导数的几何意义

1、3.1.3导数的几何意义学习目标：1.理解导函数的概念；理解导数的几何意义.2. 会求导函数(重点)3. 根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程(重点、难点)自 主 预 习·探 新 知导数的几何意义(1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于极限位置，这个极限位置的直线PT称为曲线在点P处的切线(2)导数f(x0)的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数就是切线的斜率k，即k f(x0)(3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)思考1：是否任何曲线的割线均有斜率？提示不是，当曲线的割线垂直于x轴时，此割线的斜率

2、不存在思考2：当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？提示kn无限趋近于切线PT的斜率k.基础自测1思考辨析(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个交点()(3)设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线与x轴平行或重合()提示(1)×(f(x0)0，而f(x0)可以为任意实数(2)(3)2函数y在处的切线方程是()Ay4xBy4x4Cy4x4 Dy2x4B先求y的导数：y， ，即y，所以y在点处的切线斜率为ky|4.所以切线方程是y24，即y4x4.3若函数f(x)在x0处的导数f(

3、x0)，则函数f(x)在x0处的切线的倾斜角为_. 【导学号：73122211】60°设倾斜角为，则tan f(x0)，所以60°.合 作 探 究·攻 重 难求切点坐标已知抛物线y2x21，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30?解设点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0·x2(x)2.4x02x. 4x0，即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为45°，斜率为tan 45°1，即f(x0)4x0

4、1，得x0，该点为.(2)抛物线的切线平行于直线4xy20，斜率为4，即f(x0)4x04，得x01，该点为(1,3)(3)抛物线的切线与直线x8y30垂直，斜率为8，即f(x0)4x08，得x02，该点为(2,9)规律方法根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0).(2)求导函数f(x).(3)求切线的斜率f(x0).(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.跟踪训练1若曲线yx22ax与直线y2x4相切，求a的值并求切点坐标. 【导学号：73122212】解设切点坐标为(x0，y0)f(x0x

5、)f(x0)(x0x)22a(x0x)x2ax02x0·x(x)22a·x，2x02ax， 2x02a，f(x0)2x02a，2x02a2. 又y02x04， y0x2ax0， 联立消去a，y0得x0±2，当x02时a1，切点坐标为(2,0)；当x02时a3，切点坐标为(2，8).求切线方程探究问题1曲线的割线与切线有什么关系？提示(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线(2)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线2曲线在某点处切线与在该点处的导数有什么关系

6、？提示(1)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率(2)函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0)处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)在x0处有切线，但不可导已知曲线C：yf(x)x3.求曲线C上在点(1，f(1)处的切线方程. 【导学号：73122213】思路探究解y(1x)31(x)33(x)23(x)，f(1) (x)23(x)33.又f(1)1，曲线C上在点(1，f(1)处的切线方程为y13(x1)，即3xy20.母题探究：1.(变换条件)本典例曲线方程不变，试求过点P(1,1)与曲线C相切的直线方程解设切点为P

7、(x0，x)，切线斜率为kf(x0) 3x3x·x0(x)23x，故切线方程为yx3x(xx0)又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得1x3x(1x0)，有(1x0)(1x0x)3x(1x0)0，所以(x01)2(2x01)0，解得x01或x0.故所求的切线方程为y13(x1)或y，即3xy20或3x4y10.2(改变问法)本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？解由得x33x20，即(x1)2(x2)0.解得x11，x22，从而求得公共点P(1,1)，Q(2，8)即切线与曲线C除了切点外，还有其他的公共点规律方法(1)求曲线在某点处的切线方程的三个步骤(2)求曲线yf(x)

8、过点P(x0，f(x0)的切线方程：设切点为(m，f(m)；求函数yf(x)在点m处的导数f(m)；根据直线的点斜式方程，写出切线方程为yf(m)f(m)(xm)；代入P(x0，f(x0)求出m的值，回代即可求出切线方程提醒：求曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，点P(x0，y0)不一定是切点.导数几何意义的应用如图3­1­5所示表示物体运动的位移随时间变化的函数f(t)4t2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t2时的切线方程图3­1­5思路探究本题考查导数几何意义的应用，明确导数的几何意义

9、是解题的关键f(x0)表示曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率，要比较f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况，即比较切线的倾斜程度解用曲线f(t)在t0，t1，t2处的切线刻画曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况(1)当tt0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；(2)当tt1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f(t1)<0，所以在tt1附近曲线下降，即函数f(t)在tt1附近单调递减；(3)当tt2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f(t2)<0，所以在tt2附近曲线下降，即函数f(t)在tt

10、2附近也单调递减由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢；(4)当t2时，f(2)0.在t2时的切线的斜率kf(2) (2t4)4.所以切线的方程为y4(x2)，即4xy80.规律方法导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合.跟踪训练3.(1)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图3­1­6所示，则该函数的图象是 ()图3­1­6(2)

11、已知函数f(x)在区间0,3上的图象如图3­1­7所示，记k1f(1)，k2f(2)，k3kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为_(请用“>”连接)图3­1­7(1)B(2)k1k3k2(1)由函数yf(x)的导函数yf(x)的图象自左到右先增后减，可知函数yf(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小(2)由导数的几何意义，可得k1>k2.k3表示割线AB的斜率，k1k3k2.当 堂 达 标·固 双 基1已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为()A4B16C8D2Cf(2) 8.2若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则() 【导学号：73122214】Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1Af(0) (xa)a1.又(0，b)在xy10上，所以b1.故选A.3如图3­1­8所示的是yf(x)的图象，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()图3­1­8Af(xA)f(xB) Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB) D不能确定B分别过A，B两点曲线的切线，由切线的斜率知kBkA，f(xB)f(xA)故选B.4已知函数yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为yx2，则f