经济数学教案-4

1、第四章 不定积分学习目标：理解原函数和不定积分的概念 了解不定积分的基本公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法 了解不定积分的经济意义 了解微分方程的概念，会解简单的一阶微分方程。41不定积分的概念4.1.1原函数定义：已知在区间上有定义，若存在可导函数使得对任意， 都有或，则称为在区间上的一个原函数.如：，故是的一个在内的原函数；但，所以的原函数不是唯一的。现在问题有三：原函数存在性，一个函数具备什么条件才保证有原函数？ 结论：连续函数必有原函数.一个函数如果有原函数，则原函数是否唯一，若不唯一，数目是多少？如：因为；，都是的原函数 定理 若是在区间上的原函数，则一切形如的函数也是的原函

2、数.证明：有，则，也是的原函数.原函数间有何关系？定理 若、为在区间上的两个原函数，则证明：由所以所以.4.1.2不定积分不定积分的概念定义 若是在区间上的一个原函数，则称的全体原函数为在区间上的不定积分.记为： 其中上式中的叫做积分变量，叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分常数，“”叫做积分号注 由定义知，的不定积分，即为的一个原函数加常数；不能掉，它是不定积分的标志 通常我们把一个原函数的图象称为的一条积分曲线，其中方程为因此，不定积分在几何上就表示全体积分曲线所组成的曲线族. 我们的方程是。例 ：求下列不定积分：（1）；（2）；（3）解：（1）因为，所以. （2）因为，所以.（3）因为

3、时，又时，所以.例 ：设曲线过点（1，2）且斜率为，求曲线方程解：设所求曲线方程为按，故又因为曲线过点（1，2），故代入上式，得 ，于是所求方程为.例：设某物体运动速度为，且当 时，求运动规律解：按题意有，即，再将条件时代入得，故所求运动规律为例：求.解 ， =.例：求. 解 ， =.4.2不定积分的性质与基本积分公式4.2.1不定积分的性质性质1 求不定积分与求导或求微分互为逆运算，即(1) 或 ；(2) 或 .这些等式很容易验算，读者在使用时注意公式中求不定积分运算和求导运算的次序.性质2 被积函数中的非零的常数因子可以提到积分号外，即 .性质3 函数代数和的不定积分等于函数不定积分的代数

4、和，即 .4.2.2不定积分基本积分公式表1、， 2、，3、， 4、，5、， 6、，7、， 8、9、， 10、，11、， 12、，13、，例 ：求下列不定积分：（1）(2)；(3) 解：（）.（）.（） 例 ：求下列不定积分:（）；（）解：（1）首先应该把积的形式化为和的形式。然后再逐项积分得 注意：在分项积分后，不必每个积分结果后都“+C”只要在总的结果中加即可。（）上面解题的思路：（1）把积的形式化为和的形式。然后再逐项积分得（2）实现“化和”是利用三角式的恒等变换。例 ：求下列不定积分：(1)； (2)解：(1) =(2)例 ：设求解：由于，所以,故知是的原函数 ，.例：求解： 例：解：

5、.例：设，则（ ）.解：.例：若，求.解：令，则，还原后得例：求.解： .例：求.解： .例：求.解：.例：求.解：例： 求解：例：求.解： .例： 已知曲线上面一点处切线的斜率为，求曲线方程和切线方程.解：依题意， 所以，由于曲线过点，把代入方程，解得. 从而，所求的曲线方程为 .所求的切线方程为 .4.3换元积分法定义利用直接积分法可以求一些简单函数的不定积分，但当被积函数较为复杂时，直接积分法往往难以奏效如求积分，它不能直接用公式进行积分，这是因为被积函数是一个复合函数我们知道，复合函数的微分法解决了许多复杂函数的求导（求微分）问题，同样，将复合函数的微分法用于求积分，即得复合函数的积分

