线性代数练习题2及答案

1、线性代数练习题选择题1A,B都是n阶矩阵，且AB=0,则必有：()(A)A=0或B=0.(C)|A=0或B=0.(D)IA=IB-11cbd.(A)01,-11(B)-10(C)(D)3若A为m父n矩阵，且R(A)=rcmcn则(A) A中每一个阶数大于r的子式全为零。(B) A是满秩矩阵。(C) A经初等变换可化为Er000(D) A中r阶子式不全为零。4向量组j产2J0ts,线性无关的充分条件是(A) 61,32，Us均不是零向量.(B) a1,u2，0ts中任一部分组线性无关.(C) a1,0，1as中任意两个向量的对应分量都不成比例(D) a1,0(2，口s中任一向量均不能由其余S-1

2、个向量线性表示.5齐次线性方程组AX=0是非齐次线性方程组AX=B的导出组，则()必定成立.(A) AX=0只有零解时，AX=8有唯一解.(B) AX=0有非零解时，AX=B有无穷多解.(C) a是AX=日的任意解，%是AX=B的特解时，第0+c(是AX=B的全部解.(D) M%是AX=B的解时，乙+与是AX=0的解.6若B#日，方程组AX=B中，方程个数少于未知量个数，则有(A)AX=B一定无解。(C)AX=日必有非零解。(B)AX=0只有零解。7线性方程组ax-by=1bxay=0a/b，则方程组()(A)无解(B)有唯一解8设A、B都是n阶矩阵,(C)有无穷多解(D)其解需AB=0,则A

3、和B的秩(讨论多种情况)(A)必有一个为0,(B)必定都小于n,(C)必有一个小于n,(D)必定都等于n填空题x12x21方程组1_工-c的通解为2x14x27x3=02设5阶方阵A的行列式为A=-2,则同A=3已知20-15-34；，求X=(D)AX=B一定有无穷多组解。计算题332334424322223解:D=(3-1)(4-1)(2-1)(4-3)(2-3)(2-4)=12解:01：402(7)14x02x=x4-1602D=（3x+a）=（3x+a）一4-6f2,求矩阵A的秩。解:aL二2-310一2B=A，求解：A3二：3xaa-x203、2037解矩阵方程：-146X=-1解：-

4、146-2一3/-2-3、二04-2<27-1R（A）=2【278解矩阵方程：X一3125J-1125-35；917k135；解:I020277910<2710-227丫2641351745127求线性方程组解：B二2x23x3-X2X3125I0-327组有无穷多组解，同解方程组为:、-2x423x3-X4X3X3X4X44x4X45的通解3J125JR(A)=R(B)=2<4,故原方程7343X3,X4为自由未知量，原方程组的通解为:10求线性方程组解：B=XiX2X3X12x2X15x无穷多组解，3430ki3231k2-2-1,ki,k2任意常数x3x4=2x34x4

5、=5,一.,34的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个基X2-X32x4x13x23x42、二1-30、同解方程组为:X1原方程组的通解为:11求线性方程组基础解系。X2X3X4解：B=-1知R(A)=R(B)=2<4,故原方程组有X1X2=-3x33x4，X3,X4为自由未知量，=X3-241,0k2-2,ki,k2任意常数X1x2x3x4=13x12x2X3X4二一2,.,r123的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个x22x3x4=55X14x23x33X4=04,知R(A)=R(B)=3<4,故原方程组xx3-4有无穷多组解，同解方程组为:x2=-2x3+5,%为自

6、由未知量，原方程组的通解为:Jx4=0XiX2X312当a为何值时下列线性方程组有解2x1+x2-x3+x4=-2x1+2x2+x3+x4=3有解时用向量形式表示出它的通解Jx1x22x32x4xi-x3x4-2解：B=，当a=1时，R(A)=R(B)=3，线a-1J性方程组有解。bL,知R(A)=R(B)=3<4,故0；x1原方程组有无穷多组解，同解方程组为:交3-3二f32=2，乂3为自由未知量，-3、1、x22+k-1x301工x4/1x2原方程组的通解为:,k任意常数13判断下列向量组的线性相关性并求它的一个最大无关组(1)口1=(2,1,3);%=(1,-1,2)尸3=(0,3

