抛物线的几个常见结论及其用

1、抛物线的几个常见结论及其应用抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。结论一：若AB是抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦（过焦点的弦），2且A（xi,y）,已”,为），则：珞2丫佻=-p2。4例：已知直线AB是过抛物线y2=2px（p>0）焦点F,求证：为定值lAFBF结论二：（1）若AB是抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦，且直线AB的倾斜角为,则AB_2P（%#0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线sin2：-对称轴的弦）最短。例：已知过抛物线y2=9x的焦点的弦AB长为12,则直线AB

2、倾斜角为。AB倾斜角为土或生。33结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切F的弦，求证：（1）以AB为直x例：已知AB是抛物线y2=2px（p>0）的过焦点径的圆与抛物线的准线相切。（2）分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N,求证：以MN为直径的圆与直线AB相切。结论四：若抛物线方程为y22Pxp旬)，过(2p,0)的直线与之交于A、B两点,则OA1OB反之也成立。结论五：对于抛物线x2=2py(p>0),其参数方程为I'"昨设抛物线x2=2py上动y=2pt，点P坐

3、标为(2pt,2pt2),。为抛物线的顶点，显然3=*旦，即t的几何意义为过抛物线顶点O的动弦OP的斜率.例直线y=2x与抛物线y2=2px(p>0)相交于原点和A点，B为抛物线上一点，OB和OA垂直，且线段AB长为5屈，求P的值.解析：设点AB分另fj为(2ptA2,2pta),(2ptB2,2ptB),贝UtA=,tB=kOA=-2kOA2kOBAB的坐标分别为'pp|(8p,-4p).7AB+(p+4pJ=：/T3p=5/13.p=2.练习:1 .过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p,q,则：1=故：1=4a】

4、pqpq2 .设抛物线y2=2px(pA0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于AB两点.点C在抛物线的准线上，且BC/x轴.证明直线AC经过原点O.【证明：抛物线焦点为F.S,0j.设直线AB的方程为x=myM,22，代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.若设A(xi,yi),B(x2,y2),则yiy2=-p2.B。轴，且点C在准线kcO；yi又由yf=2pxi,得kA。=*="，故丘=kAO,即直线AC经过原点O.】xiyi3.已知抛物线的焦点是F(1,1),准线方程是xy.2=0,求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程.【解：设P(x,y)是抛物线上的任意一点，由抛物线

5、的定义得J(x1)2+(y1)2X2十2|.整理，得x2+y2.2xy.8x_8y=0,此即为所求抛物线的方程.抛物线的对称轴应是过焦点F(1,1)且与准线x+y+2=0垂直的直线，因此有对称轴方程y=x.设对称轴与准线的交点为M,可求得M(1,1),于是线段MF的中点就是抛物线的顶点，坐标是(0Q)】1.抛物线的顶点坐标是A(1,0),准线l的方程是x2y2=0,试求该抛物线的焦点坐标和方程.解：依题意，抛物线的对称轴方程为2x+y-2=0.设对称轴和准线的交点是M,可以求得M色,/j.设焦点为F,则FM的中55，点是A,故得焦点坐标为Fa2j.再设P(x,y)是抛物线上的任一点，根据55抛物线的定义得jl，hy_=R