第四单元 第5讲(52矩形、菱形、正方形)

1、第四单元第四单元 图形的认识图形的认识 第第5讲讲 四边形和多边形四边形和多边形 5.2矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 【知识回顾【知识回顾】 知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结1.矩形的定义矩形的定义: 的平行四边形叫做矩形.2.矩形的性质矩形的性质:(1)矩形的对边 ;(2)矩形的四个角都是 ;(3)矩形的对角线 ;(4)矩形的对称性:矩形是 对称图形,对称轴有 条,又是 对称图形,其对称中心是 3.矩形的判定：矩形的判定：(1)定义;(2)有三个角是_的四边形是矩形；(3)对角线_的平行四边形是矩形4菱形的定义菱形的定义: 的平行四边形

2、.有一个角是直角有一个角是直角 平行且相等平行且相等 直角直角 相等且相互平分相等且相互平分 轴轴 两两 中心中心 对角线的交点对角线的交点 直角直角 相等相等 有一组邻边相等有一组邻边相等 【知识回顾【知识回顾】 5菱形的性质菱形的性质:(1)菱形的对边 且四条边都 ;(2)菱形的对角线 ，并且每条对角线_一组对角；(3)菱形的对角 ；(4)的对称性:菱形是轴对称图形,其对称轴有 条,同时又是中心对称图形,其对称中心是 ;(5)菱形的面积为_ 或 6菱形的判定菱形的判定:(1)定义;(2)四条边_的四边形是菱形;(3)对角线 的平行四边形是菱形7.正方形的定义正方形的定义: 且 的平行四边形

3、叫做正方形两两 对角线的交点对角线的交点 底底高高 对角线乘积的一半对角线乘积的一半 都相等都相等 互相垂直互相垂直 有一组邻边相等有一组邻边相等 有一个角是直角有一个角是直角平行平行 相等相等 互相垂直平分互相垂直平分 平分平分 相等相等 知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结【知识回顾【知识回顾】 8正方形的性质：正方形的性质：(1)正方形的对边_且四条边都_;(2)正方形的四个角都是_;(3)正方形的对角线 ;(4)正方形的对称性:正方形既是 ，又是 它的对称轴有_条，它的对称中心是_9正方形的判定：正方形的判定：（1）定义;（2）有一个角是_的

4、菱形是正方形（3）有一组邻边_的矩形是正方形对角线的交点对角线的交点 直角直角 相等相等. 4 平行平行 相等相等 直角直角 互相垂直平分互相垂直平分,相等且平分一组对角相等且平分一组对角 轴对称图形轴对称图形 中心对称图形中心对称图形 知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结(2)解解:四边形四边形AFCE是菱形是菱形AF=CF=CE=AE设设AF=CF= x则则BF=BCCF=5x四边形四边形ABCD是矩形是矩形B=90BF2+AB2=AF2(5x)232= x 2 【典例精析【典例精析 】 例例1如图如图,矩形矩形ABCD中中,AB=3,BC=5.

5、过过对角线对角线AC的中点的中点O作作EFAC,交交AD于于E,交交BC于于F,连结连结AF、CE(1)求证求证:四边形四边形AFCE是菱形是菱形;(2)求菱形的周长求菱形的周长 ADCBEOF1234(1)证明证明:四边形四边形ABCD是矩形是矩形ADBC1=2，3=4OA=OCAOE COFAE=CF四边形四边形AFCE为平行四边形为平行四边形EFAC四边形四边形AFCE是菱形是菱形517 x解解得得56851744 x菱菱形形的的周周长长为为：知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结【典例精析【典例精析 】 例例2 如图，已知点如图，已知点E、F分

6、别是正方形分别是正方形ABCD的边的边BC、EF的中点，的中点， BF的延长线交的延长线交AD的延长线于的延长线于P，AE交交BF于于G，连结连结DG (1)求证：求证：AE=BF，AEBF；(2)找出图中的等腰三角形，并证明你的结论找出图中的等腰三角形，并证明你的结论ADBCEFGP312(1)证明证明:四边形四边形ABCD是正方形是正方形AB=BC=CD,ABC=C=90E、F分别是分别是BC、EF的中点的中点CDCFBCBE21,21 BE=CF ABE BCFAE=BF，1=3 2+3=ABC=901+2=90AGB=90AEBF知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课

