空间点直线平面的关系,直线平面平行判定及性质教案

1、适用学科适用区域知识点教学目标教学重点教学难点证实直线与平面平行.高中数学适用年级高二人教版区域课时时长(分2课时钟)直线与平面的位置关系：(1)直线在平面内一一有无数个公共点(2)直线与平面相交-有且只有一个公共点(3)直线在平面平行一触谢啕平行的判定定理直线与平面平行的性质定理理解直线与平面的三种位置关系,会判断直线与平面的位置关系学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系理解并掌握直线与平面平行的判定定理及性质定理,进一步培养观察、发现的水平和空间想象的水平证实直线与平面平行线面平行的性质.【教学建议】理解空间点,直线与平面位置关系的表达方式及描述(主要是符号语言)四个公理与一个定理.直线

2、与平面有三种位置关系：直线在平面内,线面平行及直线与平面相交.线面平行的引入,探讨,判定定理与性质定理的展开.线面平行的判定(从线线平行证实线面平行),线面平行的性质(该平行线与其所在任意面与平面的交线平行),及相关应用.【知识导图】一、导入【教学建议】导人是一节课必备的一个环节,是为了激发学生的学习兴趣,帮助学生尽快进入学习状态.导入的方法很多,仅举两种方法：情境导入,比方讲一个和本讲内容有关的生活现象；温故知新,在知识体系中,从学生已有知识入手,揭示本节知识与旧知识的关系,帮学生建立知识网络.提供一个教学设计供讲师参考：1、观察引入(1)直线与平面的位置关系中,平行是一种非常重要的关系.在

3、生活中,我们注意到门扇的两边是平行的,当门扇绕着一边转动时,另一边始终与门框所在的平面没有公共点,此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象.(2)让学生观察书本的形状,得出两条对边所在直线平行.接着让学生翻开书的封面观察封面边缘所在直线与书面所在平面的位置关系,通过观察得出,他们平行.抽象出实验中的两条直线与一个平面,做出对应的图形.设计意图：由日常生活常见情景模型,对新的知识进行引入,激发起学生的兴趣,第1页从而调动学生积极性.设置这样的情境,让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么,使学生学在情境中,思在情理中,感悟在内心中,学自己身边的数学,领悟空间观念与空间图形性质.2

4、、步步深化通过以上引入及思考,感知到直线与平面平行的三个要素：D平面外一条直线2平面内一条直线3这两条直线平行.以上描述数学符号表示：a?a,b?a,且a/b?a/a设计意图：通过对上述问题的思考及探讨,实现学生对线面平行判定判定条件的探求与论证,并提供空间问题的有效解决方法：转换为平面问题进行处理.过程步步深入,从而突破难点,突出重点知识回忆:识讲解1、公理1232、空间两直线的位置关系1相交；2平行；3异面3、公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.推理模式：ab,b/c=a/c.4 .等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等等角定理的推论：如果

5、两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角或直角相等.5 .空间两条异面直线的画法6.异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线7异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角,那么叫两条异面直线垂直,两条异面直线a,b垂直,记作a_b.【教学建议】线通过前的位置关系得到直线与平面的三种位置关系,建议用三种语言比照的形式来加深理解；得到直线与平面平行的位置关系后,可以让学生来类比写出三种位置关系及其特点：直线与平面的位置关系有且只有三种：1直线在平面内一一有无数个公共点.如直线AB在平面ABBA内2直线与平面相交一一有且只有一个公共

6、点.如直线AB与平面BCCB只有一个公共点3直线与平面平行一一没有公共点.如直线AB在平面DCCD,平行一般地,直线a在平面a内,应把直线a画在表示平面a的平行四边形内；直线a在平面a外,应把直线a或它的一局部画在表示平面a的平行四边形外.直线a与平面a相交于点A,记作ana=A；直线a与平面a平行,记作a/a【教学建议】空间中直线与平面位置关系及其符号描述应该理解及掌握,相关作图应该熟悉.直线与平线与平面平行的判定判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行.八数学符号表a?a,b?a,且a/b?a/a【教学建议】直线与平面平行的判定定理(找面内线平行于面

7、外线)考察较多,应该多加理解及掌握,并在平时练习中加以熟悉,熟练一条直线直线与平面平行的性那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.数学符号表示：心,ab【教学建议】线线平行、线面平行的相互转化,是处理平行问题的根本思想方法线线、线面平行转化的记忆口诀：判断线和面平行,面中找条平行线线和面平行,过线作面找交线类型一直线与平面的位置关系以下命题中正确的个数是()(1)假设直线L上有无数个点不在平面内,那么L/:(2)假设直线L与平面：平行,那么L与平面内的任意一条直线都平行(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行(4)假设直线L与平面平行,那么L与平面内

