第6章多元函数微积分

1、3/10/20221第六章 多元函数微积分第一节 空间解析几何简介第二节 向量及其运算第三节 多元函数的概念第四节 多元函数的导数第五节 全微分第六节 多元函数的极值和最值第七节 二重积分3/10/20222第一节 空间解析几何简介6.1.1 空间直角坐标系6.1.2 空间两点间的距离第六章 多元函数微积分6.1.3 平面6.1.4 简单的二次曲面3/10/20223空间直角坐标系 过空间定点O作三条互相垂直的数轴，各个数轴的正向符合右手法则，形成了空间直角坐标系每两条坐标轴确定的平面为坐标面，三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限3/10/20224设P为空间一点，过点P分别作垂

2、直于三个坐标轴的平面，分别 与x轴、y轴、z轴相交于A、B、C三点，且这三点在x轴、y轴、 z轴上的坐标依次为zyx、，有序数组zyx、就称为点P的坐标， 记为 P（zyx、） 点的空间直角坐标3/10/20225各卦限点的坐标特征3/10/20226设空间一点的坐标为z , y, xM 关于xOy面的对称点的坐标为z, y, xM 空间坐标系下点的对称关于x轴的对称点的坐标为z, y, xM 关于原点的对称点的坐标为z, y, xM 3/10/20227示 例在空间直角坐标系中，求出点 关于 面、 轴、原点的对称点的坐标)2 , 1 , 3(Ayozy点 关于 面的对称点为 )2 , 1 ,

3、 3(Ayoz2 , 1 , 3点 关于 轴的对称点为 )2 , 1 , 3(Ay2, 1 , 3 点 关于原点的对称点为 )2 , 1 , 3(A2, 1, 33/10/20228空间两点间的距离空间中),(111zyxA和),(222zyxB两点之间的距离为 212212212)()()(zzyyxxd3/10/20229示 例在 轴上求与 和 等距离的点z)2, 5 , 3(B)7 , 1 , 4(ABCAC 设所求的 轴上的点的坐标为z), 0 , 0(zC222222)2(53)7(14zz所求点坐标为)914, 0 , 0(914z由题意可得 3/10/202210空间中的平面空间

4、直角坐标系中，满足方程0DCzByAx的点在平面上， 平面上的点的坐标满足方程，所以称0DCzByAx为平面的方程 空间直角坐标系中，将三元一次方程)0(0不全为CBADCzByAx、称为平面的一般方程一般方程 3/10/202211示 例求过点 的平面方程), 0 , 0()0 , 0()0 , 0 ,(cRbQaP、0DCzByAx000DCcDBbDAa平面方程为0DcDzbDyaDxcDCbDBaDA,由题意可得 设平面方程为 1czbyax截距式方程3/10/202212示 例0DCzByAx0D平面方程为0320CBAA因为所求平面过原点，所以设平面方程为 023 zy求过点 和

5、轴的平面方程)3 , 2 , 1 (Px032CBA由平面过点 得 )3 , 2 , 1 (P又所求平面过 轴，所以任取 轴上一点 ，得 xx)0 , 0 , 1 (3/10/202213平面方程图形的特点3/10/202214示 例分别说出 表示的图形000zyx、0 x表示yOz面 0y表示xOz面 0z表示xOy面 3/10/202215示 例画出 的图形01 zy3/10/202216简单的二次曲面如果空间曲面上的任一点的坐标（zyx、）都满足方程 0)(zyxF、，而满足0)(zyxF、的（zyx、）值均在 曲面上，则称0)(zyxF、为曲面的方程 若方程是二次的，所表示的曲面为二次

6、曲面二次曲面3/10/202217简单的二次曲面球面 空间中与一定点的距离为定长的点的轨迹称为球面，定点称为球心，定长称为半径 设球心),(cba，半径为R，则球面方程标准形式为 2222)()()(Rczbyax3/10/202218示 例方程 表示怎样的曲面？0122222222zxzyx方程可整理为 1)21()21(222zyx所以，原方程表示球心在 ，半径为1的球面 )21, 0 ,21(3/10/202219简单的二次曲面母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程 将一直线L沿一给定的平面曲线C平行移动，直线L的轨迹形成一曲面，称之为柱面其中，直线L称为柱面的母线，曲线C

