曲面与空间曲面的总结

1、面与空间曲线的总曲面与空间曲线一.曲面及其方程：1 .曲面方程的一般概念：定义：假设曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0,而满足此方程的点都在曲面上,那么称此方程为该曲面的方程,而曲面称为此方程的图形.例1:求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹.解：设M(x,y,z)为动点的坐标,动点应满足的条件是|AM|=|BM|由距离公式得.(x2)2(y3)2(z1)2.(x4)2(y5)2(z6)2整理得4x4y10z630此即所求点的规迹方程,为一平面方程.2 .坐标面及与坐标面平行的平面方程：坐标平面xOy的方程：z=0过点(a,b,c)且与xOy面平

2、行的平面方程：z=c坐标面yOz、坐标面zOx以及过(a,b,c)点且分别与之平行的平面方程:x=0;y=0;x=a;y=b3 .球面方程：球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心,R为半径的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项例2:求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面解：整理得：(x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在(-1,1,0),半径为2的球.4 .母线平行于坐标轴的柱面方程：一般我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成的轨迹称为

3、柱面.其中直线l称为柱面的母线,定曲线c称为柱面的准线.本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程.此时有以下结论：假设柱面的母线平行于z轴,准线c是xOy面上的一条曲线,具方程为在空间中分那么在其方程中F(x,y)=0,那么该柱面的方程为F(x,y)=0;同理,G(x,z)=0,H(y,z)=0别表示母线平行于y轴和x轴的柱面.分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴,无此坐标项.其几何意义为：无论z取何值,只要满足F(x,y)=022,那么总在柱面几种常见柱面:平面;x+y=a圆柱面14.旋转曲面:以上所举例均为母线平行于z轴的情况,其他情22xy22ab双曲柱面；2x椭圆柱面；2

4、"2py抛%勿般情况下我们将一平面曲线c绕同一平面内的定直线l旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.其中c称为母线,l称为其轴.本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面.此时有以下结论：设yOz平面上有一曲线c其方程为f(y,z)=0,将c绕z轴旋转一周,所得到的以z轴为轴的放置曲面的方程为：f("2y2,z)0同理,曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为：f(y,x2z2)0同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面f(x,z2)0绕y轴f(Vx21zy)022以xOzffl上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得曲f(x,Vyz)0222a(xy)例3求顶点在原点,旋转轴为z轴,

5、半顶角为a的圆锥面方程.解：将yOz面上的直线z=yctg绕z轴旋转一周即得圆锥曲面z2整理后得：z2.yctg其中a=ctg二.空间曲线及其方程：1.空间曲线的一般方程：空间曲线一般可看作两个曲面的交线,假设两个曲面的方程分别为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0,那么易知其交线c的方程为F(x,y,z)0G(x,y,z)0称此方程组为曲线c的一般方程.2例4:方程组Xz25表示怎样的曲线解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆.Za2x2y2例万程表示怎样曲线解：Z2/a22,a2y表示中央在原点,半径为i的上半球面(x万)y(y)表示母线平行于Z轴,准线在xoy面上半径为1的

6、圆柱面它们的交线是xoy面上的一个圆,a_其圆心在(,0),半径为222.空间曲线的参数方程:设空间曲线方程如果选定一个适当的函数x=x(x)代入上述方程组xx(t)如果选定一个适当的函数x=x(x)代入上述方程组yy(t)称为空间中曲线的参数方程.Zz(t)例如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以等角速度绕z周旋转,同时,以等速度v沿平行于Z轴的正方向移动,求其参数方程xacostysintzvt时,z由MNvtzxacosysin照线有R重要性质,当从0变到0bb0变到b0b这说明当oM转过角时,m点沿螺旋线boM升了高度,即上升的高度与l/转过卿变成正用.F(x,y,Z)0三.空间曲

7、线在坐标面上的投影：G(x,y,z)0在该方程组中消去z得H(x,y)=0,此为一个通过曲线L母线平行于z轴的柱面,称为曲线c关于xOy面的投影柱面此投影柱面与xOy平面的交线即为c在xOy平面上的投影曲H(x,y)0线,简称投影,其方程为Cz0同理可得L在yOz面及xOz面上投影方程为R(y,z)0T(x,z)0八和x0y03x2y2z例求曲线L:>在三个坐标面上的投影曲线2z1y解消去Z得1-y2=3x2+y2投影曲线方程3x2y21z02投影柱面方程为3x2+2y2=13x2z11消去y得3x2+1-2Z=0投影曲线方程y0投影柱面方程为3x2-2Z-1=0消去x得Z=1-y2投影

