线性代数现代运算,解方程,微分积分求解,线性规划,数字信号处理

1、Matlab与系统仿真1第三章第三章 MATLABMATLAB语言在语言在现代科学运算现代科学运算中应用中应用 前言前言3.1 3.1 线性代数问题线性代数问题3.2 3.2 多项式多项式3.3 3.3 微积分问题求解微积分问题求解3.4 3.4 微分方程微分方程3.5 3.5 重要的积分变换重要的积分变换3.6 3.6 数据插值数据插值3.7 3.7 线性规划线性规划问题问题3.8 3.8 数字数字信号处理信号处理问题问题第三章 Matlab与系统仿真2前言前言q 解析解与数值解解析解与数值解 工程技术人员工程技术人员：如何求出问题的解，即求解的方法，：如何求出问题的解，即求解的方法， 而获

2、得数学问题解的最直接方法就是而获得数学问题解的最直接方法就是 通过通过数值解法数值解法技术。技术。 数学家数学家感兴趣：数学问题的感兴趣：数学问题的解析解解析解，或称闭式解，或称闭式解， 以及解的存在性的严格证明。以及解的存在性的严格证明。 Matlab与系统仿真3前言前言MATLAB语言结合著名的符号运算语言语言结合著名的符号运算语言Maple，并以其作并以其作为为符号符号运算工具箱运算工具箱，该工具箱中函数可用来求解线性代，该工具箱中函数可用来求解线性代数问题的数问题的。 Matlab与系统仿真4为区别于常规的为区别于常规的，需将一些变量先声明为，需将一些变量先声明为“符号符号变量变量”，

3、其格式为：，其格式为： x=sym(x)syms x y z ;q 符号符号Matlab与系统仿真5例：例： pians = 3.1415例：例： delta = 1/3delta = 0.3333 x=delta5x = 0.0041 format long pians = 3.14159265358979 pi = sym(pi)pi = pi delta = sym(1/3) delta = 1/3 x=delta5 x = 1/243 Matlab与系统仿真6q 运行符号运算前，必须先定义其中的变量。运行符号运算前，必须先定义其中的变量。 f=3*x+2*y+1? Undefined

4、function or variable x. x=sym(x) ; y=sym(y) ; f=3*x+2*y+1 syms x y; f=3*x+2*y+1 f = 3*x+2*y+1 Matlab与系统仿真7o 例：例：比较下面数值解法和解析解法的区别。比较下面数值解法和解析解法的区别。 A=1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 0 ; B=sym(A);（1）数值解法）数值解法 （2）解析解法）解析解法Matlab与系统仿真8q 矩阵的秩矩阵的秩 rank(A) ans = 33.1 3.1 线性代数线性代数问题问题q 矩阵的矩阵的特征多项式特征多项式、特征方程特征方程与与特征根特征根

5、 B=poly(A) B = 1 -6 -72 -27 C=roots (B) C = 12.1229 -5.7345 -0.38840 AEMatlab与系统仿真9q 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量xAx V,D=eig(A) D D 对角矩阵，其对角线元素为矩阵对角矩阵，其对角线元素为矩阵A A的的特征值特征值； V V 满秩矩阵，各列向量满秩矩阵，各列向量为各特征值对应的为各特征值对应的特征向量特征向量。 v,d=eig(A)Matlab与系统仿真103.2 3.2 多项式多项式q多项式的相关知识多项式的相关知识 （1 1）多项式求值）多项式求值 （2 2）多项式与根互求）

6、多项式与根互求 （3 3）部分分式与多项式的转换）部分分式与多项式的转换 （4 4）解方程组）解方程组y=a0 xn+a1xn-1+an-1x+an p= a0,a1,a0,a1,an-1,anan-1,an q 多项式的表达多项式的表达 在在MATLAB软件中，将软件中，将多项式系数多项式系数以以向量形式向量形式进行表达：进行表达：0系数不能省！系数不能省！Matlab与系统仿真11（1）多项式求值）多项式求值y=polyval(p,x)p为多项式系数向量，为多项式系数向量，x x可为数值、数组或矩阵。可为数值、数组或矩阵。r=roots(p) 多项式求根运算，多项式求根运算，P为多项式系数