7、称为柱面的准线 设柱面的准线是xOy面上的曲线C: 0,yxF，柱面的母线 平行于z轴,则方程0,yxF就是母线平行于z轴的柱面的方程。 3/10/202220示 例指出 在空间直角坐标系中是什么图形.222Rzx因为方程中不含有字母y，所以在空间坐标系中 222Rzx表示一个柱面，其母线平行于y轴 它是以xOz面上的圆222Rzx为准线，母线 平行于y轴的圆柱面 3/10/202221简单的二次曲面以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程 将xOy面上的曲线0),(yxf绕x轴旋转一周得到的 旋转曲面的方程为0),(22zyxf 将xOy面上的曲线0),(yxf绕y轴

8、旋转一周得到的 旋转曲面的方程为0),(22yzxf 3/10/202222球面、柱面、旋转曲面方程的特征球面、柱面、旋转曲面方程的特征 3/10/202223示 例下列各方程分别表示什么图形：36) 1 (22 yx由于方程中缺少字母z，故其图形为一柱面它表示母线平行z轴， 以xOy面上曲线3622 yx为准线的双曲柱面 3/10/202224222)2(zyx示 例由于222zyx，其中22, yz的系数相等，所以可判定出是旋转曲面 曲面可写为22zyx，所以它是xoy由面上的直线yx绕x轴 旋转而成的圆锥曲面 3/10/20222512443)3(222zyx方程12443222 zyx

9、中22zy ,系数相同，所以可判定为旋转曲面 曲面方程可化为12)(432222zyx，所以它是由xoy面上的 曲线124322yx绕x轴旋转而成的旋转椭球面 示 例3/10/202226第二节 向量及其运算6.2.1 向量的概念6.2.2 向量的几何运算第六章 多元函数微积分6.2.3 向量的坐标表示法6.2.4 向量的数量积和向量积3/10/202227既有大小又有方向的量，叫做向向量量或或矢矢量量，一般记为AB，AC或cba,等 向量的大小称为向量的模模，用a或AB表示 模为l的向量称为单位向量单位向量，模为0的向量称为零向量零向量方向相同，模相等的向量称为相等向量相等向量，记作a=ba

10、=b可以自由平移的向量称为自由向量自由向量向量的概念与向量b的模相等而方向相反的向量称为b的负向量负向量，记作b3/10/202228向量的几何运算加法运算 平行四边形法则设两个非零向量a a，b b，有共同的起点，则以为起点、以a a，b b为 邻边的平行四边形的对角线OC表示向量a a与b b的和和，记为ba 平移向量b至向量a的终点，以a的起点为起点，以b的终点为终点 的向量也表示ba 三角形法则3/10/202229减法运算 向量的几何运算由于)( baba，将向 a 和 b 的起点移到同一点，则以 b 的终点 为起点，以 a 的终点为终点的向量是ba 三角形法则3/10/202230

11、数乘向量 向量的几何运算设a是一个非零向量，是一个非零实数，则a与的乘积仍是向量， 称为数乘向量，记作a a的大小为aa a的方向0,0,反向与同向与aa 3/10/202231向量的坐标表示在空间直角坐标系中，与x轴、y轴、z轴的正向同向的单位向量 分别记为 kji,或kji,，称为基本单位向量基本单位向量 设向量OP的起点为坐标原点O，终点为),(zyxP，则向量 kzjyixOCOBOAQPOQOP 由空间两点 111zyxA,和 222zyxB,构成的向量AB的 坐标表示为 kzzjyyixxAB121212 3/10/202232用坐标表示的向量的运算用坐标表示的向量的运算设向量 z

12、yxzyxbbbbaaaa,zzyyxxbabababa,则 zyxaaaa,3/10/202233示 例 14, 7, 74 , 1, 226 , 5, 32ba 2 ,11, 14 , 1, 246 , 5, 3343ba设向量 ，计算4 , 1, 2,6 , 5, 3bababa43,23/10/202234向量的模向量的模设向量 zyxOP, ，则向量OP的模OP为 222zyxOP设A、B两点的坐标为：222111,),(zyxBzyxA， 121212,zzyyxxAB212212212)()()(|zzyyxxAB3/10/202235示 例 1, 1 , 110 , 23 ,