6、法换元积分法 换元积分法分为两类：1、第一换元积分法，又叫凑微分法，也称间接换元法；2、第二换元积分法，也称直接接换元法。4.3.1第一类换元法（凑微分法）例：求.解：被积函数是复合函数，不能直接套用公式我们可以把原积分作下列变形后计算 .例：求解：注意到被积式中含有 项,而余下的部分恰有微分关系： 可作如下变换和计算： 上述解法的特点是引入新变量,从而把原积分化为关于的一个简单的积分，再套用基本积分公式求解,现在的问题是，在公式 中，将换成了,对应得到的公式是否还成立?回答是肯定的,我们有下述定理： 定理 如果，则其中是的任一个可微函数证明：由于,所以根据微分形式不变性,则有：其中是的可微函

7、数，由此得这个定理非常重要，它表明：在基本积分公式中，自变量换成任一可微函数后公式仍成立这就大大扩充了基本积分公式的使用范围应用这一结论，上述例题引用的方法, 可一般化为下列计算程序： 这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫第换一元积分法，也称凑微分法例：求解： 类似得 例： 求 解：因为 故上述不定积分又可写为例：求解：，第一类换元积分法又称凑微分法，在解题熟练后，可以不写出代换式，直接凑微分，求出积分结果例：求 解：类似得例：求.解：设得,方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微分成积分公式的形式例：求解：例： 求 为常数，解：例：求 解：例：求解：例：求 为常数，）解：例：求（1

8、） （2） 解： （积化和差）例 ：求解：例：求解：例：求 解：例：求解：例：求解：在运用换元积分法时，有时需要对被积函数做适当的代数运算或三角运算，然后再凑微分，技巧性很强，无一般规律可循因此，只有在练习过程中，随时总结、归纳，积累经验，才能运用灵活下面给出几种常见的凑微分形式： 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11例：计算积分解：（一）（二） 因为所以4.3.2第二类换元法第一换元积分法是将积分中用一个新的变量替换，化为积分，从而使不定积分容易计算，第二换元积分法，则是引入新积分变量，将表示为的一个连续函数，从而简化积分计算定理 设是单调可导函数，且如果有原函数，即则 其中是的反

9、函数证明：由假设是的原函数，有，由于是的反函数，根据复合函数微分法，所以是的原函数，即第二类换元积分法是用一个新积分变量的函数代换旧积分变量，将关于积分变量的不定积分转化为关于积分变量的不定积分（其中）经过代换后，不定积分比原积分容易积出在应用这种换元积分法时，要注意适当的选择变量代换，否则会使积分更加复杂例：求.解：为了去掉根式，令，则，于是 例：求.解：令 ，则，于是 例：求，.解：令 ，则，于是 为了将变量还原，应用直角三角形的边角关系：如图1中的(I)，作出以t为锐角，斜边为a的直角三角形，则 ，代入得到 .例：求，.解：令 ，则，于是 如上图，作出以t为锐角，以a邻边的直角三角形，则

10、 ，代入得到 ，.完全类似地，令 ，可以得到 .例：求解：这类积分可以用三角代换去掉根号，但用代换（倒代换）更加简便，即由上面例题可以归纳出两种常用的变量代换法：（一）三角函数代换法如果被积函数含有，作代换或；如果被积函数含有，作代换；如果被积函数含有，作代换利用三角代换，可以把根式积分化为三角有理式积分例如求不定积分. 如果使用三角代换，则.用凑微分法，则有（二）倒代换（即令）如果被积函数的分子和分母关于积分变量的最高次幂分别为和，当时，用倒代换常可以消去在被积函数的分母中的变量因子在本节的例题中，有几个积分经常用到它们通常也被当作公式使用因此，除了基本积分公式外，再补充下面几个积分公式（编

11、号接基本积分公式）：1，2，3，4 ，5，6，7，8，9，10例：解：例：求解：4.4分部积分法设函数都有连续导数，则由求导法则 或 两边积分得 移项，有 或者 上面两式称为分部积分公式. 分部积分公式的意义：如果要求的积分不容易计算，可以用公式转而求积分.例：求解：设，则，由分部积分公式得例： 求解：设，则，由分部积分公式得例：求解：例：求解： 例：求解：等式右端出现了原不定积分，于是移项，除以，得例：求解：令原式=例：用多种方法求解：（一）分项，凑微分（二）令1+x=u,则dx=du 通过上面例题可以看出，分部积分法适用于两种不同类型函数的乘积的不定积分当被积函数是幂函数（为正整数）和正（

