模型组合讲解——行星模型

1、即埠r线速度为v=4应mr模型组合讲解一一行星模型模型概述所谓“行星”模型指卫星绕中心天体，或核外电子绕原子旋转。它们隶属圆周运动，但涉及到力、电、能知识，属于每年高考必考内容。模型讲解例1.已知氢原子处于基态时，核外电子绕核运动的轨道半径r1=0.5Ml0,°m,则氢原子处于量子数n=i、2、3,核外电子绕核运动的速度之比和周期之比为：（）A. v1:v2:v3=1:2:3；T1:T2:T3=33:23:131133B. v1：v2:v3=1:;T1:T2:T3=1:2:32311C. v1:v2:v3=6:3:2;T1:T2:T3=1:3:323D.以上答案均不对。解析：根据经典

2、理论，氢原子核外电子绕核作匀速率圆周运动时，由库仑力提供向心力。2v，一口=m一,从而得r周期为T又根据玻尔理论，对应于不同量子数的轨道半径rn与基态时轨道半径门有下述关系式:-2.rn=nr1o由以上几式可得v的通式为:所以电子在第1、2、3不同轨道上运动速度之比为:11v1:v2:v3=1:=6:3:223而周期的通式为：2二rn2r132二r13TT2nnT1vv1/nv1所以，电子在第1、2、3不同轨道上运动周期之比为:由此可知，只有选项B是正确的。例2.卫星做圆周运动，由于大气阻力的作用，其轨道的高度将逐渐变化（由于高度变化很缓慢，变化过程中的任一时刻，仍可认为卫星满足匀速圆周运动的

3、规律），下述关于卫星运动的一些物理量的变化情况正确的是：（）A.线速度减小；B,轨道半径增大；C.向心加速度增大；D.周期增大。解析：假设轨道半径不变，由于大气阻力使线速度减小，因而需要的向心力减小，而提供向心力的万有引力不变，故提供的向心力大于需要的向心力，卫星将做向心运动而使轨道半径减小，由于卫星在变轨后的轨道上运动时，满足丫=幽和丁2e3,故v增大而Tr减小，又a=虫=,故a增大，则选项C正确。mr评点：一般情况下运行的卫星，其所受万有引力不刚好提供向心力，此时，卫星的运动速率及轨道半径就要发生变化，万有引力做功，我们将其称为不稳定运动即变轨运动；而当它所受万有引力刚好提供向心力时，它的

4、运行速率就不再发生变化，轨道半径确定不变从而做匀速圆周运动，我们称为稳定运行。对于稳定运动危态的卫星，（1）运行速率不变；（2）轨道半径不变；（3）万有引力提供向心力，2口口GMmmv,一，-t，"一一一即成立，其运行速度与其运动轨道处于一一对应关系，即每一轨道都有一确rr定速度相对应。而不稳定运行的卫星则不具备上述关系，其运行速率和轨道半径都在发生着变化。模型要点人造卫星的运动属于宏观现象，氢原子中电子的运动属于微观现象，由于支配卫星和电1子运动的力遵循平万反比律，即Fm,故它们在物理模型上和运动规律的描述上有相似r点°公式匚GMmF-2r匚kqiq2F2r类似适用条件质

5、点点电荷都是理想模型研究对象有质量的两个物体带有电荷的两个物体类似相互作用引力与引力场电场力与静电场都是场作用力向两质点连线上两点电荷的连线上相同实际应用两物体间的距离比物体本身线度大得多两带电体间的距离比带电体本身线度大得多相同适用对象引力场静电场/、同特别说明.线速度与轨道半径的关系设地球的质量为M,卫星质量为m,卫星在半径为r的轨道上运行，其线速度为v,可,GMmv2-GM口知2=m,从而vJ,即v4r。rr.r设质量为m'、带电量为e的电子在第n条可能轨道上运动，其线速度大小为v,则有22kev-=m一,从而v=rnrn,即vJrn。mrn可见，卫星或电子的线速度都与轨道半径的

6、平方根成反比。2 .动能与轨道半径的关系卫星运动的动能为Ek=GMm即Ek,12rr氢原子核外电子运动的动能为:ke21Ek=ke即Ekkk2rnrn可见，在这两类现象中，卫星与电子的动能都与轨道半径成反比。3 .运动周期与轨道半径的关系232二r24二r一23对卫星而百，T=，将v与r的关系式代入，得T=，即Tocr。vGM对于电子，同样可彳#到这个关系式T2上rn3。该式即为开普勒第三定律，解题时可以直接使用。4 .能量与轨道半径的关系运动物体能量等于其动能与势能之和，即E=Ek+Ep。p从离地球较远轨道向离地球较近轨道运动，万有引力做正功，势能减少，动能增大，总能量减少从离氢原子较远轨道

7、向离氢原子较近轨道运动，库仑力做正功，电势能减少，动能增大,总能量减少。推论：卫星（或电子）的轨道半径与卫星（或电子）在该轨道上的能量的乘积不变。由于描述运动规律的各物理量都是轨道半径r的函数，故各个物理量之间的关系都可以通过r这个桥梁来相互转化，一个量变化，其他各量都随之变化。5 .地球同步卫星1 .地球同步卫星的轨道平面：非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角，而同步卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上。2 .地球同步卫星的周期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同。3.地球同步卫星的轨道半径：据牛顿第二定律有GMm2/日GM-0地球自转角速度相同，所以地球

8、同步卫星的轨道半径为r=4.24父104km。其离地面高度也2=m®0r,44r=3r是一定的，距地面高度h忠3.59父104km处。v=80r=3.08黑103m/s,4.地球同步卫星的线速度：地球同步卫星的线速度大小为为定值，绕行方向与地球自转方向相同。误区点拨天体运动问题：人造卫星的轨道半径与中心天体半径的区别；人造卫星的发射速度和运行速度；卫星的稳定运行和变轨运动；赤道上的物体与近地卫星的区别；卫星与同步卫星的区别。人造地球卫星的发射速度是指把卫星从地球上发射出去的速度，速度越大，发射得越远,发射的最小速度，恰好是在地球表面附近的环绕速度，但人造地球卫星发射过程中要克服地球引

9、力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面上所需要的发射速度就越大。混淆连续物和卫星群：连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相同，而对卫星来讲，其线速度双星系统中的向心力中的距离与圆周运动中的距离的差别。模型演练(2005年大联考)经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理。现根据对某一双星系统的光度学测量确定；该双星系统中每个星体的质量都是M,两者相距L

10、,它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。(1)试计算该双星系统的运动周期T计算；(2)若实验中观测到的运动周期为T观测，且T观测：T计算=1:JN(NA1)。为了理解T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质。若不考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。答案：（1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为v,得:T计算（2）根据观测结果，星体的运动周期:T计算T观测这种差异是由双星系统（类似一个球）内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布双星系统内的暗物质对双星系统的作用，与一个质点（质点的质量等于球内暗物质的总质量M'且位于中点O处）的作用相同。考虑暗物