13、21AB3) 1(1) 1(222AB设A、B两点的坐标为)0 , 3 , 1 (),1 , 2 , 2(BA， 求（1）向量AB的坐标表示； （2）向量的模AB 3/10/202236平行向量平行向量设向量 zyxaaaa, ， zyxbbbb, ， abba/zzyyxxbabababa /3/10/202237示 例baa/,2 , 1, 2kkkb2 ,2 设设向量 kjia22与向量b平行，且b为单位向量，求向量b 144222kkk由于b为单位向量，所以 13 k31k2 , 1, 231b3/10/202238两向量的夹角两向量的夹角设有非零向量 a 与 b，且平行移动其中一个向

14、量使它们的起点相同， 在这两个向量所决定的平面内，规定 a 与 b 正方向之间不超过 180O 的夹角为 a，b 的夹角，记作（a?b）或（b?a） 3/10/202239两向量的数量积两向量的数量积两向量ba,的模及其夹角余弦的乘积，称为向量ba,的数量积数量积或点积点积， 记为ba )cos(bababa3/10/202240设向量zyxa,a,aa ，zyxb ,b ,bb ，容易推出它们的数量积为： 0,cos222222zyxzyxzzyyxxbbbaaababababababazzyyxxbabababa两向量的数量积两向量的数量积两向量a与b的夹角为： 3/10/202241示

15、例4) 1()3(12) 1(1ba设向量 kjia32， kjib，求 ba 3/10/202242示 例 ,4 , 3, 437 , 21, 15AB已知四点的坐标：)2 , 3 , 3(),1 , 1 , 1 (),7 , 1, 5(),3 , 2 , 1 (DCBA， 求AB，CD的夹角的余弦 1 , 2 , 212 , 13 , 13CD, 6142324CDAB41434222AB3122222CD4123416cosCDABCDAB3/10/202243两向量的向量积两向量的向量积设有两向量ba,，若向量c满足 （1）)sin(babac （2）c垂直于ba,所决定的平面，它的正

16、方向由右手法则确定 则向量c称为向量ba,的向量积，记为ba，即bac 3/10/202244示 例211111kjibajikjki12) 1() 1(11) 1(1) 1(121kji23设kjia，kjib2，求 ba 3/10/202245二阶行列式11122122aaaa二阶行列式行列式的元素行列式的值112221 12a aa a3/10/202246三阶行列式111213212223313233aaaaaaaaa11223321321331 1223a a aa a aa a a31221321 1233113223a a aa a aa a a3/10/202247第六章 多元

17、函数微积分第一节 空间解析几何简介第二节 向量及其运算第三节 多元函数的概念第四节 多元函数的导数第五节 全微分第六节 多元函数的极值和最值第七节 二重积分3/10/202248第三节 多元函数的概念6.3.1 多元函数的基本概念6.3.2 二元函数的极限与连续第六章 多元函数微积分3/10/202249多元函数的基本概念类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数),(21nxxxfu 设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz （或记为 ) )(Pfz当当时时，元函数统称为

18、元函数统称为多元函数多元函数.2nn多元函数中同样有定义域、值域、自变多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念量、因变量等概念1 多元函数的定义3/10/202250解所求定义域为所求定义域为解所求定义域为所求定义域为122 yx0 yx例1 求求 的定义域的定义域)ln(),(yxyxf.0| ),(yxyxD.1| ),(22yxyxD例2 求求 的定义域的定义域)arcsin(),(22yxyxf3/10/202251例例3 3 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42|

19、 ),(222yxyxyxD 3/10/202252 2 二元函数 的图形),(yxfz 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为D，对于任意，对于任意取定的取定的DyxP),(，对应的函数值为，对应的函数值为),(yxfz ，这样，以，这样，以x为横坐标为横坐标、y为纵坐为纵坐标、标、z为竖坐标在空间就确定一点为竖坐标在空间就确定一点),(zyxM，当当),(yx取遍取遍D上一切点时，得上一切点时，得到到一个空间点集一个空间点集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，这个点集称，这个点集称为二元函数的图形为二元函数的图形. 3/10/202253说明：二元函数的图形通常是一张曲

20、面说明：二元函数的图形通常是一张曲面.3/10/202254xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,如左图球面如左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:3/10/202255定义1 设函数),(yxfz 的定义域为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的正数e e，总存在正数d d，使得对于适合不等式d d 20200)()(|0yyxxPP的一切点，都有e e |),(|Ayxf成立，则称 A A 为函数),(yxfz 当0 xx，0yy时的极限， （或)0(),(r rAyxf这里|0PP

