设P是E上的动点，且位于第一象限,E在点P处的切线与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证：点M在定直线上；的面积为S2 ,求&的最大值及S2(ii)直线与y轴交于点G,记APFG的面积为S,APDM取得最大值时点P的坐标.9 ,此时点P的坐标为(上2 -)4(2,4)2.2.Si.【答案】(I)x4y1；(D

6、(i)见解析；(ii)的取大值为S2试题分析：(D根据椭圆的离心率和焦点求方程；(D(i)由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；(ii)分别列出&S面积的表达式根据一次函数求最值和此时点P的坐标.试题解析:2(I)设P(m,-)(m0),由x22y可得y/x,所以直线的斜率为m2因此直线的方程为ym(xm),即ymx22m.22 m设A(xi,y)B(X2,y2),D(xo,yo),联立方程，四、2x24y210,得 0 m 2 而且 xix234m2,4m 1因此 x xjxi m- 2 4m 12将其代入y mx 得y022m22(4m2 1)因为为 xo

7、14m,所以直线OD方程为y1x.4m得(4m21)x24m3xm410,1一、一yx1,.1联立方程y4m,得点M的纵坐标为yM-4xmr-1即点M在定直线y上.4(ii)由（i）知直线方程为ymx22令x0得y/所以G(0,mr),_ m _1 _ .又P(m，力Fed”2m32 4m 122(4m2 1)），所以S21_1,2八S1-|GF|m-m(m1),221m(2m21)231PM11mx0|*2八，所以22S 2(4m2 1)(m2 1)S2(2m2 1)228(4m1)令 t 2m21则员1)(t 1)S2t22,所以点考点:S2取得最大值9 ,此时m4_.2 1、 SP的坐标

8、为（,），因此的最大值为2 4 S9_.21、-,此时点P的坐标为（上，1）.42 41 .椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质;2 .直线与圆锥曲线的位置关系；3.二次函数的图象和性质.14.12015江苏高考，18（本小题满分16分）2 y b2 21ab 0的离心率为，且右焦22如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆三a点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.2X2(1)一y1(2)yx1或yx12试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离

9、心率为2 ,二是右焦点F2到左准线l的距离为3,解方程组即得（2）因为直线AB过F,所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长,利用PC=2AB解出直线AB斜率，写出直线AB方程.(2)X轴时,我，又C 3,不合题意.与轴不垂直时，设直线的方程为y k Xxi,， ，x2,y2 ,的方程代入椭圆方程，得2221 2k2 x2 4k2x2 k210,X1,22k

10、2J21 k2 .1 2k2. 2k2C的坐标为 -2 2，21 2k2 1 2k222X2XiVz %22kx2x12 2 1 k21 2k2的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意.从而k 0,故直线C的方程为ykZ 21 2k21、，2k2k X 1 2k2则点的坐标为因为C 2c 5k2 2”2,从而 C1 2k22 3k2 1 .1 k2k-1-2k2一此时直线2 3k2 1 ,1 k2一k-1-2k2一4,2 1 k21 2k2方程为y x 1或y x 1 .【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系15.12016高考天津理数】（本小题满分14分）22设椭圆二上a231（ a V

11、3）的右焦点为F ,右顶点为A11已知|OF| |OA|3e访其中。为原点，为椭圆的离心率.（D求椭圆的方程；（I）设过点A的直线与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于的直线与交于点M,与y轴交于点H,若BFHF,且MOAMAO,求直线的斜率的取值范围.【答案】（I）S亡1（I）（,11if,）4344【解析】试题分析：（D求椭圆标准方程，只需确定量，由,得1-3c|OF|OA|FA|caa（ac）22一222再利用acb3,可解得c1,a4（i）先化简条件：MOAMAO|MA|MO|即M再OA中垂线上，xM1再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B；利用两直线方程组求H,最后根据BFHF,列

12、等量关系解出直线斜率取值范围1 3c曰,可得a a(a c)113c试题解析：(1)解：设F(c,0),由,|OF|OA|FA|222,2一 _23c ,又a c b 3,所以c(2)解：设直线的斜率为 k (k 0),则直线的方程为y k(x 2).设 B(XB,yB),由方程组2 x4y2 y Wk(x2)由(D 知，F (1,0)得 BF HF1y kx，消去y,整理得(4k2826，由题意得Xb4k2 3设 H(0,yG有FH所以9 4k24k2 312kyH 4k2 33)x2 16k2x16k2 12 08k2 6一5一，从而4k2 3M)，bf0 ,解得yHyB12k4k2 32