7、向量；为多项式系数向量；P=poly(r) 将已知多项式根转换为多项式运算；将已知多项式根转换为多项式运算；（2 2）多项式与根互求）多项式与根互求Matlab与系统仿真12例：例：27726)(23xxxxfyMatlab与系统仿真13（3 3）部分分式部分分式与与多项式多项式的转换的转换)(.)()()(22111111011110 xkpxrpxrpxraxaxaxabxbxbxbxaxbxynnnnnnmmmmr,p,k=residue(b,a) 将多项式转换为部分分式，将多项式转换为部分分式，b,a分别分别 为分子、为分子、 分母系数向量；分母系数向量；b,a=residue(r,p

8、,k) 将部分分式转换为多项式。将部分分式转换为多项式。Matlab与系统仿真14q例：例： b=2,7,10,6; a=1,3,2; r,p,k=residue(b,a)Matlab与系统仿真15q例：求取某系统特征多项式的例：求取某系统特征多项式的极点极点97538642)(23423xxxxxxxxy b=2,4,6,8; a=1,3,5,7,9; r,p,k=residue(b,a)Matlab与系统仿真16（4 4）解）解方程组方程组g=solve(eq1,eq2,eqn) ;0),.,(.0),.,(0),.,(11211nnnxxfnxxfxxfMatlab与系统仿真17（数据结

9、构体）（数据结构体）例：例： g=solve(x+y+z=6,x2+y2+z2=100, 6*x+y-4*z=6)g = x: 2x1 sym y: 2x1 sym z: 2x1 sym Matlab与系统仿真18 一、一、 极限极限 二、二、 微分微分 三、三、 积分积分3.3 3.3 微积分问题求解微积分问题求解Matlab与系统仿真19一、极限求解一、极限求解q 数学形式数学形式 )(lim0 xfxx F为输入函数为输入函数x为自变量，可略为自变量，可略a为常数为常数x0，省略则省略则a=0，inf表示表示x-limit(F,x,a， )函数格式：函数格式：Matlab与系统仿真20

10、syms x ; limit(3*x2-x+1)/(2*x2+x+1)(x3/(1-x),x,inf) ans = 0 )1(2231213limxxxxxxx例：求例：求 如果没有这句如果没有这句syms x,会怎样？会怎样？Matlab与系统仿真21二、微分运算二、微分运算q 导数与偏导数导数与偏导数diff(S,v,n) S为函数为函数f(x)或者或者f(x,y)v为待求导的自变量为待求导的自变量n为求导阶数，默认为为求导阶数，默认为1例：例： Dfx=diff(x2+x*y+y2,x) 但新版本中，直接这样写会报出但新版本中，直接这样写会报出warningMatlab与系统仿真22di

11、ff(sym(S),v,n) 正确形式：正确形式：即使前面加：即使前面加： syms x y 也没用也没用Matlab与系统仿真23三、积分三、积分（1 1）不定积分与定积分）不定积分与定积分 F为输入函数为输入函数v为独立变量为独立变量a,b为积分区间边界为积分区间边界R=int(F, v) ,不定积分不定积分R=int(F, v,a,b) , 定积分定积分 函数格式函数格式 例：例： syms x ； R=int(1/(1+x2),x,-inf,inf) R = pi Matlab与系统仿真24 利用多个利用多个int() 函数进行求解，函数进行求解，特别注意特别注意各层次各层次int()

12、 内内参数对应设置参数对应设置。Vxdxdydz（2）重积分）重积分例：计算 ，其中V V是由三个坐标面及平面是由三个坐标面及平面： x+2y+z=1 x+2y+z=1 围成的区域。围成的区域。 syms x y z int(int(int(x,z,0,1-x-2*y),y,0,(1-x)/2),x,0,1) ans = 1/48Matlab与系统仿真25q 数学中，含有自变量数学中，含有自变量x，未知函数未知函数y以及其导数的方程以及其导数的方程 F(x,y,y, y(n) )=0 称为称为微分方程微分方程。r=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)nndxdDndxdD