21、r r）. 记为Ayxfyyxx),(lim00二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续3/10/202256说明：（1 1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似3/10/202257二元函数的连续性设函数),(yxf在点),(000yxP的某一邻域内有定义，若当 ),(yxP趋向于),(000yxP时，函数),(yxfz 的极限存在，且 等于它在点),(000yxP处的函数值，即 ),(),(lim00),

22、(),(00yxfyxfyxyx则称函数),(yxf在点),(000yxP处连续 否则称),(yxf在点),(000yxP处不连续或间断 3/10/202258例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 例例.)1(lim100 xyxxy 求求解解1)1(lim100 yxyyxxy原式原式3/10/202259证证其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在例例 证明证明 不存在不存在 24200limyxyxyx取取2kxy 24200limyxyxyx4242202limxkxkxx

23、kxyx21kk3/10/202260（2） 令令),(yxP沿沿kxy 趋向于趋向于),(000yxP，若若极限值与极限值与k有关，则可断言极限不存在有关，则可断言极限不存在； 确定极限不存在的方法：1（ ）找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处极限不存在处极限不存在),(lim00yxfyx3/10/202261例例 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 222203

24、limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)(0,0)处不连续处不连续3/10/202262有界闭区域上二元函数的定理在有界闭区域上连续的二元函数在该区域上一定能取得最大值和最小值 定理一定理一 定理二定理二 在有界闭区域上连续的二元函数必能取得介于它的两个最值之间的任何值至少一次 3/10/202263第六章 多元函数微积分第一节 空间解析几何简介第二节 向量及其运算第三节 多元函数的概念第四节 多元函数的导数第五节 全微分第六节 多元函数的极值和最值第七节 二重积分3/10/202264第四节 多元函数的导

25、数6.4.1 偏导数6.4.2 高阶偏导数第六章 多元函数微积分6.4.3 多元复合函数的求导法6.4.4 隐函数求导公式3/10/202265一、偏导数的定义及其计算法偏增量：设函数在点的某邻域设函数在点的某邻域),(yxfz ),(yxP内有定义为该邻域内的点内有定义为该邻域内的点),(yxxP称函数的增量称函数的增量 为关于为关于),(),(yxfyxxf的偏增量，的偏增量，x称函数的增量称函数的增量),(),(yxfyxxf为关于的偏增量为关于的偏增量y3/10/202266定义定义 设函数),(yxfz 在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0 x处有增量x 时，

26、相应地函数有偏增量),(),(0000yxfyxxf 如果存在，则称此极限为函数),(yxfz 在点),(00yx处对x的偏导数，记为xyxfyxxfx),(),(lim000003/10/202267同理同理 函数函数),(yxfz 在点),(00yx处对处对y的偏的偏导数导数，可定义为可定义为 ，或. 00yyxxxz00yyxxxf00yyxxxZ),(00yxfx 00yyxxyz00yyxxyf00yyxxyZ),(00yxfy或yyxfyyxfy),(),(lim000003/10/202268偏导数设函数),(yxfz 在点),(00yx的某一邻域内有定义， 若 xyxfyxxf

27、x),(),(lim00000 存在，则称此极限值为 ),(yxfz 在点00, yx处对x的偏导数，记为),(00yxxz 3/10/202269xz 记作记作，或或. xfxZ),(yxfx如果函数如果函数在区域在区域内任一点内任一点处对处对的偏导数都存在，那么这个偏导数的偏导数都存在，那么这个偏导数就是就是的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数对对自变量自变量的偏导数的偏导数，),(yxfz D),(yxxyx ,),(yxfz x类似可定义函数类似可定义函数对自变量对自变量的偏导的偏导),(yxfz y数，记作数，记作，或或. yzyZ),(yxfyyf3/10/202270偏导数的

28、概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如三元函数如三元函数 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 3/10/202271偏导数求法 在求函数对某一个自变量的偏导数时，应把其余变量看作常量，而对该变量求导 3/10/202272例例 求求 223yxyxz 在点在点)2, 1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213