8、柱面方程为Z=1-y2投影曲线方程例两个柱面x2y2a2和x2z2a2的交线是一条空间曲线在xOyH上的投影方程.1222xyz1例5:求曲线x2(y1)2(z1)222解：上式减下式得z=1-y,代回上式得投影柱面方程为X2y2y022从而曲线在xoy面上的投影方程为x22V2y0z0二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面这条定直线叫做旋转曲面的轴设在yOz坐标面上有一曲线C它的方程为f(yz)0把这曲线绕z轴旋转一周就得到一个以z轴为轴的旋转曲面它的方程可以求得如下设M(xyz)为曲面上任一点它是曲线C上点M(0yizi)绕z轴旋转而得到的因此有如下关

9、系等式f(yi,zi)0zzi|yi|,x2y2从而得f(,x2y2,z)0这就是所求旋转曲面的方程在曲线C的方程f(yz)0中将y改成Jx2y2便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程f(x2y2,z)0同理曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为f(y,x2z2)0例4直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周所得旋转曲面叫做圆锥面两直线的交点叫做圆锥面的顶点两直线的夹角(0万)叫做圆锥面的半顶角试建立顶点在坐标原点O旋转轴为z轴半顶角为的圆锥面的方程解在yOz坐标面内直线L的方程为zycot将方程zycot中的y改成Jx2y2就得到所要求的圆锥面的方程z,x2y2cot或z2a2(x2y2)其中

10、acot例5将zOx坐标面上的双曲线三三1分别绕x轴和z轴旋转一周求所生成的a2c2旋转曲面的方程解绕x轴旋转所在的旋转曲面的方程为2xa2y2z2c2绕z轴旋转所在的旋转曲面的方程为z2c2这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面三、柱面例6方程x2y2R表示怎样的曲面解方程x2y2F2在xOy面上表示圆心在原点.半彳仝为R的圆在空间直角坐标系中这方程不含竖坐标z即不管空间点的竖坐标z怎样只要它的横坐标x和纵坐标y能满足这方程那么这些点就在这曲面上也就是说过xOy面上的圆x2y2N且平行于z轴的直线一定在x2y2F2表示的曲面上所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l沿xOy面上白

11、圆x2y2F2移动而形成的这曲面叫做圆柱面xOy面上的圆x2y2F2叫做它的准线这平行于z轴的直线l叫做它的母线例6方程x2y2F2表示怎样的曲面解在空间直角坐标系中过xOy面上的圆x2y2F2作平行于z轴的直线l那么直线l上的点都满足方程x2y2F因此直线l一定在x2y2F2表示的曲面上所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l沿xOy面上的圆x2y2F2移动而形成的这曲面叫做圆柱面xOy面上的圆x2y2R2叫做它的准线这平行于z轴的直线l叫做它的母线柱面平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面定曲线C叫做柱面的准线动直线L叫做柱面的母线它的母线上面我们看到不含z的方程x2y2

12、R2在空间直角坐标系中表示圆柱面平行于z轴它的准线是xOy面上的圆x2y2R般地只含x、y而缺z的方程F(xy)0在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面其准线是xOy面上的曲线CF(xy)0例如方程y22x表示母线平行于z轴的柱面它的准线是xOy面上的抛物线2x该柱面叫做抛物柱面又如方程xy0表示母线平行于z轴的柱面其准线是xOy面的直线所以它是过z轴的平面类似地只含x、z而缺y的方程Qxz)0和只含V、z而缺x的方程H(yz)0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面例如方程xz0表示母线平行于xz0所以它是过y轴的平面四二次曲面通过截痕法,了解二次曲面的全貌2xi.椭球面-2a2y_b2与三

13、个坐标面的交线均为椭圆2a2b2v1b22x6a=b,贝2y_2a2单叶双曲面2x2a2z2cZ=h截,截痕为一椭圆x=ha2(1y=2Czx2h2a(12b曲旦2Cz(1*bb2(12y吗)a旋转椭球面h2乙c2(1yh1当b行与z轴,时,时,曲线为双曲线,2)当3当b曲线为双曲线,实轴平行与x轴,虚轴平由零增大到b时,曲线的两半轴缩小至零.实轴平行与x轴,虚轴平当由零增大到b时,曲线的两半轴缩小至零.时,截痕为一对直线b时,曲线仍为双曲线,但实轴平行于z轴,虚轴平行与x轴,当b由b增大时,曲线的两半轴也增大.同样用平行于yoz的平面相截时截痕也是双曲线,可用同样的方法讨论.22xy2a当a

14、=b时,方程变为3双叶双曲面2x一2a2yb22z-2c1a,b,c为正数双叶双曲面对称于坐标原点及三个坐标面1b2g1cX22Z=h截,截痕为a2(h_1)c2zh当h|c时无截痕,当hc时是两点(0,0,)当h|c时为椭圆当x=h,或y=h截,截痕为双曲线5双叶抛物面其次还有双曲抛物面由方程x2匕z所表示的曲面称为双曲抛物面a2b2双曲抛物面又称马鞍面用平面xt截此曲面所得截痕l为平面xt上的抛物线y2zt£b2a2t2此抛物线开口朝下其项点坐标为t,0,当t变化时l的形状不变位置只作平a2移而l的项点的轨迹L为平面y0上的抛物线x2za2因此以l为母线L为准线母线l的项点在准线

