工程力学第五章

1、第第5章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩5.1 材料力学基础5.1.1 材料力学的任务材料力学的任务w机械及工程结构中的基本组成部分，统称为机械及工程结构中的基本组成部分，统称为构件。构件。w为了保证构件正常工作，每一构件都要有足为了保证构件正常工作，每一构件都要有足够的承受载荷作用的能力，简称为承载能力。够的承受载荷作用的能力，简称为承载能力。w构件的承载能力，通常由下列三个方面来衡构件的承载能力，通常由下列三个方面来衡量：量：w(1)强度。构件抵抗破坏的能力叫作强度。强度。构件抵抗破坏的能力叫作强度。w(2)刚度。构件抵抗变形的能力叫作刚度。刚度。构件抵抗变形的能力叫作刚度。w(3)稳定性

2、。构件保持原有平衡状态的能力叫稳定性。构件保持原有平衡状态的能力叫 w 作稳定性。作稳定性。w为了满足构件在强度、刚度、稳定性三个方为了满足构件在强度、刚度、稳定性三个方面的要求，达到安全可靠的目的，必须为构面的要求，达到安全可靠的目的，必须为构件选择适当的材料、合理的截面形状和尺寸，件选择适当的材料、合理的截面形状和尺寸，同时还必须尽可能地降低材料的消耗量，以同时还必须尽可能地降低材料的消耗量，以符合经济的原则。显然，过分地强调安全，符合经济的原则。显然，过分地强调安全，将会导致材料用量的无谓增加，或者不适当将会导致材料用量的无谓增加，或者不适当地使用优质材料，造成不经济；反之，如果地使用优

3、质材料，造成不经济；反之，如果片面地追求经济，就会降低构件的安全可靠片面地追求经济，就会降低构件的安全可靠性。性。w材料力学的任务是：材料力学的任务是：w研究构件的强度、刚度和稳定性，为构件选研究构件的强度、刚度和稳定性，为构件选择适当的材料、确定合理的截面形状和尺寸择适当的材料、确定合理的截面形状和尺寸提供必要的计算方法和实验技术，以达到既提供必要的计算方法和实验技术，以达到既安全又经济的目的。安全又经济的目的。5.1.2 变形固体及其基本假设5.1.2.1 变形固体变形固体5.1.2.2 变形固体的基本假设变形固体的基本假设 (1)连续均匀假设。连续均匀假设。 (2)各向同性假设。各向同性

4、假设。w材料力学只限于研究物体小变形和弹性变形。材料力学只限于研究物体小变形和弹性变形。所谓小变形，是指构件在外力作用下所产生所谓小变形，是指构件在外力作用下所产生的变形与构件本身的尺寸相比一般都是非常的变形与构件本身的尺寸相比一般都是非常微小，因此，在研究构件的强度和刚度等问微小，因此，在研究构件的强度和刚度等问题时，均按构件原来的尺寸和形状进行计算，题时，均按构件原来的尺寸和形状进行计算，这便是小变形的理论。小变形理论在材料力这便是小变形的理论。小变形理论在材料力学的计算和分析中有着重要意义。弹性变形学的计算和分析中有着重要意义。弹性变形是指引起构件变形的外载荷撤除以后能够完是指引起构件变

5、形的外载荷撤除以后能够完全消失的形变。工程中构件的变形，一般都全消失的形变。工程中构件的变形，一般都属于弹性范围以内的小变形。属于弹性范围以内的小变形。 w总之，材料力学是将构件的材料看作均匀、总之，材料力学是将构件的材料看作均匀、连续、各向同性的变形固体，而且主要是按连续、各向同性的变形固体，而且主要是按小变形理论在材料弹性范围以内进行研究。小变形理论在材料弹性范围以内进行研究。5.1.3 杆件变形的基本形式w所谓杆件，是指长度尺寸远大于其他两个方所谓杆件，是指长度尺寸远大于其他两个方向尺寸的构件。向尺寸的构件。w杆件的几何特征可用轴线杆件的几何特征可用轴线(杆件横截面形心的杆件横截面形心的

