9本科阶段自动化为电气信息学院版课件共10章zdkz

1、第四章第四章 根根 轨轨 迹迹 法法经典控制理论的两大代表性方法之一经典控制理论的两大代表性方法之一W. R. Evans 1948年提出年提出根据开环传递函数，分析改变系统参数根据开环传递函数，分析改变系统参数对闭环极点的影响对闭环极点的影响D1(s)Y(s)R(s)G1(s)G 2(s)H(s)-D2(s)E(s)本章主要内容本章主要内容根轨迹基本概念根轨迹基本概念绘制根轨迹的基本依据及规则绘制根轨迹的基本依据及规则参数根轨迹参数根轨迹串联校正的综合（自学）串联校正的综合（自学）4-1. 4-1. 根轨迹基本概念根轨迹基本概念开环传递函数的某一参数从开环传递函数的某一参数从0变到变到时，闭

2、环系时，闭环系统特征方程式的根在统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。平面上的变化轨迹。根轨迹的定义：根轨迹的定义：D1(s)Y(s)R(s)G1(s)G 2(s)H(s)-D2(s)E(s)321)1s()3s)(bs(5)s(H)s(G)s(G )2s)(1s( sK)s(H)s(G)s(Gg21 如如常规根轨迹常规根轨迹参数根轨迹参数根轨迹)1s5 . 0( sK R(s)Y(s)-K2s2sK2)s(R)s(Y)s(2 闭环传函为闭环传函为例例： 0K2s2s2 特征方程为：特征方程为：K21,K21 -1s-1s21特征根为：特征根为：，（开环极点），（开环极点）时时，则有，则有从从

3、设设2,0s,0KK2 ,1 0 2121ssss，为实数，且为实数，且，时时K,5 . 0K 的的虚虚部部且且为为复复数数，时时1,221sssK,1sRe,5 . 0K-20j1s2s由根轨迹图分析由根轨迹图分析: :. .稳定性稳定性 因为根轨迹全部位于左半因为根轨迹全部位于左半平面，故闭环系统对所有的值都是平面，故闭环系统对所有的值都是稳定的。稳定的。. .稳态性能稳态性能 开环传函有一个位于坐开环传函有一个位于坐标原点的极点标原点的极点I I型系统型系统阶跃响应的阶跃响应的稳态误差为稳态误差为0 0；闭环极点确定；闭环极点确定K K确定确定其他响应的稳态误差确定。其他响应的稳态误差确

4、定。暂态性能暂态性能 0K0.5022阶时无法求解，如何绘制根轨迹图？阶时无法求解，如何绘制根轨迹图？特征方程为：特征方程为： 1+G(s)H(s)=0即：即： G(s)H(s)= -1相角条件相角条件 1)s(H)s(G 4-2. 4-2. 绘制根轨迹的基本依据和条件绘制根轨迹的基本依据和条件G(s)H(s)-R(s)Y(s)， 210k),1k2(180)s(H)s(G 幅值条件幅值条件mn,)z(s)p(sK,1)p(s)z(sKG(s)H(s)m1iin1iign1iim1iig 或或,2 , 1 ,0k),1k2(180)ps()zs()s(H)s(Gn1iim1jj 零极点表达形式

5、下的幅值条件和相角条件：零极点表达形式下的幅值条件和相角条件：l相角条件及特征方程是绘制根轨迹的主要依据相角条件及特征方程是绘制根轨迹的主要依据l幅值条件主要用于特征根幅值条件主要用于特征根 s 确定时求确定时求 Kg ,2 , 1 ,0k),1k2(180)()ps()zs()s(H)s(Gss321131ii0100000 满足满足是根轨迹上的点，则是根轨迹上的点，则例如，若例如，若幅值条件和相角条件的几何意义幅值条件和相角条件的几何意义p2p p1 1s s0 0p p3 3Oz1 1 1 3 2 1a 2a 3a 1b1321m1ii0n1ii0gbaaa)z(s)p(sK 4-3.