29、3/10/202273证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立3/10/202274解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy 例例 设设22arcsinyxxz ，求，求，.xz yz 3/10/202275 yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在3/10/202276偏偏导导数数xu 是是一一个个整整体体记记号号，不不能能拆拆分分;有关偏导数的几点说

30、明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；3/10/202277示 例yxxz232yxyz22 求 在 点处的两个偏导数. 232yxyxz) 1 , 1 (51 , 1xz41 , 1yz3/10/202278示 例1yxyxzxxyzyln设 ，求)0( xxzyyzxz,3/10/202279示 例zzuyyuxxu2,2,2uzyxzuyuxu4)(4222222设 ，证明222zyxuuzuyuxu42223/10/202280但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. .偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续

31、的关系一元函数在某点可导连续一元函数在某点可导连续多元函数在某点偏导数存在，函数是否连续？多元函数在某点偏导数存在，函数是否连续？例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf依定义知在依定义知在处处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.)0 , 0(3/10/202281偏导数的几何意义二元函数),(yxfz 在点),(00yx处的偏导数，是一元函数 ),(0yxfz 及),(0yxfz 分别在点0 xx 及0yy 处的导数 因此二元函数),(yxfz 的偏导数的几何意义是曲线切线的斜率 3/10/202282偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(),

32、(00000上一点上一点为曲面为曲面设设yxfzyxfyxM 如图如图3/10/202283 偏导数偏导数),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线xTM0对对x轴的轴的斜率斜率. ),(00yxfy0 xx 偏导数偏导数就是曲面被平面就是曲面被平面所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线yTM0对对y轴的轴的斜率斜率.几何意义几何意义: :3/10/202284高阶偏导数对函数),(yxfz 的两个偏导数xz，yz而言，一般仍然是 yx,的函数，如果这两个函数关于yx,的偏导数也存在，则称它们 的偏导数是),(yxf

33、的二阶偏导数 3/10/202285二阶偏导数分别为： 二阶偏导数 2),(xyxyzyxfyxzxzy 2),(yxyxzyxfxyzyzx 22),(yyyyzyxfyzyzy 22),(xxxxzyxfxzxzx二阶混合偏导数3/10/202286若函数),(yxfz 在区域D上两个混合偏导数yxz2，xyz2连续， 则在区域D上有xyzyxz22 二阶混合偏导数的定理3/10/202287示 例yeyzyexzxxsin,cosyexyzyexzxxsin,cos222求 的所有二阶偏导数yezxcosyeyzyeyxzxxcos,sin2223/10/202288示 例xyxyexy

34、zeyxz,xyxyexyzeyxz222222,求 的二阶偏导数xyeyxz),(xyxyexyeyxz23/10/202289解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx3/10/202290 例例设设byeuaxcos ，求二阶偏导数，求二阶偏导数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 3/10/

35、202291问题：问题：定定理理 如如果果函函数数),(yxfz 的的两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数xyz 2及及yxz 2在在区区域域 D D 内内连连续续，那那末末在在该该区区域域内内这这两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数必必相相等等混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？3/10/202292多元复合函数的求导法如果函数),(vufz 在点),(vu可导，而),(yxu，),(yxv在 点),(yx都存在偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz在点),(yx的两 个偏导数存在且有 xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz链式法则链式法

36、则3/10/202293示 例xvvzxuuzxz11ln22vuyvu222)()ln(2yyxxyyxx设 ，求yxvyxuvuz,ln2yzxz,yvvzyuuzyz) 1(ln222vuyxvu2232)()ln(2yyxxyyxx3/10/202294示 例dtdvvzdtduuzdtdz)sin(lncos1tuutuvvvtutuvuvsinlncos设 ，求tvtuuuzvcos,sin),0(dtdzttttttsinlnsinsincossin2cos3/10/202295示 例xfxuugxzu2 yfyuugygyzu21 xfxyxfxyyzxxzyuu22设 ，其中

37、 可导，证明22),(yxuufyzxyzxxzyf3/10/202296隐函数求导法则设0),(zyxF确定了),(yxzz ，若xF，yF, zF连续，zF0 ,zyzxFFyzFFxz3/10/202297上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. .如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdzuvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz3/10/202298解1cossinveyveuu),cossin(vvyeu1cossinvexveuu).cossin(vvxeu例 设，而， 求 和和.xzyzvezusinxyu

