四点共圆基本性质及证明

1、四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上,那么称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆.四点共圆有三个性质：(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；(2)圆内接四边形的对角互补；(3)圆内接四边形的外角等于内对角.以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证实.定理判定定理方法1:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,假设能证实其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆.(可以说成：假设线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等,那么这二点和线段二端点四点共圆)方法2:把被证共圆的四点连成四边形,假设能证实其对角互补或能证实其一个外角等于其邻补南的内对南

2、时,即可肯定这四点共圆.(可以说成：假设平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角,那么这四点共圆)托勒密定理假设ABCD四点共圆(ABCD按顺序都在同一个圆上),那么ABxDC+BCxAD二ACxBD.1)例题：证实对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数.解答：归纳法.我们用归纳法证实一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数,且这n个点共圆,并且有两点是一条直径的两端.n=1,2很轻松.当n二3时,一个边长为整数的勾股三角形即可：比方说边长为3,4,5的三角形.我们发现这样的三个点共圆,边长最长的边是一条直径.假设对于n大于等于3成立,我们来

3、证实n+1.假设直径为r整数.找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC边长a<b<co把原来的圆扩大到原来的c倍,并把一个边长为rarbrc的三角形放进去,使得rc边和放大后的直径重合.这个三角形在圆上面对应了第n+1个点,记为P.于是根据Ptolomy定理,P和已存在的所有点的距离都是一个有理数.考虑P,这个点Q和直径两端的四个点,这四点共圆,于是PQ是一个有理数由于Ptolomy定理里的其它数都是整数.引入一个新的点P增加了n个新的有理数距离,记这n个有理数的最大公分母为M.最后只需要把这个新的图扩大到原来的M倍即可.归纳法成立,故有这个命题.反

4、证法证实现就“假设平面上四点连成四边形的对角互补.那么这个四点共圆证实如下其它画个证实图如后：四边形ABCD中,ZA+ZC=180°求证：四边形ABCD内接于一个圆A,B,C,D四点共圆证实：用反证法过A,B,D作圆0,假设C不在圆0上,点C在圆外或圆内,假设点C在圆外,设BC交圆0于C',连结DC',根据圆内接四边形的性质得NA+NDC'B=180°,VZA+ZC=180°.NDC'B=ZC这与三角形外角定理矛盾,故C不可能在圆外.类似地可证C不可能在圆内.C在圆0上,也即A,B,C,D四点共圆.证实方法方法1从被证共圆的四点中先

5、选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆周上,假设能证实这一点,即可肯定这四点共圆.方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,假设能证实其顶角相等同孤所对的圆周角相等,从而即可肯定这四点共圆.几何描述：四边形ABCD中,NBAC二NBDC,那么ABCD四点共圆.证实：过ABC作一个圆,明显D一定在圆上.假设不在圆上,可设射线BD与圆的交点为D',那么NBD'C二NBAC二NBDC,与外角定理矛盾.方法3把被证共圆的四点连成四边形,假设能证实其对角互补或能证实其一个外南等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆.证法见上方法4把被证共圆的四点两两连

6、成相交的两条线段,假设能证实它们各自被交点分成的两线段之积相等,即可肯定这四点共圆相交弦定理的逆定理；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段,假设能证实自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,即可肯定这四点也共圆.割线定理的逆定理上述两个定理统称为圆球定理的逆定理,即ABCD四个点,分别连接AB和CD,它们或它们的延长线交点为P,假设PAxPB=PCxPD,那么ABCD四点共圆.证实：连接AC,BD,VPAxPB=PCxPDPA/PC=PD/PBZAPC=ZBPD.,.APCADPB当P在AB,CD上时,由相似得NA二ND,且A和D在BC同侧.根

7、据方法2可知ABCD四点共圆.当P在AB,CD的延长线上时,由相似得NPAC二ND,根据方法3可知ABCD四点共圆.方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等,从而确定它们共圆.即连成的四边形三边中垂线有交点,可肯定这四点共圆.方法6四边形ABCD中,假设有ABxCD+ADxBC二ACxBD,即两对边乘积之和等于对角线乘积,那么ABCD四点共圆.该方法可以由托勒密定理逆定理得到.托勒密定理逆定理：对于任意一个凸四边形ABCD,总有ABxCD+ADxBCACxBD,等号成立的条件是ABCD四点共圆.如图,在四边形内作APBsaDCB只需要作NPAB二NCDB,NPBA二NCBD即可由相似得NAB

8、P=NDBC,NBAP二NBDC/ZABP+ZPBD=ZDBC+ZPBD即NABD二NPBC又由相似得AB:BD=PB：CB=AP：CDAABxCD=BDxAP,AABDAPBC,AD:BD=PC:BC,即ADxBC=BDxPC两个等式相加,得ABxCD+ADxBC=BDx(PA+PC)2BDxAC,等号成立的充要条件是APC三点共线而APC共线意味着NBAP=NBAC,而NBAP二NBDC,NBAC=NBDC根据方法2,ABCD四点共圆方法7假设一点在一三角形三边上的射影共线,那么该点在三角形外接圆上.设有一ABC,P是平面内与ABC不同的点,过P作三边垂线,垂足分别为L,M,N,假设L,M

9、,N共线,那么P在AABC的外接圆上.如图,PM±AC,PN±AB,PL±BC,且L,N,M在一条线上.连接PB,PC,VZPLB+ZPNB=900+90°=180°APLBN四点共圆二.ZPLN=ZPBN,即ZPLM=ZPBA同理,ZPLM=ZPCM,即NPLM二NPCA=NPBA根据方法2,P在AABC外接圆上目判定与性质圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角.【如图A:四点共圆的图片】M.CB力为S彩ABCt6戢M,CDftJS长线XT.4E图A:四点共圆的图片四边形ABCD内接于圆0,延长AB和DC交至E,过点E作圆0的切线EF,AC、BD交于P,那么有：(1) NA+NC=it,NB+ND=n(即图中NDAB+NDCB=n,NABC+NADC=n)(2) ZDBC=ZDAC(同弧所对的圆周角相等).(3) NADE=NCBE(外角等于内对角,可通过(1)、(2)得到)(4) AABPADCP(两三角形三个内角对应相等,可由(2)得到)(5) APx