13、_4k 12k Z ,2-3 4k-).由 bf hf , 39 4k2一，.因此直线MH的方程为12k9 4k212k设M ,由方程纲，9一4好馆* 加，20必”1灰消去九解得刊=沃西，222xy1,因此a4,所以椭圆的方程为1.43ZJLfOA5ZMAO1)a(I)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示)；(II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.2a2Ik2rJ2【答案】(i)2-小k2；(II)0eJ.1a2k22【解析】2试题分析：(I)先联立ykx1和0y21,可得x1,x2，再利用弦长公式可得直线ay kx 1被椭圆截得的

14、线段长;(II)先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点0,1为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时,a的取值范围，进而可得椭2a2 k21 a2圆离心率的取值范围.试题解析:设直线ykx 1被椭圆截得的线段为y2xakx因此.1 k2(II)满足22a2kx 02a2k a2k2x1x22a2 |k1 a2k2.1 k2 .假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设 y轴左侧的椭圆上有两个不同的点记直线Q的斜率分别为k1, k2，且 k1 , k20 , k1k2.由(I)知,2a2 k1k12因此11 1k；1 a2 a2 23因为式关于k1k2的方程有解的充要条件是2a2

15、2因此,任意以点0,1为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为9x2y心二不得，所求离心率的取值范围为0ea2考点:1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率.19.12015高考新课标2,理20（本题满分12分）已知椭圆C:9x2y2m2（m0）,直线不过原点O且不平行于坐标轴，与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.（I证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值;（D若过点（m,m）,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形？若能,3求此时的斜率，若不能，说明理由.（I详见解析；（I）能，4.7或 47.(I设直线 l : y kx b (k0,b 0)A(x1,

16、v), BM*), M (Xm , yM ).kx b代入9x2一2_2_2得(k 9)x 2kbx bXMXi2X2kb2,k 9yMkxMb19b.于是直线k2 9OM的斜率kOMkOM9.所以直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值.四边形OAPB能为平行四边形.因为直线过点（m,m）,所以不过原点且与 C有两个交点的充要条件是 30,3.9由（I得OM的万程为y x .设点P的横坐标为XPk9kX,2222 k mxP-2,即 xP9k2 81km3 k2 9.将点（m,m）的坐标代入直线的方程得 b m（3 k）,因33此Xm19 3) .四边形3(k9)OAPB为平行四边形当且仅当线段

17、AB与线段OP互相平分，即xp曰km无 3k29mk(k 3)匕-.解得左 43(k2 9)币,k244.因为ki0,ki 3i 1,所以当的斜率石或4J7时，四边形OAPB为平行四边形.【考点定位】1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系.【名师点睛】（I涉中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取点差法”或韦达定理”两种方法求解:设端点A,B的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB的中点和直线的斜率；设直线的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB的中点,并寻找两条直线斜率关系；（I）根据（I中结论，设直线OM方程并与椭圆方程联立，求得M坐标，利用xP2xM以及直线过点（一，m）3列方程求的值

18、.2x20.12016局考新课标2理数】已知椭圆 E : 一2 1的焦点在轴上， A是E的左顶点，斜率为k（k0）的直线交E于A,M两点，点N在E上，MANA.(D当t4,|AM|AN|时，求AMN的面积;(D 当 2 AMAN时，求k的取值范围.【答案】(D144;(D3/2,2.49试遁分析：】）先求直线仙的方程，再求点、的纵坐限最后求的面积XII）设时（$），,将直线,的方程与椭圆方程组成方程组，消去用上表示内，从而表示同理用的表示14ML2x试题解析：（I）设Mx1,y1，则由题意知y10,当t4时，E的方程为一4由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为一.因此直线AM的方程为yx2

19、.42y2代入42七1得7y212y0.解得y127因此AMN的面积12712714449(II)0,、.t,0.将直线AM的方程yk(x2的代入t3tk2x22Utk22t2k23t0.22tk由x1,t23tk得x1J3tk23tk2Xi6t2k23tk2由题设，直线AN的方程为故同理可得AN1k223k2t因此AMAN得一23tk232时上式不成立,3k2k1k32k32k3k2t.t3等价于0.由此得kk3即k3t3k2k1.因此k的取值范围是k33k2k3k2k21k30,kk32.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系21.12015高考四川，理20如图，椭圆E:22x.y2+了a