38、yxvxvvzxuuzxzyvvzyuuzyz3/10/202299例 设tuvzsin ，而，而teu ，tvcos ， 求全导数dtdz.解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 3/10/2022100示 例4cos3)sin(),(xyyxyxF设xyyyxFxsin3)cos(xyxyxFysin3)cos(设 ，求4cos3)sin(xyyxdxdyxyxyxxyyyxFFdxdyyxsin3)cos(sin3)cos(则3/10/2022101示 例432),(222zyxzyxF设zF

39、yFxFzyx642，则zxxxzxxz3222设 ，求432222zyx22xzxz，zxzxFFxzyx3262232zxzxz3229)23(2zxz 3/10/2022102第六章 多元函数微积分第一节 空间解析几何简介第二节 向量及其运算第三节 多元函数的概念第四节 多元函数的导数第五节 全微分第六节 多元函数的极值和最值第七节 二重积分3/10/2022103第五节 全微分6.5.1 全微分的概念与计算6.5.2 全微分的应用第六章 多元函数微积分3/10/2022104),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函数数对

40、对x和和对对y的的偏偏微微分分 二元函数二元函数对对x和对和对y的的偏增量偏增量由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得3/10/2022105 全增量全增量的概念 如果函数如果函数在点在点的某邻域内的某邻域内有定义，并设有定义，并设为这邻域内的为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差任意一点，则称这两点的函数值之差),(yxfz ),(yx),(yyxxP即即),(),(yxfyyxxfz为函数在点为函数在点对应于自变量增量对应于自变量增量的全增的全增量，记为量，记为zPyx ,),(),(yxfyyxxf3/10/2022106全微分的定义函数若在某区域

41、函数若在某区域内各点处处可微分，内各点处处可微分，则称这函数在则称这函数在内可微分内可微分.DD 如果函数如果函数在点在点的全增量的全增量可以表示为可以表示为，其中其中BA,不依赖于不依赖于而仅与而仅与有关，有关，则称函数则称函数在点在点可微分，可微分，称为函数称为函数在点在点的的全微分全微分，记为记为，即即 . .),(yxfz ),(yx),(),(yxfyyxxfz)(r royBxAzyx ,yx,22)()(yxr r),(yxfz ),(yxyBxA),(yxfz ),(yxdzyBxAdz3/10/2022107若二元函数),(yxfz 在点),(00yx的全增量 ),(),(0

42、000yxfyyxxfz可表示为),(00yxxzz),(00yxyzx)(roy ， 22)()(yxr全微分3/10/2022108则称),(00yxxzz),(00yxyzxy为),(yxfz 在),(00yx 处的全微分，记为zd yyxyzxyxxzyxz),(),(,d000000也称函数),(yxfz 在点),(00yx可微 全微分3/10/2022109全微分相关定理定理一定理一 定理二定理二 若函数),(yxfz 在点y, x处可微，则它在点y, x处连续 若函数),(yxfz 在点y, x处可微，则它在y, x处偏导数一定存在 定理三定理三 若函数),(yxfz 的两个偏导

43、数在点y, x处存在且连续，则),(yxfz 在该点可微 可微的必要条件可微的必要条件可微的充分条件3/10/2022110示 例),(),(0000yxfyyxxfz020020yxyyxx11. 029 . 021. 1) 11 ()9 . 01 . 1 (2求 在点 处，当 时的全增量及全微分yxz2) 1 , 1 (1 . 0, 1 . 0yx3/10/202211111, 221 , 11 , 11 , 11 , 1yzxxz1 . 01 . 011 . 02dyyzxxzz示 例3/10/2022112示 例yyzxxzzdddxyxyxeyzyexz,yxexyezxyxyddd

44、设 ，求xyez zd3/10/2022113一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222yxyxyxxyyxf在点在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff3/10/2022114)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx,)()(22yxyx如果考虑点如果考虑点),(yxP 沿着直线沿着直线xy 趋近于趋近于)0 , 0(，则则r r22)()(yxyx22)()(xxxx,21说明它不能随着说明它不能随着0趋于趋于r r而趋于而趋于0,0r