15、L上滑动且母线作平行移动这样得到的曲面便是双曲抛物面还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面X2y217萨1X2y21a2萨1x2ay依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面、空间直线的一般方程空间直线L可以看作是两个平面1和2的交线如果两个相交平面i和2的方程分别为AixByCzD0和AxRyQzD20那么直线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程即应满足方程组AxByGzDi0A2xB2yC2zD20I'反过来如果点M不在直线L上那么它不可能同时在平面i和2上所以它的坐标不满足方程组1因此直线L可以用方程组1来表示方程组1叫做空间直线的一般方程设直线L是平面1与平面2的交线平

16、面的方程分别为AxByCzD0和当且仅当它AxByGzD0那么点M在直线L上当且仅当它同时在这两个平面上的坐标同时满足这两个平面方程即满足方程组A1xB1yC1zD10A>xB2yC2zD20因此直线L可以用上述方程组来表示上述方程组叫做空间直线的一般方程通过空间一直线L的平面有无限多个只要在这无限多个平面中任意选取两个把它们的方程联立起来所得的方程组就表示空间直线L二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量如果一个非零向量平行于一条直线这个向量就叫做这条直线的方向向量容易知道直线上任一向量都平行于该直线的方向向量确定直线的条件当直线L上一点Mbx°v.x°和它的一方

17、向向量smnp为时直线L的位置就完全确定了直线方程确实定直线L通过点Mx°v.x°且直线的方向向量为设M(xyz)在直线L上的任一点那么(xX0yy0zzo)/s从而有XxyVozZomnp这就是直线L的方程叫做直线的对称式方程或点向式方程注当mnp中有一个为零例如m0而np0时这方程组应理解为XX0yvozznp当mnp中有两个为零例如mn0而p0时这方程组应理解为xX00yy00直线的任一方向向量s的坐标mn、p叫做这直线的一组方向数而向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程设上21U0.巳色t得方程组mnpxx0mtyVontzz0

18、pt此方程组就是直线的参数方程例1用对称式方程及参数方程表示直线xyz12xy3z4解先求直线上的一点取x1有yz2y3z220)就是直线上的一点解此方程组得y2z0即(1再求这直线的方向向量s以平面xyz1和2xy3z4的法线向量的向量积作为直线的方向向量s(ijk)(2ijijk3k)1114ij3k213因此所给直线的对称式方程为得所给直线的参数方程为i4t2t3t提示当xz3z此方程组的解为y2s(ijk)(2i3k)4ij3k4t3t三、两直线的夹角两直线的方向向量的夹角通常指锐角叫做两直线的夹角设直线Li和L2的方向向量分别为Simnipi)和S2n2p2)那么Li和L2的夹角就是

19、,电和Si,S2)S,S2两者中的锐角因此cos|cos(s1,S2)|据两向量的夹角的余弦公式直线Li和L2的夹角可由来确定COS|COS(Si,S2)|21mlm2曾及P1P2I22nipi从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得以下结论设有两直线Lixxiyyizz1m1nlpiL2上也m2yy2n2z&p2iL2mmnin2pip20L2独m2nin2PiP2求直线Z的夹角i解两直线的方向向量分别为Si(ii)和S2(2i)设两直线的夹角为COS|i2(4)(2)(i)Ii2(4)2i2、,22(2)2(i)i2.2所以四、直线与平面的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直

20、线与平面的夹当直线与平面不垂直时角当直线与平面垂直时规定直线与平面的夹角为一2设直线的方向向量smnp平面的法线向量为nABC直线与平面的夹角为那么|万s：n|因此sin|coss：n|按两向量夹角余弦的坐标表示式有sin|AmBnCp|A2B2C2、m2n2p2由于直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行所以直线与平面垂直相当于ABCmnp由于直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直所以直线与平面平行或直线在平面上相当于AmBnCp0设直线L的方向向量为mnp平面的法线向量为ABCLL/例3求过点1ABCmnpAmBnCp024且与平面2x3yz40

21、垂直的直线的方程解平面的法线向量231可以作为所求直线的方向向量由此可得所求直线的方程为x1y2z42T五、杂例5的直线例4求与两平面x4z3和2xy5z1的交线平行且过点32的方程解平面x4z3和2xy5z1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量I由于s(I4k)(2Ij5k)12k4(4I3jk)5所以所求直线的方程为x3y2z543T例5求直线上工工4与平面2xyz60的交点112解所给直线的参数方程为x2ty3tz42t代入平面方程中得2(2t)(3t)(42t)60解上列方程得t1将t1代入直线的参数方程得所求交点的坐标为x1y2z2例6求过点(213)且与直线小小上垂直相交的直线的方程321解过点(213)与直线口垂直的平面为3213(x2)2(y1)(z3)0即3x2yz5直线红E二与平面3x2yz5的交点坐标为(2,13,-)