7、后训练课后训练 小结小结【典例精析【典例精析 】 例例2 如图，已知点如图，已知点E、F分别是正方形分别是正方形ABCD的边的边BC、EF的中点，的中点， BF的延长线交的延长线交AD的延长线于的延长线于P，AE交交BF于于G，连结连结DG (1)求证：求证：AE=BF，AEBF；(2)找出图中的等腰三角形，并证明你的结论找出图中的等腰三角形，并证明你的结论ADBCEFGP312(2)解解:ADG和和DGP是等腰三角形是等腰三角形.证明如下：证明如下：四边形四边形ABCD是正方形是正方形AD=BC，APBC3=P，C=PDFCF=DF，BCF PDFBC=PDAD=PDAEBFGD为为RtAG

8、P的斜边上的中线的斜边上的中线DG=AD=PDADG和和DGP是等腰三角形是等腰三角形 知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结1.如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论是平行四边形，下列结论中不正确的是（中不正确的是（ ）A.当当AB=BC时时,它是菱形它是菱形; B.当当ACBD时时,它是菱形它是菱形C.当当ABC=90时时,它是矩形它是矩形;D.当当AC=BD时时,它是正方形它是正方形DCBA第第1题图题图【课堂演练【课堂演练】 2.(2012湖南长沙湖南长沙)已知菱形已知菱形ABCD中中,对角线对角线AC与与BD相交于点相

9、交于点O, OEDC交交BC于点于点E, AD=6cm, 则则OE的的长为长为( )A.6cm B.4cm C.3cm D.2cm D 知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结C DCBA（第（第2题图）题图）OE3.(2012湖北襄阳湖北襄阳)如图，如图，ABCD是正方形，是正方形，G是是BC上上(除端点外除端点外)的任意一点的任意一点,DEAG于点于点E，BFDE，交，交AG于点于点F下列结论不一定成立的是下列结论不一定成立的是( )AAED BFABDEBFEF CBGFDAEDDEBGFG4.(2011四川绵阳四川绵阳)下列关于矩形的说法中正确的

10、是下列关于矩形的说法中正确的是( )A对角线相等的四边形是矩形对角线相等的四边形是矩形; B对角线互相平分的四边形是矩形对角线互相平分的四边形是矩形;C矩形的对角线相等且互相平分矩形的对角线相等且互相平分; D矩形的对角线互相垂直且平分矩形的对角线互相垂直且平分.【课堂演练【课堂演练】 C D 知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结(第第3题图题图)ACBDEFG5.(2011湖北襄阳湖北襄阳)顺次连接四边形顺次连接四边形ABCD各边的中点各边的中点所得四边形是菱形，则四边形所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是一定是( )A.菱形菱形 B. 矩形矩

11、形C. 对角线互相垂直的四边形对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形对角线相等的四边形6.(2011山东聊城山东聊城)已知一个菱形的周长是已知一个菱形的周长是20cm，两条，两条对角线的比是对角线的比是4 3，则这个菱形的面积是，则这个菱形的面积是( )A12cm2 B 24cm2 C 48cm2 D 96cm2 【课堂演练【课堂演练】 D B 知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结8.(2011山东泰安山东泰安)如图，点如图，点O是矩形是矩形ABCD的中心，的中心，E是是AB上的点上的点,沿沿CE折叠后，点折叠后，点B恰好与点恰好与点O重合，若

12、重合，若BC=3，则折痕，则折痕CE的长为（的长为（ ） 7.如图，边长为如图，边长为1的正方形的正方形ABCD绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转45度度后得到正方形后得到正方形ABCD，边，边BC与与DC交于点交于点E，则四边，则四边形形ABE D的周长是的周长是 （ ）【课堂演练【课堂演练】 D A 知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结21.2.3 .22 . DCBA（第（第7题图）题图）BCDABCDEBCEADO6 .3.233.32 .DCBA10.如图如图, 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, 菱形菱形OACB的顶点的顶点O在在原点，点