6、连线连线)和垂直于轴线的横截面来表示。轴线为和垂直于轴线的横截面来表示。轴线为直线的杆件称直杆；横截面的大小和形状完直线的杆件称直杆；横截面的大小和形状完全相同的杆件称为等截面杆。材料力学研究全相同的杆件称为等截面杆。材料力学研究的对象主要是等截面直杆，简称等直杆。的对象主要是等截面直杆，简称等直杆。w杆件在外力作用下发生的基本变形有下列四种：杆件在外力作用下发生的基本变形有下列四种：w(1)拉伸与压缩。这种变形的特点是杆件在轴线拉伸与压缩。这种变形的特点是杆件在轴线方向发生伸长或缩短。方向发生伸长或缩短。w(2)剪切。这种变形的特点是杆件的横截面间发剪切。这种变形的特点是杆件的横截面间发生相

7、对错动。生相对错动。w(3)扭转。这种变形的特点是杆件的横截面绕其扭转。这种变形的特点是杆件的横截面绕其轴线发生相对转动。轴线发生相对转动。w(4)弯曲。这种变形的特点是原为直线的轴线变弯曲。这种变形的特点是原为直线的轴线变成曲线。成曲线。5.2 轴向拉伸和压缩5.2.1 拉伸和压缩的概念拉伸和压缩的概念w拉伸和压缩是指直杆在两端受到沿轴线作用拉伸和压缩是指直杆在两端受到沿轴线作用的拉力或压力而产生的变形。的拉力或压力而产生的变形。w杆件的受力特点是：作用在杆端各外力的合杆件的受力特点是：作用在杆端各外力的合力作用线与杆件轴线重合力作用线与杆件轴线重合w变形特点是：杆件沿轴线方向伸长或缩短变形

8、特点是：杆件沿轴线方向伸长或缩短5.2.2 拉压杆的内力5.2.2.1 内力的概念内力的概念w材料力学中所说的内力，则是指构件受到外材料力学中所说的内力，则是指构件受到外力作用时所引起的构件内部各质点之间相互力作用时所引起的构件内部各质点之间相互作用力的改变量，称为作用力的改变量，称为“附加内力附加内力”。材料。材料力学所研究的这种附加内力，以后均简称为力学所研究的这种附加内力，以后均简称为内力。内力。5.2.2.2 截面法截面法w截面法是材料力学用以显示和计算杆件内力截面法是材料力学用以显示和计算杆件内力的基本方法。的基本方法。w假想地用一个截面把杆件截为两部分，取其假想地用一个截面把杆件截

9、为两部分，取其中一部分作为研究对象，建立平衡方程，以中一部分作为研究对象，建立平衡方程，以确定截面上内力的方法，称为截面法。确定截面上内力的方法，称为截面法。截面法求解杆件内力的步骤可以归纳如下：w(1)沿所研究截面假想地将杆件截为两部分，沿所研究截面假想地将杆件截为两部分，任选其中一部分为研究对象，画上作用于该任选其中一部分为研究对象，画上作用于该部分的外力。部分的外力。w(2)画上截面上的内力，取代另一部分对所研画上截面上的内力，取代另一部分对所研究部分的作用。究部分的作用。w(3)对研究部分建立静力平衡方程，解方程，对研究部分建立静力平衡方程，解方程，确定内力的大小与方向。确定内力的大小