6、绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则二二根轨迹的对称性根轨迹的对称性特征方程的系数是实数，其特征根为实数或特征方程的系数是实数，其特征根为实数或共轭复数，因此根轨迹对称于实轴。共轭复数，因此根轨迹对称于实轴。三三根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点起点对应于时的特征根位置，起点对应于时的特征根位置，终点则对应于终点则对应于 时的特征根位置。时的特征根位置。0Kg gK一一根轨迹的分支数根轨迹的分支数根轨迹的分支数根轨迹的分支数=n，与开环极点数相同。，与开环极点数相同。gn1iim1iiK1)ps()zs( 特征方程可改写为特征方程可改写为当，必有当，必有 ，即，即起点是开环极点起点是开环

7、极点；当当 ，必有，必有 ，即，即开环零点是终点开环零点是终点。0Kg gK ips izs 对于控制系统，一般对于控制系统，一般nm（有（有n-m个无穷远处零点），所个无穷远处零点），所以有以有m条根轨迹终止于条根轨迹终止于m个开环零点，剩下的个开环零点，剩下的n-m条根轨迹条根轨迹将趋于无穷远处将趋于无穷远处（终止于（终止于n-m个无穷远处零点）个无穷远处零点） 。如前面的二阶系统，起点：如前面的二阶系统，起点：0，-2，无零点，无零点，n=2，m=0，n-m=2，两条根轨迹，两条根轨迹Kg=0 Kg=0KgKg-1jKg=0.5-20四实轴上的根轨迹四实轴上的根轨迹在实轴上存在根轨迹的条

8、件是，其右边开环零点在实轴上存在根轨迹的条件是，其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数。和开环极点数目之和为奇数。jj1z2p3p1p1s2z4p依据：依据：共轭复数极点到共轭复数极点到s s1 1的相角的相角之和为之和为0 0，相互抵消；，相互抵消；实轴上实轴上s s1 1点左侧的开环零、点左侧的开环零、极点提供的相角为极点提供的相角为0 0，而右，而右侧的相角均为侧的相角均为180180。例：例：)4s)(2s( s)3s)(1s(K)S(Ggk 有三个极点，根轨迹有三条分支有三个极点，根轨迹有三条分支 n=3,m=2 有有-条条 根轨根轨 迹迹， 条终止于开环零点。条终止于开环零点。-2

9、-2-4-4joo-3-3-1-1实轴上右边开环零、极点数目之和为实轴上右边开环零、极点数目之和为奇数的线段为根轨迹奇数的线段为根轨迹五根轨迹的渐近线五根轨迹的渐近线根轨迹中（根轨迹中（nm）条趋向无穷远处的分支的）条趋向无穷远处的分支的渐近线的倾角为渐近线的倾角为,mn180)1k2(a ,2, 1 ,0k 当时，求得的渐近线倾角最小，当时，求得的渐近线倾角最小，0k 渐近线的交点总在实轴上，即渐近线的交点总在实轴上，即 必为实数必为实数 共轭复数零、极点的虚部相互抵消共轭复数零、极点的虚部相互抵消 计算时计算时只须代入开环零、极点的实部只须代入开环零、极点的实部. 渐近线与实轴的交点渐近线

10、与实轴的交点mnzpn1im1iiia a 例：例：,)2s)(1s( sK)S(H)S(Gg 求根轨迹。求根轨迹。解：解： 在平面中确定开环零、极点的位置；在平面中确定开环零、极点的位置；-1-2j 确定实轴上的根轨迹；确定实轴上的根轨迹； n=3,m=0,应有三个分支，并且都趋向应有三个分支，并且都趋向 无穷远处；无穷远处；确定渐近线的位置确定渐近线的位置 180,1k60,0k3180)1k2(mn180)1k2(103210mnpppaaa321a ；-0.4232j2jKg=6Kg=6-6060六六. 分离点和会合点分离点和会合点两条根轨迹分支在平面上某一点相遇，然后又两条根轨迹分支