13、原点，点C的坐标为的坐标为(4，0)，点，点B的纵坐标是的纵坐标是1, 则顶点则顶点A坐标是坐标是 【课堂演练【课堂演练】 9.(2012四川宜宾四川宜宾)如图如图,已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为1,P是对角线是对角线BD上一点上一点,CP平分平分ACD,则则PD= . (2，1) 知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结第第9题图题图BCDAP11.如图如图, 矩形矩形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O, CEBD, DEAC, 若若AC=4, 则四边形则四边形CODE的周长的周长是是 8第第10题图题图OABCyx(第

14、第11题图题图)DEBCOA2112.如图如图,有一块边长为有一块边长为4的正方形塑料模的正方形塑料模板板ABCD，将一块足够大的直角三角板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在的直角顶点落在A点，两条直角边分别点，两条直角边分别与与CD交于点交于点E，与，与CB延长线交于点延长线交于点F则四边形则四边形AECF的面积的面积是是 【课堂演练【课堂演练】 第第12题图题图ABCFDE16 知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结13.(2012湛江湛江)如图，设四边形如图，设四边形ABCD是边长为是边长为1的正方形的正方形, 以对角线以对角线AC为边作第

15、二个正方形为边作第二个正方形ACEF, 再以对角线再以对角线AE为边作笫三个正方形为边作笫三个正方形AEGH, 如此下去如此下去.若正方形若正方形ABCD的边长记为的边长记为a1，按上述方，按上述方法所作的正方形的边长依次为法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，an，则，则an= DEBCAGFH 1122 nn或或【课堂演练【课堂演练】 14.(2012湖南娄底湖南娄底)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，M、N分别分别是是AD、BC的中点，的中点，P、Q分别是分别是BM、DN的中点的中点.(1)求证：求证：MBA NDC；(2)四边形四边形MPNQ是什么样的特殊四是什么样的特殊四

16、边形？请说明理由边形？请说明理由 证明证明:(1)四边形四边形ABCD是矩形是矩形AB=CD, AD=BC, A=C=90M、N分别是分别是AD、BC的中点的中点 知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结ADCBMNPQBCCNADAM21,21 AM=CNMAB NDC(SAS)【课堂演练【课堂演练】 (2)四边形四边形MPNQ是菱形是菱形, 理由如下理由如下:连接连接MN. 四边形四边形ABCD是矩形是矩形AD=BC, ADBC, A=ABC=90M、N分别是分别是AD、BC的中点的中点 知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练

17、课后训练 小结小结ADCBMNPQAM= BN, AM BN四边形四边形AMNB是平行四边形是平行四边形MNABDMN=A=90,MNB=90P、Q分别是分别是BM、DN的中点的中点 BCBNADAM21,21 BMPMNPDNNQMQ21,21 MAB NDCBM=DNMQ=NQ= NP=PM四边形四边形MQNP是菱形是菱形 【课堂演练【课堂演练】 15.(2011福建莆田福建莆田)如图如图,在在ABC中中,D是是AB的中点的中点,E是是CD的中点的中点,过点过点C作作CF/AB交交AE的延长线于点的延长线于点F,连接连接BF.(1)求证求证:DB=CF；(2)如果如果AC=BC,试判断四边

18、形试判断四边形BDCF的形状的形状,并证明你的结并证明你的结论论. (1)证明证明:CF/AB DAE=CFE又又DE=CE,AED=FEC ADE FCE DA=CF DA=DB DB=CF知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结ADFEBC(2)解解:四边形四边形BDCF是矩形是矩形证明证明:DB=CF，DB/CF四边形四边形BDCF为平行四边形为平行四边形AC=BC，AD=DBCDAB四边形四边形BDCF是矩形是矩形16.已知四边形已知四边形ABCD是边长为是边长为4的正方的正方形，形，O为正方形对角线的交点，一动点为正方形对角线的交点，一动点E以

19、每秒以每秒1个单位的速度沿射线个单位的速度沿射线BC向右向右运动，同时动点运动，同时动点F以相同速度沿射线以相同速度沿射线CD向上运动，连结向上运动，连结OE，OF，EF.(1)试确定试确定OEF的形状的形状,并证明你的结论并证明你的结论;(2)设设E，F的运动时间为的运动时间为x秒，秒，OEF的面积为的面积为y，求，求y与与x的函数关系式的函数关系式. 解解:(1)OEF是等腰直角三角形是等腰直角三角形,证明如下证明如下:四边形四边形ABCD为正方形为正方形OD=OC,COD=BCD=90ODC=DCO=45,DCE=90ODF=OCE=135DF=CEODF OCE 知识回顾知识回顾 典例

