常微分方程解的延伸

1、§3 解的延伸§1的定理1只肯定了在相当广泛的条件之下，解在区间上存在，其中，.当很大时，可能很小，甚至出现的定义域扩大后，Cauchy问题的解的存在区间反而缩小的现象.例如Riccati方程的Cauchy问题当时，而当时，.由此看到，反而，这说明在上，由定理1得到的Cauchy问题的解在有定义，至少可以把此解延伸在上仍有定义.仅仅知道解局部存在，在许多情形下往往不能满足需要.我们的问题是：能否将一个在小区间上有定义的解延伸到比较大的区间上去呢？这就是本节所要讨论的问题.设微分方程经过点的解有如下表达式， （）其中表示的最大存在区间.先考察积分曲线在点右侧的延伸情况.令为在

2、点右侧的最大存在区间，即.若，则积分曲线在区域内就延伸到无穷远，因此也就延伸到区域的边界.否则，就只有下面两种可能：1） 是有限闭区间.令，其中，方程与条件的解存在于区间上，当时，我们按下述方式把解向右延伸：令，则.因为区域是一个开集，所以存在矩形区域：: , ,使得.由定理3，在上，方程至少有一个解满足初始条件.令显然是方程的满足条件的在区间上有定义的解.因此，它是积分曲线在区间上的表达式.由于已设积分曲线的最大右侧存在区间为，从而必包含，与假设矛盾.故比可能是有限闭区间.2） 是有限半开区间.令，其中，而当时，有.下证对任何有限闭区域，不可能使，对一切成立.事实上，若不然，设是内一个有限闭

3、区域，使得成立，则有和， 当 它等价于， （） 由于在有限闭区域上是连续的，故在上有上界，再由和可推知，在上有上界，再由拉格郎日中值公式即可推得 ， 当.由此可证，当时，的极限存在，设为，即 令可知这样定义的函数是连续的，从而由和可知，在上满足.由上一节定理1的证明知，在区间上是微分方程的满足初值条件的一个解.这也就是说，上面的积分曲线可延伸到区间上，这与的最大存在区间为矛盾.故对任何有限闭区域，关系式是不可能成立的.由上述讨论可知，积分曲线在点的右侧将延伸到区域的边界.同理可证，积分曲线在点的左侧也将延伸到区域的边界.把上面的结果写成一个定理，即有定理4 设为区域内一点，并设是积分方程经过点

4、的任一条积分曲线，则积分曲线将在区域内延伸到边界.由定理1和定理4立即可得如下推论.推论 设函数在区域内连续，且对满足局部的李普希兹条件，则微分方程经过内任一点存在唯一的积分曲线，并且在内延伸到边界.例1 在平面上任取一点，试证初值问题： ，的右行解（即从点出发向右延伸的解）都在区间存在.证 记，它在全平面上连续.对于平面上任意一个包含点的区域，在上一致连续，所以对，亦即在上满足李普希兹条件，从而由上面的推论可知，初值问题的解存在且唯一，并且可以延伸到的边界.不难看出，直线：是微分方程所对应的线素场的水平等斜线，且线素的斜率在上方为负，因而积分曲线在上方是单调下降的，而在下方线素的斜率为正，故

5、积分曲线在下方是单调上升的.现设位于的上方，即有.利用的右行解在条形域: 上的延伸定理，以及积分曲线在上方的单调下降性，可推知必与相交（如图 ）.再设位于直线上或其下方，即.那么在区域: 上应用右行解的延伸定理，可知的解可延伸到的边界.又由前面讨论知，在下方积分曲线是单调上升的，且它在向右延伸时不可能从水平等斜线的下方穿越到上方.因此，积分曲线必可延伸到.例2 研究定义于条形区域: 中的方程.这里处处连续，且在条形区域中的任一点的领域内满足李普希兹条件.方程的通解为，此外还有特解.很显然，积分曲线的两端都能达到的边界.可以算出，经过点的积分曲线是，它的左端能达到，但右端当时，故不能达到的边界.

6、仿此，经过点的积分曲线是，它的右端能达到，但在左端当时，故不能达到的边界.（如图 ）例2说明，微分方程解的最大存在区间因解而异.对不同的解，需要在不同的区间上进行讨论.因此，当我们不知道解的最大存在区间时就无法对解进行研究，下面的定理在一定条件下为我们克服了这个困难.定理5 设微分方程其中函数在条形区域: 内连续，而且满足不等式其中和在区间上是连续的.则微分方程的每一个解都以区间为最大存在区间.证 设方程满足初值条件，的一个解为：.要证的最大存在区间为.用反证法.设它的右侧最大存在区间为，其中是常数，在的两侧分别取常数，使得，且.由假设条件知，、在有限闭区间上是连续有界的.设分别为它们的正的上界，从而由可得， （） 不妨设,由于在上存在，于是有，.现以点为中心作一矩形区域.这里正数是充分大.显然，.再由有， 成立.令，再以点为中心作一矩形区域.显然，在内应用定理4，可以推知，微分方程过的解必可向右延伸到的边界.另一方面，由式可知，解在内必停留在扇形区域.因此，解可向右延伸到,又由于及.