8、任意一条直线都没有公共点(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】B【解析】可以借助长方体模型来看上述问题是否正确.问题(1)不正确,相交时也符合问题(2)不正确,如右图中,AB与平面DCCD,平行,但它与CD不平行.问题(3)不正确.另一条直线有可能在平面内,如AB/CD,AB与平面DCC平行,但直线CDO平面DCC"问题(4)正确,所以选(B).【总结与反思】判断空间中点,直线与平面的位置关系比拟抽象,可以作图观察一般在长方体模型中进行分析,平常可以多进行此种练习.【教学建议】此题难度不大但稍微超前,视学生掌握程度选择使用对于掌握较好的学生可以适当提及.是两个平面,m,n是两条直线

9、,有以下四个命题：(1)如果,n/2如果m一二rV八,那么口.3如果：那么m/4如果mn,厂,那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有.填写所有正确命题的编号【答案】W3【解析】对于,巾.,m_%,那么：的位置关系无法确定,故错误；对于,由于n,所以过直线n作平面与平面一相交于直线,那么n/c,由于mm_c,.m_n,故正确；对于,由两个平面平行的性质可知正确；对于,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的有类型二直线与平面平行的判定如以下图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,MAC,NFB且AM=FN,求证：MN/平面BCE.【解析】证实：过M作MPJL

10、BC,NQ,BE,P、Q为垂足如上图,连结PQ. MP/AB,NQ/AB,二MP/NQ.又NQ=2BN=2CM=MP,二MPQN是平行四边形. MN/PQ,PQ平面BCE.而MN二平面BCE, MN/平面BCE.【总结与反思】清楚准确的记忆直线与平面平行的判定条件,线面平行的判定常常利用初中几何思想对应线段成比例得到三角形相似,中位线性质等证实面内线与面外线平行,有时需要作相关辅助线构造平行四边形证实另一组对边平行且相等来证实线面平行类型三线面平行的性质如下图,在三棱柱ABCABC中,AiA_L平面ABC,假设D是棱CC的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE/平面ABiCi?假设存在,请确

11、定点E的位置；假设不存在,请说明理由.【答案】存在,理由见解析【解析】存在点E,且E为AB的中点.证实：如图,取BBi的中点F,连接DF,那么DF/BiCi.保乩AB的中点为E,连接EFEuEF/ABi./BC与ABi是相交直线,eLXL 平面DEF/平面ABiCi.而DE?平面DEF,aDE/平面ABiCi.【总结与反思】在解决线面平行的证实题时,往往是线面平行的性质和判定的一个混合应用过程四、课堂运用1 .以下命题正确的个数为经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合.A.02 .以下说法:假设两个平面a

12、/假设两个平面a/假设两个平面a/假设两个平面a/B,B,B,B,a?a,b?B,那么a/b；a?a,b?B,贝ua与b是异面直线；a?a,b?B,贝口a与b一定不相交;a?a,b?B,贝ua与b平行或异面；假设两个平面anB=b,a?a,贝Ua与B一定相交.其中正确的选项是将你认为正确的序号都填上.3 .m,n是两条不同的直线,a为平面,贝U以下命题正确的选项是A.假设m/a,na,贝UmnB.假设m_La,n_La.贝um±nC.假设m_La,n/a,贝um_LnD.假设m与a相交,n与a相交,贝Um,n一定不相交答案与解析1 .【答案】C【解析】根据公理1,2,3可知：错误,正

13、确2 .【答案】【解析】由平面间的位置关系逐一判断.错.a与b也可能异面；错.a与b也可能平行；对Ja/B,.a与B无公共点.又Ia?a,b?a与b无公共点；对.由及知：a与b无公共点,那么ab或a与b异面；错.a与B也可能平行.3.【答案】B【解析】假设m/n,n?a,此时有m?a或m/a,故不正确；假设min,m_La,n?a,可得出na,故正确；假设a±B,m±a,n±B,可得出min,故正确；假设m、n是异面直线,m?a,n?b,m8,此时门？a或门/a,故不正确.综上,正确应选B.1,设A、B、C、D是空间四个不同的点,在以下命题中,不.正确的选项是A.