12、余）弦函数的乘积，或幂函数（为正整数）和指数函数的乘积时，设为幂函数，则每用一次分部积分公式，幂函数的幂次就降低一次所以，若，就需要连续使用分部积分法才能求出不定积分当被积函数是幂函数和反三角函数或幂函数和对数函数的乘积时，设为反三角函数或对数函数下面给出常见的几类被积函数中，的选择：1，设，2，设，3，设，4，设，5，设，6，设，7和，随意选择分部积分法并不仅仅局限于求两种不同类型函数乘积的不定积分分部积分法还可以用于求抽象函数的不定积分，建立某些不定积分的递推公式，也可以与换元积分法结合使用例： 设的原函数为，求解：因为为的原函数，所以，于是故例：求解： 而，代入（2）式得4.5微分方程初

13、步4.5.1基本概念微分方程的阶：含有未知函数导数（或微分）的方程称为微分方程微分方程中未知函数的导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶，分别为三阶和四阶微分方程一阶和二阶微分方程的一般形式为 一般地，阶微分方程的形式为 ，其中是自变量，是的函数，依次是函数对的一阶，二阶，阶导数 当微分方程中的未知函数为一元函数时，称此微分方程为常微分方程；当未知函数为多元函数时，微分方程中含有未知函数的偏导数，此微分方程称为偏微分方程本章只讨论常微分方程（简称微分方程）微分方程的解：如果一个函数代入微分方程后，能使方程成为恒等式，则这个函数称为该微分方程的解如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程

14、的阶数；则称此解为微分方程的通解确定了通解中的任意常数后，所得到的微分方程的解称为微分方程特解微分方程的初始条件：用于确定通解中的任意常数而得到特解的条件称为初始条件设微分方程中的未知函数为，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的初始条件是 其中都是给定的值 如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的初始条件是 .其中和都是给定的值初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题由此可知，一阶微分方程的初值问题为 二阶微分方程的初值问题为 4.5.2可分离变量一阶微分方程定义：若一阶微分方程可化为 （1）的形式，则称它为可分离变量的微分方程其特点是：一端是只含有的函数和，另一端是只

15、含有的函数和解法：将方程（1）两端积分得 设分别为和的原函数，则原方程的通解为例：求微分方程的通解解：分离变量，得 ，两边积分，得 ，即 ，于是，原方程的通解为 例：求微分方程 的通解解：分离变量，得 ，两端积分，得 ，于是，有 ，所以，原方程的通解为 例：求方程 满足初始条件的特解解：分离变量，得 ，两边积分，得 ， ，即 由初始条件可定出常数，从而所求的特解为 例：求满足下列条件的可微函数 （1） ； （2） 解：（1）两边对求导，得 ，再求导， 得 ，分离变量，得 ，两边积分，得 即 由（2）可定出故所求可微函数为4.5.3一阶线性微分方程形如 （2）的方程，称为一阶线性微分方程，其中是

16、的已知函数如果，则方程（2）变为 （3）称为一阶齐次线性微分方程如果，则称方程（2）为一阶非齐次线性微分方程齐次线性微分方程（3）是可分离变量的方程分离变量，得 ，两端积分，得 ，于是得齐次线性微分方程（3）的通解为 解法：对于一阶线性非齐次微分方程（），我们用“常数变易法”来求它的通解 所谓“常数变易法”，就是在非齐次微分方程（2）所对应的齐次线性方程（3）的通解中，将任意常数换成的函数（是待定函数），即设非齐次线性方程（2）有如下形式的解 ， （4）于是 （5） 将（4）和（5）代入方程（2）得 ，即 两边积分，得，其中为任意常数，把上式代入（2），就可得到非齐次线性微分方程（2）的通解 （6）将（6）式改写成两项之和 上式右端第一项是对应的齐次线性方程（3）的通解，第二项是非齐次线性方程（2）的一个特解（在（6）中取便得到这个特解）由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和例：求方程 的通解解：这是一个非齐次线性方程先求对应的齐次方程的通解分离变量，得 ，