20、b1(a0)的离心率是遮，过点p2(0,1)的动直线与椭圆相交于A,B两点,当直线平行与x轴时,直线被椭圆E截得的线段长为2、,2.(1)求椭圆E的方程;(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q,使噜PA恒成立？若PB存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由x2y2一【答案】(1)一一1；(2)存在，Q点的坐标为Q(0,2).42【解析】(1)由已知，点(J2,1)在椭圆E上.b21,b2卜面证明：对任意的直线，均有|QA| |PA|QB| |PB|当直线的斜率不存在时，由上可知,结论成立当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y kx 1, A、B 的坐标分别为(x1, y1

21、),( x2, y2).因此,解得a2,b、,2.22所以椭圆的方程为1.42所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为Q(0,2).225y-1联立42，得(2k所以，x1 x21)x24kx20.ykx1其判别式16k28(2k21)0,222k2 14k2，222k21因此1.父222k.xx2xx2易知，点B关于y轴对称的点的坐标为B(x2,y2).又kQA2k,kQB”2kk，x1x1x2x2x1所以kQAkQB,即Q,A,B三点共线.所以|QA|QA|凶UPAJ|QB|QB|区|PB|故存在与P不同的定点Q(0,2)，使得QA-|JPA|恒成立.|QB|PB|22

22、.【2016年高考北京理数】(本小题14分)223已知椭圆C:三、1(ab0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OABa2b22的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证：AN BM为定值.2【答案】(1) 土 y2 1; (2)详见解析.4【解析】试题分析:(1)根据离心率为冬即a冬1 , ,OAB的面积为1,即ab 1 ,椭圆中222a b c列方程求解；(2)根据已知条件分别求出AN , |BM |的值，求其乘积为定值2所以椭圆C的方程为y2 1.4(2)由(I)知,A(2,0), B(0,1),2

23、,2,设 P(x0, y0),则 X0 4y0 4.当X0 0时，直线PA的方程为y (x 2).Xo 22yx0 2.从而BM1yM1 2y0x02直线PB的方程为y 0-x 1. x.从而 AN 2 xnV。1x0V01所以AN BM2 y0x024x0y0 4x0 8y0 8x0 y0 x0 2y0 24.2,2x04y04x0V04x08y04x0V0x2y02当x0。时，y01,BM2,AN2,所以ANBM4.综上，ANBM为定值.考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系23.【2016年高考四川理数】(本小题满分13分)22xy已知椭圆E：F当i(ab0)的两个焦点与短

24、轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，ab直线l:yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(D求椭圆E的方程及点T的坐标；(I)设O是坐标原点，直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明：存在常数2,使得PT PA PB ,并求的值.22xy4【答案】(I)1,点T坐标为(2,1);(I).635【解析】试题分析：(D由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得aJ2c,从而可得a72b,椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，方程有两个相等实根，解出b的值，从而得到椭圆的标准方程；(D首先设出直线I方.1_2程为y2xm,

25、由两直线方程求出点P坐标，得PT，同时设交点A(xi,y)B(x2,y2),把l方程与椭圆方程联立后消去y得x的二次方程，利用根与系数关系,得 Xi X2,XiX2,再计算PA PB ,比较可得 值.试题解析：(I)由已知,a2 a2 (2c)2,即a J2c ,所以a瓜,则椭圆 E的方程为x y2b2 b21.22二21.由方程组2b2b2得3x212x(182b2)0.yx3,方程的判别式为二24(b23),由=0,得b2=3,此方程的解为x=2,22所以椭圆E的方程为1.63点T坐标为(2,1)22xy由方程组 631y 2X1,可得m,方程的判别式为二 16(9由得X1X2二4m,X1

26、X23所以PA(2 2m X1)2同理PB2522m3X2所以PAPB4(22m3_ 223x 4mx (4m12) 0 .2m2),由 03、2解得23,2210 2一m .9故存在常数4-使得PT 54m2 1232m 2(13y1)25 22m3为）（22m3PA考点：椭圆的标准方程及其几何性质24.12015高考重庆，理21】如题（21）F1,F2,过F2的直线交椭圆于 P,Q两点,(1)若 PF1(2)若 PF1X2)PB .图，椭圆且PQ2 X 2 a2 y b2b 0的左、右焦点分别为PF1历,求椭圆的标准方程PQ,求椭圆的离心率e.2_【答案】(1)+y2=1;(2)66334