20、精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结ADBCEFOOF=OE,DOF=COE.DOF+DOE=COE+DOE即即EOF=COD=90OEF是等腰直角是等腰直角三角形三角形. (2)设设OE交于交于M.COD=90,ODC=DCO=45OD=OC=CDsinDCO 知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结(2)设设E，F的运动时间为的运动时间为x秒，秒，OEF的的面积为面积为y，求，求y与与x的函数关系式的函数关系式. ADBCEFO2245sin4 ODF OCESODF= SOCE 依题意依题意,得得DF=CE=xCF= CD+

21、DF=4 +xSOEF =SODF +SODM +SEMF=SOCE +SODM +SEMF= SOCD +SECFCECFODOC 2121) 0( 4221)4(21)22(2122 xxxxx)0(42212 xxxy即即【课后训练【课后训练 】 1.如图如图,在等边在等边ABC中中,点点D是是BC边边的中点的中点,以以AD为边作等边为边作等边ADE.(1)求求CAE的度数的度数;(2)取取AB边的中点边的中点F,连结连结CF、CE,试试证明四边形证明四边形AFCE是矩形是矩形.解解:ABC和和ADE都是等边三角形都是等边三角形 BAC=DAE60 点点D是是BC边的中点边的中点 知识回

22、顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结AFBDCE 3021BACDACBADCAE=DAEDAC=6030=30【课后训练【课后训练 】 1.如图如图,在等边在等边ABC中中,点点D是是BC边边的中点的中点,以以AD为边作等边为边作等边ADE.(2)取取AB边的中点边的中点F,连结连结CF、CE,试试证明四边形证明四边形AFCE是矩形是矩形.(2)ABC和和ADE都是等边三角形都是等边三角形 AB=AC，AD=AE BAD=CAE BAD CAE ADB=AEC F是是AB边的中点边的中点,D是是BC边的中点，边的中点， CFA=ADC=90 CFA=AE

23、C=90 由由(1)知知BAC=60,CAE=30 EAFBACCAE60+3090 四边形四边形AFCE是矩形是矩形 知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结AFBDCE2.如图如图, ADB=ADC, BD=CD(1)求证：求证：ABD ACD；(2)设设E是是AD延长线上的动点延长线上的动点, 当当AB, BE满足何关系时满足何关系时, 四边形四边形ACEB为菱形为菱形? 说说明你的理由明你的理由.(1)证明证明:ADB=ADC,BD=CD,AD=ADABD ACD(2)解解:当当AB=BE时时,四边形四边形ACEB为菱形为菱形.理由如下理由如下:

24、ABD ACDBAD=CAD,AB=AC又又AE=AEABE ACE(SAS)BE=CEBE=ABAB=BE=CE=AC四边形四边形ACEB为菱形为菱形知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结ABCD E3.(2012南通南通)如图，菱形如图，菱形ABCD中，中，B=60，点，点E在边在边BC上，点上，点F在边在边CD上上.(1)如图如图1,若若E是是BC的中点的中点,AEF=60,求证求证:BE=DF;(2)如图如图2,若若EAF=60,求证求证: AEF是等边三角形是等边三角形.证明证明:(1)连接连接AC四边形四边形ABCD是菱形是菱形AB=BCB

25、=60ABC是等边三角形是等边三角形 BE=CE 知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结BECFAD图图1B ECFAD图图2 3021,BACBAEBCAECFE=180FECECF=18030120=30FEC=CFEEC=CFBE=DF AEF=60FEC=90AEF=30ABDCECF=180B=120(2)连接连接AC四边形四边形ABCD是菱形是菱形ACB=ACF, AB=BCB=60ABC是等边三角形是等边三角形AB=ACBAC=ACB=60ACF=60B=ACFBAC=EAF=60BACEAC =EAFEAC知识回顾知识回顾 典例精析典例精析 课堂演练课堂演练 课后训练课后训练 小结小结3.(2012南通南通)如图，菱形如图，菱形ABCD中，中，B=60，点，点E在边在边BC上，点上，点F在边在边CD上上.(1)如图如图1,若若E是是BC的中点的中点,AEF60,求证求证:BE=