13、,3.4 3.4 微分方程微分方程eq1,eq2,为输入的为输入的微分方程组微分方程组，cond1,cond2,为定解条件，为定解条件，v为自变量。为自变量。 q 函数格式eq1,eq2,等式描述中，等式描述中， ，表示不同阶次的导数。，表示不同阶次的导数。Matlab与系统仿真26 r1=dsolve(Dy-y/(2*x)=x3/y,y(1)=1,x) r1 = 1/3*(6*x4+3*x)(1/2)yxxyy32xyyy23 例例1 解微分方程解微分方程 ，y(1)=1.例例2 解微分方程解微分方程 ， y(0)=1， y(1)=2. r2=dsolve(D2y-3*Dy+2*y=x,y(

14、0)=1,y(1)=2,x) r2 = 1/2*x+3/4-1/4*exp(2*x)*(exp(1)-3)/(exp(2)-exp(1)+1/4*exp(x)*(-3+exp(2)/(exp(2)-exp(1) Matlab与系统仿真27一、一、Fourier变换变换二、二、Laplace变换变换三、三、Z变换变换3.5 3.5 重要的积分变换重要的积分变换Matlab与系统仿真28一、一、Fourier变换变换 数学表示： 函数格式：dxexfFxj)()(deFxfxj)(21)(F= fourier (f) f= ifourier (F)Matlab与系统仿真29二、二、 Laplace

15、 变换变换 数学表示： 函数格式：0)()(dtetfsLstL= laplace (f) f= ilaplace (L)Matlab与系统仿真30q 例：求下式例：求下式的的Laplace变换：变换：attetf)( syms t a L= laplace(t*exp(-a*t) L = 1/(s+a)2Matlab与系统仿真31数学表示： 函数格式：0)()(nznfzFZ= ztrans(f) f=iztrans (Z)三、三、 Z 变换变换Matlab与系统仿真32 3.6 3.6 数据的插值拟合数据的插值拟合q 插值问题的提出 假设f(x)是一维给定函数，且在相异的一 组n个自变量x

16、1,x2xn点处的值为f1,f2fn，则由这些已知点由这些已知点的信息获得该函数在其他点上值的信息获得该函数在其他点上值的方法成为插值。Matlab与系统仿真33q 一维数组的插值函数Y1=interp1(x,y,x1,方法方法） 1）x,y两个向量分别表示给定的给定的一 组自变量和函数值数据； 2）x1为一组新的新的插值点；y1为得出的这一 组插值点的插 值结果；Matlab与系统仿真343）插值方法一般可选linear（线性的），此项默认，两个点间简单采用直线拟合，故效果不光滑）， cubic（三次曲线）和spline（三次样条插值，用分段光滑的曲线去插值，每一段都是三次多项式), 一般建

17、议使用一般建议使用后两种后两种 。Matlab与系统仿真35q 例：假设已知的数据点来自下面的函数例：假设已知的数据点来自下面的函数 则可由下面的语句生成数据，并绘制出数据的折线图。则可由下面的语句生成数据，并绘制出数据的折线图。)sin()53()(52xexxxfx x=0:0.12:1; y=(x.2-3*x+5) .*exp(-5*x).*sin(x); plot(x,y,o) plot(x,y)Matlab与系统仿真36 x=0:0.12:1; y=(x.2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x); x1=0:0.02:1; y1=interp1(x,y,x1); y2=

18、interp1(x,y,x1,cubic); y3=interp1(x,y,x1,spline); y0=(x1.2-3*x1+5).*exp(-5*x1).*sin(x1); plot(x1, y1,:,x,y,o,x1,y0) plot(x1, y2,:,x,y,o,x1,y0) plot(x1, y3,:,x,y,o,x1,y0)理论理论三三 种插值类型种插值类型插值点插值点原有数据原有数据q 可见，这样的数据直接连线绘制出来的曲线十分可见，这样的数据直接连线绘制出来的曲线十分粗糙粗糙，可，可以再选择一组插值点，然后直接调用以再选择一组插值点，然后直接调用interp1()interp1