14、假设AC与BD共面,那么AD与BC共面B.假设AC与BD是异面直线,那么AD与BC是异面直线C.假设AB二AC,DB二DCAD二BCD.假设AB=AC,DB=DC,贝uAD,BC2 .m、n是两条不同的直线,a、B是两个不同的平面,有以下4个命题：假设min,n?a,贝umia；假设m士n,mJLa,n?a,贝unia；假设a_LB,m±a,n,B,贝um±n；假设m、n是异面直线,m?a,n?b,mib,贝unia.其中正确的命题有D.A.B.C.3 .如图,在棱长为a的正方体ABCDAiBiCDi中,E、F、0分别是眈、34、人口1、3口的中点.求证:PQI平面DCC1

15、D1.求PQ的长.求证:EFi平面BB1D1D.答案与解析1 .【答案】C【解析】A中,假设AC与BD共面,那么A、B、C、D四点共面,贝uAD与BC共面；B中,假设AC与BD是异面直线,那么A、B、C、D四点不共面,贝uAD与BC是异面直线；C中,假设AB=AC,DB=DC,AD不一定等于BC；D中,假设AB=AC,DB=DC,可以证实ADJLBC.2 .【答案】C【解析】对A,mIa,nIa,那么直线m、n位置关系不确定,故A错误；对B,mJLa,nJLa,mIn,故B错误；对c,m±a,nIa,过n的平面B,aAB=b,：nIb,又b?a,m±b,m±n.故

16、C正确；对D,假设m与a相交,n与a相交5当交点重合时,m、n相交»故D错误.应选C.【答案】见解析【解析】1证实法一如图,连接AC、CDlP、Q分别是ADi、AC的中点,PQlCDi.DCGDi,二PQ平面DCCDi,法二取AD的中又PQ二平面DCGDi,CDi平面点G,连接PG、GQ,AA贝U有PG/DDi,GQ/DC,且PGGQ=G,二平面PGQ平面DCCiDi.又PQ平面PGQ,二PQ/平面DCCiDi.(2)由(1)易知PQ=-DiCA-2a.22证实：法一取BiDi的中点O,连接FQ,BOi,那么有FOiBC.又BE/fBiG,二BEAFOi.四边形BEFOi为平行四边形

17、,二EF/BOi,又EF二平面BBiDiD,B.平面BBiDiD,EF/平面BBiDiD.法二取BC的中点日连接EE、FEi,那么有FEi/BiDi,EEi/BBi,且FEiEEi=Ei,二平面EEiF/平面BBiDiD.又EF二平面EEiF,二EF/平面BBiDiD.1 .一条直线假设同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是()D.不能确定A.异面B.相交C.平行2 .如图,四边形ABCD是梯开乡,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD平面CDEF,zBAD=/CDA=90°,1AB=AD=DE=_L,CD=2,M是线段AE上的动点试确2定点M的位置,使AC

18、/平面MDF,并说明理由.3如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别为AB、PC的中点,平面PADG平面PBC.(i)求证：BC/I；(2)试判断MN与平面PAD是否平行？并证实你的结论.在正方体ABCD.AiB£iDi中,E是棱DDi的中点.在棱CDi上是否存在一点F,使BiF/平面ABE?证实你的结论答案与解析1.【答案】C【解析】设aQB=l,a/a,a/B,过直线a作与a、B都相交的平面Y,记aG丫=b,BAY=C,贝Uab且aIIc,b/C又ba,aAp=1b/.f.allI.【答案】见解析【解析】当M是线段AE的中点时,AC/平面MDF.证明如下：连结CE,

19、交DF于N,连结MN,由于M、N分别是AE、CE的中点,所以MN/AC,由于MN?平面MDF,又AC?平面MDF,所以AC/平面MDF.3.【答案】见解析【解析】(根据线面平行的性质定理,要证线线平行,只需证线面平行.即找过BC的平面与另一平面的交线是否为直线'而第问利用线面平行判定定理易证得结论)(1)V平行四边形ABCD中,BCAD,且AD?平面PAD,BC?平面PAD, BC/平面PAD,又一平面PADG平面PBC=,BC?平面PBC,：BC/1(2)平行,证实如下：延长CM交DA延长线于Q,连结PQM是AB的中点, QAMCBM,QM=MC,即M是CQ的中点,又N是PC的中点,

20、MNPQ,又PQ?平面PD,MN?平面PAD,MN/平面PAD.4 .【答案】见解析【解析】(BF与平面AiBE和平面ABCD的交线平行)当点F是棱CiDi的中点时,BF/平面ABE.证实如下：如下图,取CD的中点G,连接BF,EG,BG,CDi,FG,因A1D1/B1C1/BC,且AiD仁BC,所以四边形AiBCDi是平行四边形,因此DiC/AiB.又E,G分别为DQ,CD的中点,所以EG/D£,从而EG/AiB.这说明Ai,B,G,E四点共面,所以BG?平面AiBE.因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点,所以FG/CiC/B1B,且FG二

21、CQ二BiB,因此四边形BiBGF是平行四边形,所以BiF/BG,而BF?平面AiBE,BG?平面AiBE,故BF/平面AiBE.本节讲解了以下内容：5 .公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为A|、BEI=1二卅A=aB=a公理1作用：判断直线是否在平面内公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面：使Aa、B、Cga公理2作用：确定一个平面的依据.补充3个推论：推论1：经过一条直线与直线外一点,有且只有一个平面推论2：经过两条平行直线,有且只有一个平面.推论3：经过两条相交直线,有且只有一个