27、试题解析：（1）本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参（2）要求椭圆的数的值，而由PQPR,应用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得;离心率，就是要找到关于a,b,c的一个等式，题中涉及到焦点距离，因此我们仍然应用椭圆定义，设PF1m,则 PF2 2a m, QF2PQ PF2 m (2a m) 2m 2a,于是有QF12aQF24a2m,这样在RtPQF1中求得m2(2J2)a,在RtPF1F2中可建立关于a,c的等式，从而求得离心率由椭圆的定义，2a=|PFi|+|PF2|=(2+J2)+(2-J2)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因

28、此22一一2c=|F1F2 |= |PF |2+|PF2|2=(2+2)+(2-2)=23,即c=3.从而b=a-c=12故所求椭圆的标准方程为+y2=1.4由椭圆的定义，|PE|+1PX|=2a,|QFi|+1QF2|=2a，从而由|PE|=|PQ|=|PF21+|QF21,有|QFi|=4a-2|PFi|又由PFiPF2,|PF1|二|PQ|知|QF|二五|PF|,因此(2+五)|PF1|二4a3.解法二：如图(21)图由椭圆的定义，|PF|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a，从而由|PFi|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QFi|=4a-21PHi又由PF,PE,|

29、PF,|二|PQ|知|QF|=V2|PF|,因此4a-2|PE|=V2|PF|,|PF|=2(2-V2)a,从而|PF|=2a-|PF|=2a-(2-扬a=2(我-i)a由PFiPF2,|PF|2+|PF212=|PF212=(2c)2=4c2,因此【考点定位】考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力.x2y225.120i5高考安徽，理20】设椭圆E的方程为二唱iab0,点O为坐标原点，点Aab的坐标为a,0，点B的坐标为0,b，点M在线段AB上，？t足BM2MA,直线OM的斜率为吏.i0(II)设点C的坐标为 0, b ,(I)求E的离心率e;N为线段AC

30、的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐E的方程.【解析】(I) 2-5 ;5(II)2X45(I)由题设条件知，点M的坐标为(2a!b)，又m 3 310b2a得 a .5b,c , a2 b22b,(II)由题设条件和(I)的计算结果可得，直线 AB的方程为-A-、,5bN的坐标为,5丁,1-b),设点 2N关于直线AB的对称点S的坐标为(X1,-)2则线段NS的中点T的坐标为(小二，lb一).又点T在直线AB上,且 4kNS kAB1,从而有b4 ；5b72Xi2b.5bX1 T1b4_ b解得b 3,所以a 3J5 ,故椭圆E的方程为2X45【考点定位】1.椭圆的离心率;2.椭圆的标准方

31、程；3.点点关于直线对称的应用26.12015高考福建，理18】已知椭圆E:2-+2=1(ab0)过点(0,V2),且离心率为.ab2(I求椭圆E的方程;(I设直线x=my-1,(m?R)交椭圆E于A,B两点,一，9,，一判断点G(-9,0)与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.4【答案】(1铝+乙=1；(i)G9,0)在以AB为直径的圆外.424【解析】解法一：(I由已知得=2,=T, :b2 +c2,ia=2?解得力=J2?_?c=222所以椭圆E的方程为土+L=1.42,22/22、=(m +i)(yo - yi y2),(m+1)(yi+y2)-4yy2故 |GH|2-|AB|

32、2= myo + (m2+1)yiy2+25 =2165m23(m2+1) 25 _ 17m2+22-2+=22(m2 + 2)m2+216 16(m2 + 2)04所以|GH|世，故G(-9,0)在以AB为直径的圆外.24解法二：(I同解法一.uur9uur9(I设点A(x1y1),B(x2,y2),则GA=(x1+,yJGB=(x?+,y2).442m,y1y2 = m +2 m +2?x=my-1由ix2v2得(m2+2)y2-2my-3=0，所以y1+y2=?+=1?42uuuruuu9955从而GAgGB=(x1+)(x2+)+y1y2=(my1+)(my2+)+y1y24444uuur uuuruuu uuur所以cosJGA,GB 0,又GA,GB不共线，所以DAGB为锐角.一.9一故点G(-,0)在以AB为直径的圆外.4【考点定位】1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