19、()函数进行插函数进行插值近似。值近似。Matlab与系统仿真37将将3种不同拟合选项得到种不同拟合选项得到的结果与理论曲线的结果与理论曲线比较比较： 1）linear法最粗糙；法最粗糙； 2）spline最逼近理论值。最逼近理论值。Matlab与系统仿真38q二维数组的插值函数z1=interp2(x0,y0,z0,x1,y1,方法方法）1）x0,y0,z0为已知数据；2）x1，y1为插值点构成的新的网格参数；返回的z1矩阵为在插值点处的函数近似值；Matlab与系统仿真39 x,y=meshgrid(-3:0.6:3,-2:0.4:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2

20、-x.*y) ; mesh(x,y,z) x1,y1=meshgrid(-3:0.2:3,-2:0.2:2); z1=interp2(x,y,z,x1,y1); mesh(x1,y1,z1) z2=interp2(x,y,z,x1,y1,spline); mesh(x1,y1,z2)Matlab与系统仿真40q已知数据的图示 线性选项插值结果图示二、二维数组的插值拟合二、二维数组的插值拟合Matlab与系统仿真41 3.7 3.7 线性规划线性规划( (优化优化) )问题问题q 问题的提出 所谓所谓线性规划线性规划，是指求，是指求线性函数在线性线性函数在线性(不等式或不等式或等式等式)约束下达

21、约束下达最最(小或大小或大)值值的问题的问题。线性规划广泛应。线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域。实验等领域。 举例：举例： 1）最小运费问题）最小运费问题 2）最快旅行路线问题）最快旅行路线问题 3）最优通信路由）最优通信路由 4）监测点最优布置点）监测点最优布置点Matlab与系统仿真42q 数学描述数学描述xfTBAxtsx.min式中：式中： 1）s.t. subject to ，约束条件，表示满足后面的关系。，约束条件，表示满足后面的关系。 2）约束等式条件：）约束等式条件： 3）约束不等式条件：）

22、约束不等式条件： 4）变量的上界、下界：）变量的上界、下界：eqeqBxABAx MmxxxMatlab与系统仿真43q Linprog（）（）最优化工具箱最优化工具箱中提供的函数中提供的函数常用调用格式：常用调用格式： x,fopt=linprog(f,A,B,Aeq,Beq,LB,UB) 函数使用和参数说明：函数使用和参数说明： help Matlab与系统仿真44 help linprog LINPROG Linear programming. X=LINPROG(f,A,b) attempts to solve the linear programming problem: min f

23、*x subject to: A*x = b X=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq) solves the problem above while additionally satisfying the equality constraints Aeq*x = beq.Matlab与系统仿真45 X=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB) defines a set of lower and upper bounds on the design variables, X, so that the solution is in the range LB = X = U

24、B. Use empty matrices for LB and UB，if no bounds exist. X,FVAL=LINPROG(f,A,b) returns the value of the objective function at X: FVAL = f*X.Matlab与系统仿真46q 示例示例考虑下面的考虑下面的4元线性规划问题元线性规划问题 32max43210,3 ,463263.43214324324321xxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxMatlab与系统仿真47解：解： 3, 1 , 2, 1 Tf1） 首先将之转换成最小化问题，将原目标函数乘以首先将之转换成最小化问题，将原目标函数乘以-1。则。则 2） 再分析约束条件：再分析约束条件： a） 等式：等式： b） 不等式：不等式： 6 1 , 3 , 1 , 1 eqeqBA431, 6 , 1, 01 , 1 , 2, 0BA3） 边界值：边界值： 由最后一条可写成：由最后一条可写成： ix0Matlab与系统仿真48编程：编程：f=1,-2,1,-3; Aeq