7、-1);(2)”1=(101),h(0,1,-1),O6=(2,0,1)蛤=(0,1,2)210)ri-13解：(1)A=1-13L01-2321J001向量组«1,«2,«3线性无关，且口1。2,口3就是一个最大无关组2001-131解：（2）A=0向量组%,a2p3,64线性相关，%,吃,%或%,%,%是最大无关组3=3456,14已知向量组仪1=(1234),以2=(2345"4=（4567），求向量组的秩。123234W12A=3<46117)1111111110111,9120011y(1341000000,10111123000000,

8、R(：1,：-2,：3,：-4)=215已知向量组a1=(12-11,*2=(20t0),j=9-45-2)的秩为2,求to"12后20解：A=-1tJ005-2>-2I。-21000212t00、150>若R(a1,a2,a3)=2,则2+t=5,所以t=3.16讨论向量组a1=（111,a2=（123）,a3=（13t）,当t为何值时，向量组线性相关。1解：A=1若向量组线性相关R(a1,ot2,ot3)=R(A)<3所以t5=0，即t=5四证明题1,设A,B相乘可交换，且A可逆，证明A，与B相乘也可交换证：由AB=BA得B=ABA故BA=AB.2.设A是可逆的

9、n阶矩阵，求证(A),=-A.证：由(一A尸(一A)=A4A=E.故(_A),=_A,.线性代数练习题答案一.选择题2.(B)可代入验算(B,D)部分组也含向量组1.(C)；|AB|=|A|B|=|0|=0。1000、(A,C,D)例如A=|01004.I。0003通本身。5.(C)豆是AX=8的任意解，”是AX=B的特解时，丁°+口是AX=B的全部解.6.B#e(C)7 .(B)D=：-b=a2+b2/0,由克莱姆法则知有唯一解。ba8 .(C),填空题X1X2.计算题11D-.解:K,k是任意常数.2.-3J化为三角形行列式得:-11-5-5-11由范得蒙行列式结论得:(<

10、2力A|=-(<26D=40-5-5-11-6-6-5-40D=(3-1)(4-1)(2_1)(4-3)(2-3)(2-4)-123.解：按第一行展开计算得：D=X4-16将2,3,4行加到第一行提公因式化三角形得:D=(3xa)(a-x)3Ar102010,000R(A)=24411|B|=|A|=|A|=|A|2解：（A,E）导变（E,A"）203、100152、5-146_1212123-2一31<3_2一方5一福，A4B=一51_17k-157A同上题，X=BA01-丁725-3531523-102-346153110增广矩阵A=2-1110（行最简阶梯-M-4X

11、3X3=-2X4+3-xf,X3,&1'X2X3F5、3231kJ2、-10k2+7、3430X4=X4、X4/<0<1/<0>X1X2k,k2为任意常数.10.解:对增广矩阵做初行变后类上题可得:X1X2=-3x33x4=X3-2X4X3二XX4=XX1、5310、X21-21=k+k2+X3100<X4J<0i<1J1,k1,k2为任意常数.-31103-201>%尸2为对应导出组AX=8的一个基础解系。11.解:对增广矩阵做初行变后类上题可得:X1=X3-4x2=-2x3-5X3=X3X4=0X1X21、-2k+75X310

12、X4J|<0J<0/k为任意常数.1-2110a为对应导出组AX=0的一个基础解系。21-112.解:-1I11-2、10-101一313初行变01102TT23-2a00011-1>0001133a12-1对增广矩阵做初行变后可知当a时,3原方程组有解,1X1X3-3X2=-X32X3=X3通解为:X1X4X4'1'-11I。一3202<3J13.(1)解:03一100,1口14243线性无关，为其最大无关组.(2)解:A=0J01-1012,10L061一3J，口2,口3为其最大无关组.%82产3尸4线性相关14.解:23<4234534564567初行变00<00100_1200_2300%产2为其最大无关组.秩为2.15.解:121020t00452100<00100-21t-30,v