11、在平面上某一点相遇，然后又立即分开的点，称根轨迹的立即分开的点，称根轨迹的分离点（或会合点）分离点（或会合点）。0ds)s(GddsdK11g ，有有，则则对对于于设设0)s(GK1)s(GK)s(G1g1gk 求解：求解：特点：特征方程有重根。特点：特征方程有重根。0ds)s(dG1 或或 ）极值极值在根轨迹的分离点上取在根轨迹的分离点上取（gK）（特征式满足（特征式满足0ds)s(d 注：只须用其中之一，且只是注：只须用其中之一，且只是必要条件必要条件续前例：求分离点上的坐标。续前例：求分离点上的坐标。系统的特征方程为系统的特征方程为即即0)2s)(1s( sK1)s(H)s(G1g )2

12、s)(1s(sKg 0)2s6s3(dsdK2g 上式的根上式的根577. 1,423. 0624366s2 ,1 分离点在至分离点在至 -之间，应取之间，应取 s1= -0.423用幅值条件确定分离点的增益：用幅值条件确定分离点的增益：385. 0577. 1577. 0423. 02s1s0sK111g 求？求？用用0ds)s(dG1 -1-2j-0.4232j2jKg=6Kg=6-6060七七. 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点在根轨迹与虚轴的交点处，特征方程出现虚根。在根轨迹与虚轴的交点处，特征方程出现虚根。计算：计算：（1）将）将 s=j 代入特征方程求解；代入特征方程求解；（2

13、）利用劳斯判据确定（见教材）。）利用劳斯判据确定（见教材）。续前例，将代入特征方程。续前例，将代入特征方程。 js 0K2j3j0K)2j)(1j(jg23g 6K2g ，相应有，相应有取取 实部实部虚部虚部0203K32g 2,0 6Kcr 即临界稳定的增益即临界稳定的增益-1-2j-0.4232j2jKg=6Kg=6-6060利用利用 MATLAB 绘制根轨迹图绘制根轨迹图,)2s)(1s( sK)S(Ggk Command：a=tf(1,1 3 2 0)rlocus(a) 或 a=zpk( ,0,-1,-2,1)利用利用 MATLAB 根轨迹图获取信息根轨迹图获取信息Command：a=

14、tf(1,1 3 2 0)rlocus(a)sgrid 绘制等阻尼比线绘制等阻尼比线八八. 根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角出射角出射角：根轨迹离开开环极点的切线方向与正实：根轨迹离开开环极点的切线方向与正实轴方向的夹角轴方向的夹角入射角入射角：根轨迹到达开环零点的切线方向与正实：根轨迹到达开环零点的切线方向与正实轴方向的夹角轴方向的夹角j出射角出射角入射角入射角 )1k2(180)ps()zs()s(Gn1iim1iik nli ,1iilm1iilplll)pp()zp()1k2(180psp ）出发的出射角为（令出发的出射角为（令从开环极点从开环极点 n1iilmli ,1i

15、ilzlll)pz()zz()1k2(180zsz ）的入射角为（令的入射角为（令到达开环零点到达开环零点出射角和入射角的计算：出射角和入射角的计算：j出射角出射角入射角入射角,)5 . 2ss)(5 . 2s( s)5s4s)(5 . 1s(K)s(H)s(G22g 数数为为例例：设设系系统统开开环环传传递递函函则开环零极点分布及则开环零极点分布及实轴上的根轨迹如图实轴上的根轨迹如图p2p1p3p4z1z2z3j1-1-2-15 . 1j5 . 0,5 . 2 pj 2,5 . 1z3 ,2 ,13 ,2 ,1 ；从从p2,3 如何出发并趋向如何出发并趋向 z2,3？ 79)37905 .1

16、08()59195 .56(180)()()1k2(1804313212pppzzzp 根轨迹从根轨迹从p p2 2出发的出射角出发的出射角: :p2p1p3p4z1z2z31-1-2-11p 1z 3z 2z 3p 4p 2p 793p 根根据据对对称称性性，3p 149)5 .63121199153(90117180)pz()zz)1k218041ii23,1ii2z2）（ 1493z 根根据据对对称称性性，根轨迹到达根轨迹到达 z z2 2 的入射角的入射角: :3z p2p1p3p4z1z2z31-1-2-12z 2p 3p j根轨迹图根轨迹图九九. 特征方程的根之和特征方程的根之和=