45、 r当当 时，时，),()0 , 0()0 , 0(r royfxfzyx函数在点函数在点)0 , 0(处不可微处不可微.3/10/2022115说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在微分存在. .证),(),(yxfyyxxfz),(),(yyxfyyxxf),(),(yxfyyxf定理定理3 3（充分条件充分条件）如果函数),(yxfz 的偏导数、在点),(yx连续，则该函数在点),(yx可微分xz yz 3/10/2022116习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到

46、三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况3/10/2022117例例 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分.解解,xyyexz,xyxeyz,2)1 , 2(exz,22)1 , 2(eyz.222dyedxedz所求全微分所求全微分3/10/2022118例例 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4 x， y，4 dx， dy时

47、的全微分时的全微分.解解),2sin(yxyxz),2sin(2)2cos(yxyyxyzdyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 3/10/2022119例例 计算函数计算函数yzeyxu 2sin的全微分的全微分.解解, 1xu,2cos21yzzeyyu,yzyezu所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz3/10/2022120全微分的应用yyxfxyxdzfzyx),(),(0000yyxfxyxfyxfyyxxfyx),(),(,),(00000000可以用来求函数改变量的近似值以及函数的近似值 3/10/2022121示 例yx

48、yxf),(设04. 002. 02100yxyx，取2)2 , 1 ()2, 1(1yxxyf求 的近似值04. 202. 10ln)2 , 1 ()2, 1(xxfyy04. 104. 0002. 021) 1 , 1 () 1 , 1 () 1 , 1 ()02. 1 (04. 2yfxffyx3/10/2022122示 例hrV2315 . 0, 1 . 060,3000hrhr，取，1200|32|60306030hrhrrhrV300|31|603026030hrhrrhV设圆锥的底半径r由 30cm增加到 30.1cm，高h由 60cm减少 到 59.5cm，试求体积变化的近似值

49、 圆锥体积计算公式为 ）（）（33(3 .94)305 . 03001 . 01200cmcmV3/10/2022123多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导3/10/2022124第六章 多元函数微积分第一节 空间解析几何简介第二节 向量及其运算第三节 多元函数的概念第四节 多元函数的导数第五节 全微分第六节 多元函数的极值和最值第七节 二重积分3/10/2022125第六节 多元函数的极值和最值6.6.1 多元函数的极值6.6.2 条件极值问题的拉格朗日乘数法第六章 多元函数微积分3/10/2022126二元函数的极值设函数),(

50、yxfz 在点),(00yx的某邻域内有定义，若在该邻域 不同于),(00yx的点),(yx都有 ),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或则称),(00yxf为),(yxf的极大值（或极小值） 。 3/10/2022127 极大值和极小值统称为极值 使函数取得极大值的点（或极小值的点）称为极大值点 （或极小值点） 极大值点和极小值点统称为极值点二元函数的极值3/10/2022128(1)(1)(2)(2)(3)(3)例例1 1 函数函数2243yxz处有极小值处有极小值在在)0 , 0(例例函数函数处有极大值处有极大值在在)0 , 0(22yxz处有极大值处有极大值在在)0

51、, 0(例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 3/10/2022129极值存在的必要条件设函数),(yxfz 在点),(00yx的偏导数),(00yxfx，),(00yxfy存在， 且在),(00yx处有极值，则在该点的偏导数必为零，即 0),(0),(0000yxfyxfyx驻点3/10/2022130极值存在的充分条件设),(00yx是函数),(yxfz 的驻点，且函数在点),(00yx的邻域内 二阶偏导数连续，且令),(00 yxfAxx，),(00 yxfBxy，),(00 yxfCyy， ACB 2，则 （1）当 0 且 A 0 时，),(00yxf是极大值； 当 0

52、 时，),(00yxf是极小值； （2）当 0，),(00yxf不是极值； （3）当= 0，函数),(yxf在),(00yx可能有极值，也可能无极值 3/10/2022131求二元函数极值的步骤若函数),(yxfz 的二阶偏导数连续，则求该函数极值的步骤如下： 3/10/2022132示 例22) 1( yxz) 1(2,2yzxzyx) 1 , 0(0) 1(202得驻点令，yzxzyx说明函数 无极值.22) 1( yxz处处可微22) 1( yxz若有极值必在驻点达到3/10/2022133)1 , 0( )1 , 0( )1 , 0( 2, 0, 2yyxyxxzCzBzA042ACB