10、与方向。w由于轴向拉伸或压缩时杆件横截面由于轴向拉伸或压缩时杆件横截面上内力上内力FN与外力与外力F共线，且与杆件轴共线，且与杆件轴线重合，所以这里的内力线重合，所以这里的内力FN称为轴称为轴力。轴力的正负号表示杆件不同的力。轴力的正负号表示杆件不同的变形：杆件拉伸时，轴力背离截面，变形：杆件拉伸时，轴力背离截面，取正号；杆件压缩时，轴力指向截取正号；杆件压缩时，轴力指向截面，取负号。面，取负号。 直接利用外力计算轴力的规则直接利用外力计算轴力的规则：w即杆件承受拉伸即杆件承受拉伸(或压缩或压缩)时，杆件内任一截时，杆件内任一截面上的轴力等于截面一侧所有外力的代数和，面上的轴力等于截面一侧所有

11、外力的代数和，外力背离截面时取正，外力指向截面时取负。外力背离截面时取正，外力指向截面时取负。5.2.3 轴力图w为了形象地表示轴力沿直杆轴线的变化规为了形象地表示轴力沿直杆轴线的变化规律，可用平行于轴线的坐标表示截面位置律，可用平行于轴线的坐标表示截面位置用垂直于轴线的坐标表示横截面上轴力的用垂直于轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，画出轴力与截面位置的关系图线，数值，画出轴力与截面位置的关系图线，称为轴力图。称为轴力图。5.3 轴向拉压时截面上的应力5.3.1 应力的概念应力的概念w上述用截面法求得的轴力，是截面上分布内上述用截面法求得的轴力，是截面上分布内力的合力，它不能用来判断构件的强度

12、状况。力的合力，它不能用来判断构件的强度状况。例如，直径不同的钢杆受到力的作用例如，直径不同的钢杆受到力的作用(如图如图5-13所示所示)，当力，当力F增大到一定数值时，由经验增大到一定数值时，由经验可知，断裂必发生在直径小的可知，断裂必发生在直径小的AB段。这是由段。这是由于于AB段杆的横截面面积较小，内力在截面上段杆的横截面面积较小，内力在截面上分布的密集程度分布的密集程度(简称集度简称集度)较大造成的。由较大造成的。由此可见，内力的集度是判断构件强度的一个此可见，内力的集度是判断构件强度的一个重要物理量。通常将截面上内力的集度称为重要物理量。通常将截面上内力的集度称为应力。应力。w应力的

13、单位是帕斯卡应力的单位是帕斯卡(Pascal)(国际单位国际单位)，简称帕简称帕(Pa)。1Pa=1N/m2。由于帕斯卡这。由于帕斯卡这一单位太小一单位太小,工程中常用兆帕工程中常用兆帕(a)或吉帕或吉帕( Ga)作为应力单位。作为应力单位。1MPa=106Pa=106N/m2；1G a=109 a。5.3.2 拉伸和压缩时 横截面上的正应力w方向垂直于横截面的应力称为正应力，以方向垂直于横截面的应力称为正应力，以 表示，其计算公式为表示，其计算公式为w式中式中 横截面上的正应力；横截面上的正应力；wFN横截面上的轴力；横截面上的轴力；wA 横截面面积。横截面面积。w正应力的符号规定与轴力相同

14、。拉伸时的正正应力的符号规定与轴力相同。拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。应力为正，压缩时的正应力为负。5.3.3 斜截面上的应力分析w由截面法求得斜截面上的轴力，由截面法求得斜截面上的轴力，w依照横截面上正应力分布的推理方法，可得依照横截面上正应力分布的推理方法，可得斜截面上应力斜截面上应力 也是均匀分布的，其值为也是均匀分布的，其值为w式中式中 斜截面面积。斜截面面积。w若横截面面积为若横截面面积为A，则，则w将后式代入前式，可得将后式代入前式，可得w式中式中 横截面上的正应力。横截面上的正应力。w两个互相垂直截面上的剪应力必同时存在，两个互相垂直截面上的剪应力必同时存在，且大小相等