22、平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号表示为：PaGB=>aAp=L,且PL公理3作用：判定两个平面是否相交的依据6 .直线与平面平行的判定定理告诉我们,今后要证实一条直线与一个平面平行,只要在这个平面内找到一条直线与直线平行就可判定这条直线必和这个平面平行,即“线线平行,那么线面平行,并注意三个条件缺一不可六、课后作业1 .设有直线m、n和平面a、P.以下命题不正确的选项是填序号.假设m/:n/,那么m/n假设m：n:,m/n/,贝U：/假设：JL1,m二:二,贝Um土：假设：±-,m±1,m二,贝Um/：-2 .如

23、图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EF/平面BCHG.3 .如图,DEF与4分别是棱长为1与2的正三角形,AC/DF,四边形BCDE为直角梯形,DE/BC,BC_LCD,点GABC的重心,N为AB中点,AG,平面BCDE,M为线段AF上靠近点F的三等分点.求证：GM/平面DFN;答案与解析1 .【答案】D【解析】假设/一：,m二n二,可知m/:,n/:,但m与n可以相交,所以不对；假设m/n,即使有m二工,n二很,m/1,n/二与一：也可以相交,所以不假设：土一中仍有不与垂直的直线,例如:

24、与1的交线,故不对：假设,那么在：中可作与垂直的直线n,又mi,那么m/:,故正确.2 .【答案】B【解析】(1):GH是AABC的中位线,二GH/BiCi.又BiCi/BC,AGH/BC,AB,C,H,G四点共面.(2)TE、F分别为AB、AC的中点,二EFBC,EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,EF平面BCHG.3 .【答案】见解析【解析】证实：连AG并延长交BC于P,N为AB中点,P为BC中AGJL由于点GABC的重心,所以邛又'所以二,所以GM/PF；由于AC/DF,DE/BC,所以平面ABC/平面DEF,又ZaDEF与AABC分别是棱长为i与2的正三角形,占八、)所以N

25、P/AC,又AC/DF,所以NP/DF,所以P,D,F,N四点共面,所以GM/平面DFN1 .平面a/平面BABCD是夹在a和B间的两条线段,E、F分别为ABCD的中点,贝UEF与a的关系是()A.平行B.相交C.垂直D.不筋确定2.【答案】见解析那么辆由啕M帷吩.,孽同域蜉院1策地中:热画行2 .如图,在斜三梭柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点0,E是棱AB上一点,且0E平面BCC1B1求证：E是AB中点3 .如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直P1于底面ABCDAB=BC=2AD/BADABC=90,E是PD的X中点证实：直线CE平面

26、PAB4 .如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别是AB,PC的中芯假设ABC康希四边形.(1)求证：MN/平面PAD.(2)假设PA=AD=2a,MN与PA所成的角为30°.求MN-.：,一的长.答案与解析1.【答案】A；【解析】利用面面平行的性质定理,分AB、CD共面和不共面分别讨论：当AB、CD共面时,EF是四边形ABCD的中位线,二EF/a;当AB、CD不共面时(如图),连结AD,并取AD中点为G, 侧面AAiCC是菱形,AC与A£交于点0,-0为AC1的中点,E,是AB的中点, 0E7/BCi；0E?平面BCCiBi,BG?平面BCCB1, 0E*/平面BCCi

27、Bi, 0E平面BCCiBi, E,E,重合, E是AB中点3 .【答案】见解析【解析】证实：取PA中点为n,连接EN,BN<n为pa中点,ne为pad的中位线,四边形NBCE为平行四边形,.CE/BN直线ce平面PAB4 .【答案】见解析【解析】证实：(1)取PD的中点E,连接EN、EA,M,N分别是AB,PC的中点,ABCD是平行四边形, ENj八AM,二四边形ENMA为平行四边形MN/AE, MN?平面PAD,AE?平面PAD, MN/平面PAD.(2)vE是PD中点,PA=AD=2a, AE是/PAD的平分线,MN与PA所成的角为30°,MN/AE,二/PAE=30&#

28、176;,PAD是等边三角形,MN=PE=-a1,如图,六面体ABCDE中,面DBC±®ABC,AEABC.(1)求证：AE/面DBC；(2)假设AB,BC,BDJLCD,求证：ADJLDC.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,CD/AB,DC二淬,试在线段PB上找一点M,试cm平面PAD,并说明理由.3.图,正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.(1)求证：AM/平面BDE；(2)求二面角A-DF-B的大小.答案与解析【答案】见解析【解析】证(1)过点口作口.18<3,.为垂足.由于面DBCJL面ABC,又面DBC面ABC=BC,DO?'面DBC,所以DO,面ABC.