53、无极值处无极值在zz，) 1 , 0(示 例3/10/2022134示 例yxfyxxfyx22,243) 1 (2)2, 2(),0 , 0(022),(0243),(2得驻点(2)令，yxyxfyxxyxfyx求函数 的极值.22322),(yxyxxyxf2, 2, 46)3( yyxyxxfCfBxfA3/10/2022135（4）列表判定 示 例3/10/2022136将将方方程程两两边边分分别别对对yx,求求偏偏导导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( P,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,

54、求求偏偏导导数数,解解3/10/2022137,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )z()z(BAC202122 , 将将)1, 1( P代入原方程代入原方程,3/10/2022138最大值和最小值有界闭区域D上的连续函数一定有最大值和最小值 若已知函数在开区域D内有最大值（或最小值） ，函 数在D内可微，且只有唯一的驻点，则该点的函数 值一般就是所求函数的最大值（或最小值） 3/10/2022139求最值的一般方法： 1 1）将函数在）将函数在D D内的所有驻点处的函数值内的所有驻点处的函数值 2 2）求）求D D的边界上的最大值和最小值的边界上的最大值和最小值

55、 3 3）相互比较函数值的大小，其中最大者）相互比较函数值的大小，其中最大者 即为最大值，最小者即为最小值即为最大值，最小者即为最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值. .多元函数的最值3/10/2022140, 0) 1()(2) 1(22222yxyxyyxzy, 0) 1()(2) 1(22222yxyxxyxzx解解 由由 .例例求求的最大值和最小值的最大值和最小值122yxyxz得驻点得驻点和和,)21,21()21,21(3/10/2022141即边界上的值为零即边界上的值为零.

56、,21)21,21(z,21)21,21(z无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件并无其他条件. .因为因为01lim22yxyxyx所以最大值为所以最大值为，最小值为最小值为21213/10/2022142示 例xyzCDBCABusin2则xyySzyxyzScot,)cot(设有断面面积为S的等腰梯形渠道，设两岸倾角为x、高为y， 底边为z，求zyx,各为多大时才能使周长最小？ u设周长为 ，3/10/2022143)0 ,20(sincos2yxyxxySu，0sincos20sincos2122xxySuyxxuyx得唯一的驻点 )33(

57、4s，由于驻点唯一，又由题意知周长一定有最小值因此 倾斜角3x，高43sy ，底边3324sz时，其周长最小 示 例3/10/2022144要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为 18 元/m2， 侧面造价为 6 元/m2，设计的总造价为 216 元，问如何选取尺寸， 才能使水槽容积最大？ 示 例)0, 0, 0(zyxxyzVzyx,设水槽的长、宽、高分别为 ，则容积为216)22(618yzxzxy36)(23yxzxy即yxxyyxxyz1223)(23363/10/2022145yxyxxyV2212232222)()12()(212(23yxyxxyyxxyyxV2222)(

58、)12()(212(23yxyxxyyxyxxyV示 例3/10/2022146得令00yVxV、0)12()(212(0)12()(212(222222yxxyyxyxxyxxyyxxyy322zyx，因为函数),(yxVV 确有最大值，又只有一个驻点，所以 取长为 2m，宽为 2m，高为 3m，水槽的容积最大 示 例3/10/2022147实例：实例： 小王有小王有200200元钱，他决定用来购买两急元钱，他决定用来购买两急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为数为 设

59、每张磁盘设每张磁盘8 8元，每盒磁带元，每盒磁带1010元，问他如何分元，问他如何分配这配这200200元以达到最佳效果元以达到最佳效果xyyxyxUlnln),(问题的实质：求问题的实质：求 在条件在条件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),(200108yx条件极值、拉格朗日乘数法3/10/2022148条件极值：无条件极值：对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值对自变量除有定义域限制外对自变量除有定义域限制外,无任何其它条件限制的极值无任何其它条件限制的极值3/10/2022149拉格朗日乘数法 要找函数要找函数在条件在条件下的下的可能极值点，可能极值点，),(yxfz

60、0),(yx 其中其中 为某一常数，可由为某一常数，可由先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxF 0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出，其中其中就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标. , yxyx,3/10/2022150拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数在在 下的极值，下的极值，),(tzyxfu 0),(tzyx 0),(tzyx 先构造函数先构造函数),(),(),(),(21tzyxtzyxtzyxftzyxF 其中其中均为常数，可由均为常数，可由 偏导