15、，符号相反。这一关系称为剪应且大小相等，符号相反。这一关系称为剪应力互等双生定理，简称剪应力互等定理。力互等双生定理，简称剪应力互等定理。5.4 拉伸与压缩时的变形w实验表明，当外力未超过一定限度时，绝大实验表明，当外力未超过一定限度时，绝大多数材料在外力撤除后，变形消失，杆件恢多数材料在外力撤除后，变形消失，杆件恢复原状。材料的这种性质，称为弹性。外力复原状。材料的这种性质，称为弹性。外力撤除后能够消失的变形，称为弹性变形；外撤除后能够消失的变形，称为弹性变形；外力撤除后不能消失的变形。称为塑性变形。力撤除后不能消失的变形。称为塑性变形。w工程构件一般都不允许发生塑性变形。因此，工程构件一般

16、都不允许发生塑性变形。因此，材料力学只研究杆件的弹性变形。材料力学只研究杆件的弹性变形。5.4.1 纵向变形与虎克定律w杆件受拉伸与压缩作用时，长度方向发生的杆件受拉伸与压缩作用时，长度方向发生的尺寸改变称为纵向变形。尺寸改变称为纵向变形。w式中式中 绝对变形。拉伸时绝对变形。拉伸时 为正值，为正值， w压缩时压缩时 为负值。为负值。 的单位常用毫米的单位常用毫米(mm)。w绝对变形只能反映杆件总的变形量，而不能绝对变形只能反映杆件总的变形量，而不能说明杆件的变形程度。为了说明杆件的变形说明杆件的变形程度。为了说明杆件的变形程度，常用单位长度上的纵向变形即程度，常用单位长度上的纵向变形即 w来

17、度量，这个比值称为相对变形或线应变，来度量，这个比值称为相对变形或线应变，以以表示，即表示，即w线应变是无量纲的量，其正负号的意义与绝线应变是无量纲的量，其正负号的意义与绝对变形相同。对变形相同。5.4.2 虎克定律w实验研究指出：在弹性范围以内，杆件的绝实验研究指出：在弹性范围以内，杆件的绝对变形与所施加的外力及杆件长度成正比，对变形与所施加的外力及杆件长度成正比，而与杆件的横截面面积成反比，即而与杆件的横截面面积成反比，即w引入与杆件材料有关的比例系数引入与杆件材料有关的比例系数E，上式可，上式可写为写为w由于由于FN=F，上式又可写为，上式又可写为w这一比例关系，称为虎克定律。这一比例关

18、系，称为虎克定律。w比例系数比例系数E称为材料的拉压弹性模数量，它称为材料的拉压弹性模数量，它表示材料抵抗拉表示材料抵抗拉(压压)变形的能力，弹性模量变形的能力，弹性模量愈大，变形愈小，反之亦然，愈大，变形愈小，反之亦然，E的数值与材的数值与材料有关。料有关。w将将 和和 代入前式得代入前式得w这是虎克定律的又一形式，该式表明，在弹这是虎克定律的又一形式，该式表明，在弹性范围内，杆件横截面性范围内，杆件横截面 上的正应力与纵向线上的正应力与纵向线应变成正比。应变成正比。5.4.3 横向变形与泊松比w若杆件变形前的横向尺寸为若杆件变形前的横向尺寸为a，拉伸后缩小为，拉伸后缩小为a1，则杆件的横向

19、变形为，则杆件的横向变形为w其横向线应变为其横向线应变为w实验结果指出，在弹性范围以内，横向应变实验结果指出，在弹性范围以内，横向应变与纵向应变之比的绝对值为一常数，若以与纵向应变之比的绝对值为一常数，若以表表示此常数，则示此常数，则w称为横向变形系数，或称泊松比。它是一个称为横向变形系数，或称泊松比。它是一个无量纲的量，其值随材料而异，由试验确定。无量纲的量，其值随材料而异，由试验确定。因为因为1与与的符号总是相反，故有的符号总是相反，故有w弹性模量和泊松比都是表示材料弹性的重要弹性模量和泊松比都是表示材料弹性的重要物理量。物理量。5.5 材料在轴向拉压下的力学性能5.5.1 低碳钢拉伸时材