17、开环极点之和开环极点之和 （n-m2）0)ss()zs(K)ps(n,2 , 1i,sn1iim1iign1iii 为闭环极点，则有为闭环极点，则有设设 n1iin1ii1npss 项的系数即得项的系数即得比较比较计算时只须计算时只须代入实部代入实部l 上式说明当某些根轨迹向左移动时，必有另一些根轨上式说明当某些根轨迹向左移动时，必有另一些根轨迹向右移动；迹向右移动；l 还可用于求解一个未知实数极点（其他已知时）。还可用于求解一个未知实数极点（其他已知时）。闭环极点及传递函数的确定：闭环极点及传递函数的确定：,)2s)(1s( sK)s(H)s(Gg l 根据性能要求确定主导极点根据性能要求确

18、定主导极点l 由主导极点确定根轨迹增益由主导极点确定根轨迹增益l 由根轨迹增益和已确定的极点由根轨迹增益和已确定的极点计算其他闭环极点计算其他闭环极点要求一对主导极点的阻尼比要求一对主导极点的阻尼比=0.707续前例：续前例：-1-2j-0.4232j2jKg=6Kg=6-6060 1. 画出画出线并确定主导极点线并确定主导极点 45arccos 38. 0j38. 0s2 ,1 主导极点主导极点2主导极点处对应的增益值用幅值条件求主导极点处对应的增益值用幅值条件求65. 066. 173. 054. 0Kg 0.731.660.54,)2s)(1s( sK)s(H)s(Gg 3求另一个闭环极

19、点求另一个闭环极点得得由由 n1iin1iips 2,m-n24.2s21s38.02- 33 求，求，也可由也可由 31iig)ss(K)2s)(1s( s,)2s)(1s( sK)s(H)s(Gg )a(roots,65. 0231a65. 0s2s3sK)2s)(1s( s)s(KMATLAB23gg 命令语句为命令语句为）：）：命令求根（只需要知道命令求根（只需要知道或直接用或直接用 若为单位反馈系统（若为单位反馈系统（H=1H=1），），则闭环传函为则闭环传函为)24. 2s)(29. 0s76. 0s(65. 0)24. 2s)(38. 0j38. 0s)(38. 0j38. 0s

20、(65. 0K)2s)(1s( sKGH1G)S(R)s(Y2gg 4求闭环传递函数求闭环传递函数G(s)H(s)-R(s)Y(s)例：已知系统结构图，绘制以例：已知系统结构图，绘制以为参数（为参数（从从0变到变到）的根轨迹的根轨迹.)s(R)1s( s1 s )s(Y4-4. 参数根轨迹参数根轨迹相当于一种反馈校正相当于一种反馈校正（1）系统的开环传递函数与特征方程）系统的开环传递函数与特征方程s)1s( s1)s(Gk 特征方程为特征方程为0)s(G1k 01sss2 即即（2）以为参变量，特征方程可改写为）以为参变量，特征方程可改写为 01sss12 即即1sss)S(G2 绘制绘制 的根轨迹的根轨迹)s(G （等效开环传函）（等效开环传函）)s(R)1s( s1 s )s(Y注：等效开环传函与原开环传函所对应的特征方程相同注：等效开环传函与原开环传函所对应的特征方程相同（3）开环极点）开环极点 开环零点开环零点0z23j21p2,1 （4）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹（5）会合点）会合点 求求 ，得，得 （6）出射角）出射角0,( 0dsd ）对对应应的的（取取1,11,1s2,1 150)90120(1802,1p 1sss)s(G2 若要求闭环极点若要求闭环极点 s1,2= -1，如何求闭环传函？如何求闭环传函？注意：闭环极点