20、料的力学性能低碳钢拉伸时材料的力学性能5.5.1.1 比例极限比例极限5.5.1.2 弹性极限弹性极限5.5.1.3 屈服极限屈服极限5.5.1.4 强度极限强度极限5.5.1.5断后伸长率和断面收缩率断后伸长率和断面收缩率5.5.2 铸铁的拉伸试验w实验表明，铸铁是典型的脆性材料实验表明，铸铁是典型的脆性材料w衡量此类脆性材料强度的唯一指标是强度极衡量此类脆性材料强度的唯一指标是强度极限。限。5.5.3 材料压缩时的力学性能材料压缩时的力学性能5.5.3.1 低碳钢的压缩试验低碳钢的压缩试验5.5.3.2 铸铁的压缩试验铸铁的压缩试验5.6 拉、压杆的强度计算拉、压杆的强度计算5.6.1 许

21、用应力与安全系数许用应力与安全系数w材料丧失正常工作能力时的应力称为极限应力。材料丧失正常工作能力时的应力称为极限应力。w对于塑性材料，当应力达到屈服极限时，将产对于塑性材料，当应力达到屈服极限时，将产生显著的塑性变形，从而丧失正常的工作能力，生显著的塑性变形，从而丧失正常的工作能力，工程上常以屈服极限作为塑性材料的极限应力。工程上常以屈服极限作为塑性材料的极限应力。w对于脆性材料，在无显著变形的情况下，应力对于脆性材料，在无显著变形的情况下，应力达到强度极限时即突然断裂，因此，工程上常达到强度极限时即突然断裂，因此，工程上常以强度极限作为脆性材料的极限应力。以强度极限作为脆性材料的极限应力。

22、w为了保证构件安全工作，构件中实际产生的为了保证构件安全工作，构件中实际产生的应力必须低于材料的极限应力，材料允许承应力必须低于材料的极限应力，材料允许承受的最大应力，则称为许用应力，用符号受的最大应力，则称为许用应力，用符号表示。极限应力与许用应力的比值称为安全表示。极限应力与许用应力的比值称为安全系数，用系数，用n表示。故许用应力可表示为表示。故许用应力可表示为w对于塑性材料，对于塑性材料， ， ，故，故w式中式中ns屈服安全系数。屈服安全系数。w对于脆性材料，对于脆性材料， , ,因此因此w式中式中nb断裂安全系数。断裂安全系数。5.6.2 拉、压杆的强度计算w杆件中最大应力所在的横截面

23、称为危险截面。杆件中最大应力所在的横截面称为危险截面。为了保证构件具有足够的强度，必须使危险为了保证构件具有足够的强度，必须使危险截面的应力不超过材料的许用应力，即截面的应力不超过材料的许用应力，即w式中式中FN危险截面的内力；危险截面的内力；A截面积。截面积。w此式称为拉伸或压缩时强度条件公式。此式称为拉伸或压缩时强度条件公式。运用强度条件可以解决以下三类问题运用强度条件可以解决以下三类问题：5.6.2.1 强度校核强度校核5.6.2.2 选择截面选择截面5.6.2.3 确定许可载荷确定许可载荷5.7 拉、压杆超静定问题5.7.1 超静定问题的概念超静定问题的概念w在某些情况下，研究对象未知数的数目，多在某些情况下，研究对象未知数的数目，多于静力学平衡方程的数目，这时，就不能单于静力学平衡方程的数目，这时，就不能单凭静力学平衡方程求解未知力了。这种问题凭静力学平衡方程求解未知力了。这种问题称超静定（静不定）问题。称超静定（静不定）问题。5.7.2 超静定问题的解法w求解超静定问题，除了要列出静力学平衡方求解超静定问题，除了要列出静力学平衡方程外，还必须建立补充方程，补充方程的数程外，还